--- Title: Cuaderno «1869 I Heft». VIII. Cálculo mercantil (Feller y Odermann): tantos por ciento, intereses, descuento, vencimientos y arbitraje indirecto Description: Última parte del cuaderno: extractos de Marx del manual de Feller y Odermann sobre el cálculo de tantos por ciento, ganancias y rebajas, intereses simples y compuestos, descuento, vencimientos medios y arbitraje de cambios por vía indirecta, con los comentarios sarcásticos de Marx, y el índice del cuaderno. Author: Karl Marx Date: 1869-01 URL: https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1869%20Cuaderno%20%C2%AB1869%20I%20Heft%C2%BB.%20VIII.%20C%C3%A1lculo%20mercantil%20%28Feller%20y%20Odermann%29%3A%20tantos%20por%20ciento%2C%20intereses%2C%20descuento%2C%20vencimientos%20y%20arbitraje%20indirecto --- *Extractos y notas de Karl Marx escritos en Londres a comienzos de 1869 en el cuaderno que tituló «1869 I Heft» (IISG, Ámsterdam, Karl Marx and Friedrich Engels Papers, B 113 [B 105]), del manual de Friedrich Erdmann Feller y Carl Gustav Odermann *Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik* («El conjunto de la aritmética mercantil», Leipzig): el cálculo de tantos por ciento (con las ganancias y pérdidas y las rebajas), de intereses, de descuento y de vencimientos, y la continuación del cálculo de cambios (arbitraje indirecto), seguidos del índice del cuaderno hecho por Marx (los números remiten a páginas del cuaderno). Es la octava y última parte del cuaderno; la primera son [los cuadros y notas sobre el Banco de Inglaterra y el mercado de dinero en 1868](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1869%20Cuaderno%20%C2%AB1869%20I%20Heft%C2%BB.%20I.%20El%20Banco%20de%20Inglaterra%20y%20el%20mercado%20de%20dinero%20en%201868), y la anterior, [la primera parte de los extractos de Feller y Odermann](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1869%20Cuaderno%20%C2%AB1869%20I%20Heft%C2%BB.%20VII.%20C%C3%A1lculo%20mercantil%20%28Feller%20y%20Odermann%29%3A%20cambios%2C%20regla%20de%20cadena%2C%20compa%C3%B1%C3%ADa%20y%20aligaci%C3%B3n), cuya cabecera explica las abreviaturas de monedas y medidas. Marx extracta en alemán, con comentarios propios a veces groseros, que se traducen tal cual. Inéditos en vida de Marx. Transcritos del manuscrito según la edición digital de la MEGA² (IV/19) y traducidos por la Escuela de marxismo, 2026. Los subrayados de Marx van en cursiva; sus comentarios, entre ⦗ ⦘ como en el manuscrito. Las cifras y los cálculos se dan como en el manuscrito; las fracciones de las fórmulas, con barra (a/b); «[sic]» señala una cifra así en el manuscrito. En los cuadros de arbitraje, «£» designa a veces liras, como en el manuscrito. Tantos por ciento «de 100», «sobre 100» y «en 100» traducen *vom*, *auf* e *im Hundert*. Las notas son nuestras.[^lic] [Texto original](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/originales/1869%20Heft%20%E2%80%9E1869%20I%20Heft%E2%80%9C.%20VIII.%20Kaufm%C3%A4nnische%20Arithmetik%20%28Feller%20und%20Odermann%29%3A%20Procent-%2C%20Zins-%2C%20Discont-%20und%20Terminrechnung%2C%20indirekte%20Arbitrage)* ### Cálculo de tantos por ciento. 100 como *medida* de las relaciones aritméticas. En el cálculo de tantos por ciento se trata de: 1) hallar los tantos por ciento que hay que tomar de un valor dado según la medida de un tanto por ciento determinado, sin atender a cómo actúan sobre el valor al que se refieren; 2) hallar un valor alterado según cierto tipo porcentual, ya consista la alteración en aumento o en disminución del valor dado; 3) hallar el valor del que se han calculado ciertos tantos por ciento; 4) hallar el tipo porcentual. El valor, o el capital, del que han de calcularse tantos por ciento no siempre corresponde, sin embargo, plenamente al número normal 100. Por ej., alguien dice: una mercancía cuesta, *incluido* un 10 % de gastos, 5½ Th. Estos 5½ Th. no corresponden a la medida 100, porque el 10 % se calculó originalmente sobre un valor menor que 5½ Th., sobre un valor en dinero antes de *sumarle* ese 10 % de gastos. Valores como estos 5½ Th. pueden llamarse capital aumentado en los tantos por ciento. Otro dice: he pagado esta mercancía, deducido un 2 % por pago al contado, con 4 fl. 30 kr. Estos 4 fl. kr. no corresponden a la medida 100. El 2 % se calculó sobre un valor que existía *antes* de deducir ese 2 %. Por eso los 4 fl. 30 kr. pueden llamarse capital disminuido en los tantos por ciento. Siempre hay que preguntarse, pues, si el valor dado o buscado es puro, aumentado o disminuido. A esta triple naturaleza del valor dado o buscado corresponden 3 tantos por ciento: *de cien*, *sobre cien*, *en cien*. Tantos por ciento de 100: 100 = 3. Tantos por ciento sobre 100: 103 = 3. Tantos por ciento en cien: 97 = 3. #### I) Hallar solo los tantos por ciento. ##### a) Se da el valor puro. (Tantos por ciento de 100.) ¿Cuánto es el 4 % de 1975 Th. y el 6 % de 1812 fl.? | 100 : 1975 = 4 : x | 100 : 1812 = 6 : x | |---|---| | x = 79 Th. | x = 108,72 fl. | ##### b) Se da el valor aumentado. (Tantos por ciento sobre 100) Si 1545 Th. incluyen un aumento del 3 %, y 1920 fl. 72 c. un aumento del 6 %, ¿cuánto importa ese aumento, o los *tantos por ciento sobre 100* de estos capitales? | 103 : 1545 = 3 : x | | 106 : 1920,72 = 6 : x | |---|---|---| | x = 45 Th. | En los 1545 Th. hay 45 Th. de tanto por ciento. | x = 108,72 fr. | Todos los tantos por ciento *de* cien que dan una parte cómoda de 100 forman también una parte sobre *100 + el tanto por ciento* cuando se usan como tantos por ciento *sobre 100*. Esta parte se halla sumando al denominador de la fracción que forma el tanto por ciento de 100 el numerador de esa misma fracción. Por ej., 6¼ % *de* 100 = 1/16; *sobre* 100 es = 1/(16+1) = 1/17. 37½ *de* 100 = ⅜; *sobre* cien = 3/(8+3) = 3/11. ##### c) Se da el valor disminuido. (Tantos por ciento en 100.) Si un valor se ha reducido a 582 Th. deduciendo un 3 %, y otro a 239 fr. 32 c. deduciendo un 3½ %, ¿cuánto es esa disminución?, o ¿cuánto son, de estos valores, los tantos por ciento en 100? | 97 : 582 = 3 : x | 96½ : 239,32 = 3½ : x | |---|---| | x = 18 Th. | x = 8,68 fr. | Todos los tantos por ciento que de y sobre 100 forman una parte cómoda del capital pueden usarse del mismo modo como tantos por ciento en 100. Esta parte se halla restando del denominador de la fracción que forman de 100 el numerador de esa misma fracción. Por ej., 8⅓ % de 100 = 1/12. Entonces, 8⅓ % *en* 100 = 1/(12-1) = 1/11. * * * #### II) Hallar un valor alterado según cierto tanto por ciento. Si el valor dado para alterar es *puro*, se *aumenta* o se *disminuye* según el tanto por ciento dado de 100. Si el valor incluye ya el aumento según el tanto por ciento dado, ha de reducirse a su valor original, o sea, *disminuirse* según el tanto por ciento dado (sobre 100). Si el valor dado está disminuido según el tanto por ciento dado, ha de reducirse a su valor original, o sea, *aumentarse* según el mismo tanto por ciento (en 100). ##### a) Se da el valor puro. ¿Cuánto son 978 Th., aumentados o disminuidos en un 3 %? | 978 | | | 978 | | | |---|---|---|---|---|---| | +29,34 | = 3 % | = 1007,34 Th. (10 sgr.) | -29,34 | = 3 % | = 948,66 Th. (20 sgr.) | ##### b) Se da el valor aumentado. ¿Cuánto eran 1) 2054 Th. y 2) 1925 £ 11 chel. antes de disminuirse, respectivamente, en un 3 % y un 37½ %? | 103 : 2054 = 100 : x | |---| | x = 1994 Th. 5 sgr. | En el 2.º ejemplo es inútil aplicar la regla de tres, porque 37½ % = 3/11 del valor. Así: | 1925 £ 11 chel. | |---| | 525. 3 = - 3/11 de 1925 £ 11 chel. | | 1400 £ 8 | ##### c) Se da el valor disminuido. ¿Cuánto eran 1) 582 Th. antes de disminuirse en un 3 %, 2) y 1601¼ Th. antes de disminuirse en un 6¼ %? | 1) 97 : 582 = 100 : x | 2) 1601¼ Th. | |---|---| | x = 600 Th. | 106¾ Th. = + 1/16 (1601¼), *pues 6¼ = 1/16* | | | 1708 Th. | * * * #### III) Hallar el valor del que se han calculado ciertos tantos por ciento dados. Además de los *tantos por ciento*, aquí tiene que darse también el *tipo porcentual* según el cual se han calculado los tantos por ciento. Entonces la pregunta es: si el tipo porcentual requiere el capital base correspondiente (100, 100 + %, 100 - %), ¿qué valor requieren los tantos por ciento dados? | ¿De qué importes se han calculado | 75 Th. al 6 % *de* 100? 1) | |---|---| | | 78 fl. al 3 % *sobre* 100? 2) | | | (al 3½ % -) 8 fl. 68 c. *en* cien? 3) | | ad 1.) 6 : 75 = 100 : x | ad 2) 3 : 78 = 103 : x | ad 3) 3½ : 8,68 = 96½ : x | |---|---|---| | x = 1250 Th. | x = 2678 fl. | x = 239,32 fr. | * * * #### IV) Hallar el tipo porcentual. Aunque también aquí puede darse un capital puro, aumentado o disminuido, solo hay que hallar el *tipo porcentual de 100*. Pues el tipo *de* 100 solo se convierte en tipo *sobre* o *en* 100 porque se refiere a un *valor aumentado* o *disminuido según ese mismo tipo*. Así pues, el tipo porcentual es en todas partes el mismo, y solo la naturaleza del capital produce la diferencia. a) Si con 175 Th. se tiene una ganancia o una pérdida de 7 Th., ¿qué tanto por ciento es? Se da el capital puro, o sea, tantos por ciento de 100. | 175 : 100 = 7 : x | |---| | x = 4 %. | b) Si de 126 M.B. 12β se deducen 24 M.B. 9β, ¿qué tanto por ciento *sobre* 100 es? Se da el capital *aumentado*. Se pregunta, pues: ¿cuánto dan 100 si 102 M.B. 3β ⦗126 M.B. 12β ÷ 24.9⦘ dan 24 M.B. 9β? | 102 3/16 : 100 = 24 9/16 : x | |---| | x = 24 %. | *O, si en 182 Rth. hay una ganancia de 7 Th.*, ¿qué tanto por ciento es?: (182 ÷ 7) : 100 = 7 : x, y x = 4 %. c) Si un capital se ha reducido a 168 Th. por una pérdida de 7 Th., ¿qué tanto por ciento es la pérdida? Se da el capital *disminuido*. Tantos por ciento en 100. | (168 + 7) : 100 = 7 : x | |---| | x = 4 %. | A menudo los tantos por ciento no se dan directamente, sino que hay que hallarlos primero a partir de los valores dados. Si en vez de 950 Thl. se pagan 988 o 912, ¿qué tanto por ciento se paga *de más* o *de menos*? 950 : 100 = 38 ⦗= 988 - 950. (950 - 912)⦘ : x. x = 4 %. Si en vez de 3463 M.B. 1β solo se pagan 3186 M.B. 14β, ¿qué tanto por ciento *sobre* 100 es la pérdida? Deducción = 3463 M.B. 1 - 3186.14 = 276 M.B. 3β. Así: 3186⅞ : 100 = 276 3/16 : x. x = 8⅔ %. ¿Qué tanto por ciento en 100 es si en vez de 1875 fl. se cargan 2000 fl.? El cargo *en* 100 = 2000 - 1875 = 125 fl. Así: | 2000 : 100 = 125 : x. | |---| | x = 6¼ %. | A veces se calcula, en vez de por 100, por 1000 ‰, sobre todo en el *corretaje de cambio* o *sensaría*. ##### Conversión de un tanto por ciento en otro. ¿Cuánto % *de* 100 es el 12 % *sobre* 100? 112 : 100 = 12 : x. x = 10 5/7 %. ¿Cuánto % *sobre* 100 es el 5 % *de* 100? 95 : 100 = 5 : x. | x = 5 5/19 %. ¿Cuánto % *de* 100 es el 4 % *en* 100? 96 : 100 = 4 : x. | x = 4⅙ %. ¿Cuánto % *en* 100 es el 4 % *de* 100? 104 : 100 = 4 : x | x = 3 11/13 %. * * * #### Aplicación del cálculo de tantos por ciento. ##### a) Cálculo de ganancias y pérdidas. α) ¿Cuánto se gana o se pierde con una mercancía comprada a 15 Th. y vendida con un 6 % de ganancia o un 6 % de pérdida? | 15 Th., capital puro. Tantos por ciento *de* 100. | 1 % = 0,15 (100.ª parte de 15); 6 % = 0,9 Thl. β) ¿Cuánto es la ganancia contenida en el precio de venta de 15,9 Th., al 6 %? 15,9 = capital aumentado. Tantos por ciento sobre 100. Así: 106 : 15,9 = 6 : x. x = 0,9 táleros. γ) ¿Cuánto es la pérdida producida por el precio de venta de 14,1 Rth., al 6 %? 14,1 Th. = capital disminuido, o sea, tantos por ciento en 100. ∴ 94 : 14,1 = 6 : x | x = 0,9 Thl. ##### Ejemplos. 1) ¿Cómo hay que vender una mercancía comprada a 15 Th. con un 6 % de ganancia o de pérdida? | 15 Th. = capital puro. Así pues, aumento o disminución en % *de* 100. | | |---|---| | 100 : 15 = 106 : x. | x = *15,9*. O bien: 6 : 0,9 = 106 : x = 15,9 Th. | | 100 : 15 = 94 : x | x = 14,1 Th. 6 : 0,9 = 94 : x. x = 14,1 Th. | 2) α) Si la ganancia o la pérdida obtenida en una venta, al 6 %, = 0,9 Th., ¿cuánto importa la compra? | El capital de compra es capital *puro*. Así pues, tantos por ciento *de* 100. El planteamiento es el mismo en ambos casos. | |---| | 6 : 0,9 = 100 : x. x = 15 Th. | 2) β) El precio de venta es de 15,9 Th. y contiene un 6 % de ganancia. ¿Cuánto cuesta la mercancía en la compra? | 15,9 Th., capital *aumentado*; así pues, % sobre 100. | |---| | 106 : 15,9 = 100 : x. x = 15 Th. | 2) γ) Precio de venta, con un 6 % de pérdida, = 14,1 Th. ¿Cuánto cuesta la mercancía en la compra? | 14,1 Th., capital *disminuido*; así pues, % *en* 100. | |---| | 94 : 14,1 = 100 : x. x = 15 Th. | 3) α) *Precio de compra* = 15 Th. Ganancia o pérdida sobre él, 0,9 Th. ¿Qué tanto por ciento es? | El capital, en ambos casos 15 Th., capital puro; tantos por ciento *de* 100. | |---| | 15 : 100 = 0,9 : x. x = 6 %. | β) Un *precio de venta de 15,9 Th.* contiene una ganancia de 0,9. ¿Qué % contiene? | 15,9, capital *aumentado*; así pues, % sobre 100. | |---| | 15,9 - 0,9, o 15 : 100 = 0,9 : x. x = 6 %. | γ) Un *precio de venta de 14,1 Th.* contiene una pérdida de 0,9 Th. ¿Qué % es? | 14,1 Th., capital disminuido; así pues, % en 100. | |---| | 14,1 + 0,9 = 15. 15 : 100 = 0,9 : x. x = 6 %. | Para β) y γ) también podría haberse dicho: β) 15 : 100 = 15,9 : x. x = 106 Th. γ) 15 : 100 = 14,1 : x. x = 94 Th. Aquí el % está escondido en el valor total. Tanto más > 100 %, ganancia, etc. Para poder resolver las preguntas de arriba con simples reglas de tres, el precio de compra y el de venta tienen que estar determinados en la misma moneda (dinero) y referirse a la misma cantidad. Si no es así, hacen falta reducciones previas. O hay que aplicar la regla de cadena. ##### Ejemplo. 1 quintal (de 100 libras) cuesta en la compra 30 fl. Se vende 1 libra a 24 kr. | 1 fl. = 60 kr. | ¿Qué tanto por ciento es la ganancia o la pérdida? Primer modo de cálculo. Si 1 quintal cuesta 30 fl., 1 libra cuesta 18 kr. Se ganan, pues, 6 kr. con 18 kr. ¿Cuánto con 100? 18 : 100 = 6 : x. x = 33⅓ %. Segundo modo de cálculo. Si se vende 1 libra a 24 kr., un quintal se vende a 40 fl. Se ganan, pues, 10 fl. con 30 fl. ¿Cuánto con 100? 30 : 100 = 10 : x. x = 33⅓ %. Tercer modo de cálculo, por regla de cadena. | x fl. de venta = 100 fl. | de compra. | |---|---| | 30 = 100 lb. | | | 1 = 24 kr. | de venta | | 60 = 1 fl. | | | Así, x = (10000×24)/(600×3) = (100×24)/(6×3) = 400/3 = 133⅓ de venta. El 33⅓ % está aquí escondido en el valor total. | | Con los supuestos de arriba, ¿se busca el *precio de compra* de un quintal? | x fl. de compra = 1 quintal | | |---|---| | 1 quintal = 100 lb. | | | 1 = 24 kr. | | | 60 = 1 fl. | | | 133⅓ = 100 fl. de compra. | x = 30 fl. | Otro caso es cuando, a partir de un precio de venta con cierto tanto por ciento de pérdida o ganancia, hay que buscar un precio de venta con cierto tanto por ciento de ganancia o pérdida, o cuando a partir de un precio de venta que ya incluye ganancia o pérdida hay que hallar otro que contenga tantos por ciento mayores. Aquí se puede, como se mostró antes, buscar primero el precio de compra y luego el precio de venta según los tantos por ciento que se han de ganar o perder, o calcular cada uno de estos casos en *una sola* regla de tres, como muestran los ejemplos siguientes. *(Vuélvase la hoja)* ##### Ejemplos. 1) Mercancía vendida a 15 Th. con un 10 % de pérdida. ¿Cómo venderla para ganar un 5 %? 90 : 15 = 105 : x. x = 17½ Th. 2) Mercancía vendida a 17½ Th., con un 5 % de ganancia. ¿Cómo venderla con un 10 % de ganancia? 105 : 17½ = 90 : x. x = 15 Th. 3) Mercancía vendida a 17½ Th. con un 5 % de ganancia. ¿Cómo venderla con un 8 % de ganancia? 105 : 17½ = 108 : x. x = 18 Th. 4) Mercancía vendida a 15 Th. con un 10 % de pérdida. ¿Cómo venderla si hay que perder un 20 %? 90 : 15 = 80 : x. x = 13⅓ Th. Sin embargo, para poder calcular la ganancia o la pérdida netas de un negocio, hay que calcular los intereses del tiempo durante el cual no puede usarse el capital invertido. ##### b) Cálculo de rebajas. (*Rabbattere*, it.) Significa propiamente rebaja: una nueva deducción de lo añadido antes a cierto importe. Pero, en general, rebaja = toda deducción, casi siempre calculada en tantos por ciento, ya como compensación por un pago anticipado (*descuento*), ya como una ventaja especial, a menudo solo aparente, que se concede, ya como deducción que hace el comprador por defectos de la mercancía (*decort*). El capital del que ha de tomarse la rebaja se llama capital *por rebajar*; aquel del que ya se ha tomado, *capital rebajado*. ##### Ejemplos. Hallado ¿Cuánto es la rebaja de 1207 Th. al 3 % y al 6¼ *de* y *sobre* 100? *Hallar los tantos por ciento. Hallar los tantos por ciento.* | [a)] 12,07 × 3 = 36,21 Th. | [b)] 103 : 1207 = 3 : x. x = 35 16/103 Th. | |---|---| | [c)] 1207 dividido por 16 = 75 7/16 Th. | [d)] 1207 dividido por 17 = 71 Th. | ¿Cuánto hacen 1207 Th. deducidos los tantos por ciento de rebaja de arriba? ¿Hallar el capital rebajado? | [a)] 1207 - 36,21 (= 3 %) = 1170,79 Th. | [b)] 1207 - 75 7/16 (= 1/16 de 1207) = 1131 9/16 Th. | |---|---| | [c)] 103 : 1207 = 100 : x. x = 1171 87/103 Th. | [d)] 1207 - 71 (= 1/17 de 1207) = 1136 Th. | ¿De qué capital se calcularon 36,21 Th. al 3 % y 75 7/16 Th. al 6¼ % *de* 100; 35 16/103 al 3 % y 71 Th. al 6¼ % sobre 100? ¿Hallar el capital por rebajar? | [a)] 3 : 36,21 = 100 : x. x = 1207 Th. 75 7/16 × 16 = 1207 Th. | |---| | [b)] 3 : 35 16/103 = 103 : x. x = 1207 Th. 71 × 17 = 1207 Th. | Las *rebajas de uso* son pura charlatanería.[^h1] Se calculen *de* o *sobre* 100, ya están añadidas al *precio de venta*. Por ej., una pieza de mercancía, con la ganancia habitual incluida, cuesta 20 Th. ¿Cómo fija el vendedor el precio, según conceda un 5 % de rebaja *sobre* 100 o *de* 100? | Si *sobre 100:* | 100 : 105 = 20 : x; | Si *de 100:* | 95 : 100 = 20 : x | |---|---|---|---| | | x = 21 Th. | | x = 21 1/19 Th. | En el segundo caso recibe, en vez del precio de venta de 100, solo 95; en vez de 95 tiene que pedir 100. En el primer caso recibe, en vez de 105, solo 100; en vez de 100 tiene, pues, que pedir 105. Si el animal pidiera, sin el truco de la rebaja, 20 Th. por 20 Th., sería *all the same*. | 10 piezas a 20 Th. sin rebaja | | = 200 Th. | |---|---|---| | 10 pzs. a 21 Th. con 5 % de rebaja *sobre* 100 | = 210. | | | Menos 5 % = 1/21 del importe | = 10 | = 200 Th. | | 10 pzs. a 21 1/19 Th. con 5 % de rebaja *de 100* | = 210 Th. 10/19 | | | menos 5 % = 1/20 del importe | = 10 Th. 10/19 | = 200 Th. | Para el vendedor es del todo igual vender la mercancía *sin* rebaja, con el 5 % *sobre 100* o con el 5 % *de 100*, con tal de fijar el precio en consecuencia. Las rebajas de uso son una patraña, si no son compensaciones por pago al contado. Si aquí, del precio de 21 Th. por pieza, se hubiera vendido con el 5 % *de* 100 = 1/20 del capital = 1 1/20 Th., por la pieza solo se obtendrían 19 19/20 Th., o sea, 1/20 de pérdida. Esta pérdida forma exactamente la rebaja al 5 % *de* 100 sobre la rebaja que en realidad había que conceder, de 1 Th. (100 : 1 = 5 : x = 1/20 Th.) En la práctica no siempre se distingue con tanta exactitud, y se cometen no pocos errores al fijar precios con rebaja. La rebaja que los *editores* dan al librero detallista sobre el precio de tienda u ordinario se calcula siempre *de* 100, y es la única compensación que tiene el librero detallista por sus gastos, su tiempo y su trabajo. Esta rebaja se calcula del 10 al 33⅓ %. El precio de un libro *deducida la rebaja* es su *precio neto*. ¿Cuánto importa una factura de librería de 432 fl. 48 kr. deducido un 6¼ % de rebaja? | 432 fl. 48 kr. | |---| | ÷ 27. 3 = 1/16 del importe | | 405 fl. 45 kr. | * * * ### Cálculo de intereses. Calculados sobre 100, en tantos por ciento. El número de unidades que se toman sobre 100 = *tipo de interés*. *Intereses simples*, cuando el prestatario del capital paga los intereses en plazos determinados; devuelve en un momento determinado el capital prestado sin alterar. *Intereses compuestos*, *intereses de intereses*, *interés del interés*, cuando el prestatario suma al capital los intereses que vencen, los capitaliza, y paga ahora interés por el *capital aumentado*. Raro en el cálculo mercantil. #### A) Intereses simples. ##### I) Hallar los intereses de un capital. El *tipo de interés* se entiende por lo general por *1 año*; en los negocios de descuento, a veces por *mes*. Pero el periodo para el que hay que calcular los intereses de un capital dado puede expresarse en *años*, meses, *semanas*, *días*. ##### a) Intereses por años. Si el tipo de interés se calcula por 1 año y hay que calcular los intereses de un capital dado por 1 año, el tiempo no entra en consideración, y solo se trata de hallar los tantos por ciento de 100. Si el tipo de interés fuera mensual, se lo multiplica × 100 [sic], con lo que se reduce a anual. ¿Cuánto son los intereses anuales de 834 Th. al 3 %? | 100 : 834 = 3 : x. x = 25,02. | O bien: | 1 % = 8,34 | |---|---|---| | | | 3 = 25,02 Th. | Si hay que calcular los intereses de *varios años*, el cálculo se hace primero para 1 año y el resultado obtenido se multiplica luego por el *número de años*. O se *multiplica el tipo de interés por el número de años*; así, 4½ % en 2 años = 4½ × 2 % = 9 % en 1 año, o = 1 % en 9 años. ##### Ejemplos. ¿Cuánto son los intereses de 456 Rth. al 3 % en 7 años? | 4,56 = 1 % en 1 año | |---| | 3 × 4,56 = 13,68 = 3 % en 1 año | | 95,76 Th. = 3 % en 7 años | ¿Intereses de 945 fl. al 3⅓ % en 4 años? | 3⅓ % = 1/30 del capital. | |---| | 945/30 = 31 fl. 30 kr. = 3⅓ % en 1 año | | × 4 | | 126 fl. = 3⅓ % en 4 años | ¿Interés de 485 fr. 50 c. al 3½ % en 4 años? | 3½ % en 4 años = 14 % en 1 año | |---| | 4,855 = 1 % | | × 14 | | 67,970 fr. = 67 fr. 97 c. | ¿Interés de 1326 M.B. 8β al 5 % en 2½ años? | 5 % en 2½ años = 12½ % en 1 año | |---| | 12½ % = ⅛ del capital. | | (1326 M.B. 8β)/8 = 165 M.B. 13β. | Si el *capital*, el *tipo de interés y el tiempo* constan de números incómodos, hay que aplicar la regla múltiple. Por ej., ¿cuánto interés dan α) 819 Th. al 4⅔ % en 1¾ años, y β) 56 fl. al 6½ % en ¾ de año? | α) 100 : 819 = 4⅔ % : x | β) 100 : 56 = 6½ % : x | |---|---| | 1 : 1¾ | 1 : ¾ | | x = (819×14×7)/(100×3×4) = (7×273×7)/(100×2) = 66,885 Th. | x = 2,73 fl. | ##### b) Intereses por meses. Se calcula por año y se toma luego de ese resultado la misma parte que los meses dados forman de un año. O se consideran los meses como fracción del año y se multiplica el tipo de interés por esa fracción. | α) ¿Interés de 964 Th. al 5 % en 5 m.? | β) ¿Intereses de 520 Th. al 3 % en 4 m.? | |---|---| | 9,64 × 5, 1 % por año. | 4 m. = ⅓ de año. | | 48,20 = 5 % en 1 año. | ⅓ × 3 % = 1 %. | | 16,066 = 5 % en 4 m. (⅓ de año) | 1 % de 520 Th. = 5,20 Th. | | 4,017 = 5 % en 1 m. (¼ de 4 m.) | | | 20,083 | | *O hay que aplicar la regla múltiple.* ¿Intereses de 429 Th. al 3½ % en 19 meses? | 100 Th. : 429 Th. = 3½ % : x | (Cuanto más capital, más intereses. | |---|---| | 12 : 19 = | (Cuanto más tiempo, más intereses | | x = 23,77 Th. | | ##### c) Intereses por semanas. Antes (hasta 1851), habituales en Augsburgo entre los banqueros. ##### d) Intereses por días. En el tráfico mercantil los intereses se calculan casi siempre por días. Se toma 1 año = 360 d., cada mes = 30 d. Aun cuando, al determinar el número de días de que hay que calcular los intereses, se cuenta cada mes por los días que tiene realmente, el tipo de interés se entiende siempre por 360 d. *Excepciones: Inglaterra, colonias inglesas y América.* Aquí el tipo de interés se entiende por 365 d. Se cuenta, pues, también cada mes por los días que tiene realmente. Por consiguiente, en todo caso en que haya que calcular los intereses por días es posible una triple solución, como sigue, para: ¿interés de 1832 Th. al 4 % del 7 de feb. al 11 de sept. de 1855? | *α) Tipo de interés por 365 días* | *β) Tipo de interés por 360* d. | *γ) Tipo de interés por 360 días.* | |---|---|---| | *1 m. = tantos días como tiene.* | *1 m. = tantos días como tiene.* | *1 m. = 30 días.* | | 100 : 1832 Th. = 4 % : x | 100 Th. : 1832 Th. = 4 % : x | 100 Th. : 1832 Th. = 4 % : x | | 365 días : 216 d. = | 360 d. : 216 d. | 360 d. : 213 d. = | | x = 43 Th. 11 sgr. | x = 43 Th. 29 sgr. | x = 43 Th. 16 sgr. 8 pf. | A la verdad (!) se llega más cerca, y también más cómodamente, con 360 d. = año y mes = 30 d. Si el planteamiento principal | γ) 100 de capital : capital dado = tipo de interés : x | |---| | 360 días : días dados | se divide por el tipo de interés en 360 × 100 = 36,000, se obtiene, como la mayoría de los tipos de interés usuales en el comercio caben sin resto en 36,000, un cociente que se usa del modo siguiente para el cálculo de intereses: *se multiplica el capital por los días* y se *divide* el *producto por el cociente que da el tipo de interés*. A saber: x = (capital dado × días dados × tipo de interés)/(100 (capital) × 360 días) = (capital dado × días dados) × tipo de interés/36000 = (capital dado × días dados)/36000/tipo de interés. Estos cocientes que se usan como divisores son, por ej., para el 1 % = 36000/1 = 36000; para el 4 % = 36,000/4 = 9000, etc. Por ej., ¿intereses de *948 Th. al 4 % en 148 días*? (948×148)/9000 = 15 Th. 18 sgr. ##### Cálculo de los intereses de varios capitales. *α) Tipo de interés igual y tiempo igual:* se suman los capitales. Se calcula de la suma del modo ordinario. ¿Interés de 960 Th., 430 Th., 500 Th. y 1250 Th. en 9 meses al 4 %? Suma de los capitales = 3140 Th., a 9 m., al 4 % = 94,2 Th. *β) Tipo de interés desigual y tiempo igual:* el método se basa en el principio de que los intereses de 100 fl. al 5 % = interés de 500 fl. al 1 %; los intereses de 100 fl. en 4 m. = intereses de 400 fl. en 1 m.; además, los intereses de 100 fl. al 4 % en 3 años = intereses de 4 × 3 × 100 fr. en 1 año. Por eso se multiplica cada capital por su tipo de interés, con lo que resultan capitales prestados al 1 %, y se calculan ahora de su suma los intereses del tiempo dado. Por ej., ¿*intereses* de 920 Th. al 4 %, 760 Th. al 3 %, 184 Th. al 3½ % en 1½ años? | 920 Th. al 4 % = 3680 Th. | o 6604 Th. al 1 % en 1½ años. x = (6604×1)/1/2 = 99,06 Th. de intereses. | |---|---| | 760 al 3 = 2280 | | | 184 … 3½ = 644 | | *γ) Tipo de interés igual y tiempo desigual:* hay que llevar los tiempos dados *a la misma denominación*; luego se multiplica cada capital por el tiempo que le corresponde, con lo que resultan capitales de cuya suma hay que calcular los intereses de 1 unidad de tiempo, es decir, de 1 año, 1 mes, etc. Por ej., ¿intereses de 900 fl. en 7 m., 840 fl. en 6½ m., 650 fl. en ¾ de año y 1245 fl. en 20 d., al 5 %? | 900 fl. en | 7 m. = | 6300 fl. | en 1 m. | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 840 | 6 = | 5460 | | | | | | 650 | 9 = | 5850 | | | | | | 1245 | ⅔ = | 830 | | | | | | | | 18440 | | | en 1 m. al 5 %. | x = 76 fl. 50 kr. | A saber: | 100 : 18440 = 5 % : x | |---| | 12 m. : 1 | | x = (18440×5)/1200 = 18440/240. | *δ) Tipo de interés desigual y tiempo desigual.* Se llevan las determinaciones de tiempo a la misma denominación, se multiplica cada capital × su tiempo y su tipo de interés, y se calculan de la suma de los productos los intereses al 1 % por 1 unidad de tiempo. *Ejemplo:* ¿cuánto importa la *suma de intereses* de 490 marcos banco al 3 % en 9 m., 860 al 4 % en 1¼ años; 642 al 6 % en 65 d.; 2000 al ⅜ % mensual en 10 meses? | 490 al 3 % en | 9 m. = | 13,230 M. B. | al 1 % en 1 m. | |---|---|---|---| | 860 al 4 | 15 = | 51,600 | | | 642 al 6 | 2⅙ = | 8346 | | | 2000 … 4½ | 10 = | 90000 | | | x = 163176/1200 = 135 M. B. 15β. | | | | ##### II) Hallar el capital. Al hallar los *intereses de un capital* solo intervienen *razones directas*; al *hallar el capital, el tipo de interés y el tiempo*, en cambio, *directas* e *inversas*. *El capital y los intereses*, en razón directa. (Cuanto más capital, más intereses.) *El capital y el tipo de interés, en razón inversa* (cuanto mayor el tipo de interés, menor puede ser el capital, etc.). *El capital y el tiempo, en razón inversa* (cuanto mayor la duración, menor el capital, etc.) ##### Ejemplos. *¿De qué tamaño es un capital cuyos intereses anuales al 5 % ascienden a 165 Th.?:* 5 : 165 = 100 : x. x = 3300 Th. O, como 165/5 = 33, el capital tiene que ser = 33 × 100 = 3300. ¿Qué capital hace falta para dar al 5 % los mismos intereses que dan 3200 fl. al 4 %? 5 : 4 = 3200 : x; x = 2560 fl. Cuanto mayor el tipo de interés, menor el capital. ¿Qué capital da en 4 años los mismos intereses que 1680 M.B. en 3 años? 4 años : 3 = 1680 : x; x = 1260. Cuanto más tiempo, menos capital. ¿Qué capital dio en 4 meses, al 5 %, 64 fl. de intereses? | 4 m. : 12 m. = 100 fl. de cap. : x | (Cuanto menos tiempo, *más* capital) | |---|---| | 5 fl. de int. : 64 fl. de int. | (Cuanto más intereses, más capital.) | | x = (1200×64)/20 = 60 × 64 = 3840 fl. | | ##### III) Hallar el tipo de interés. Si el *tipo de interés* = x intereses *que dan 100* en 1 año, o 12 m., o 360 (o 365) d., la pregunta al hallar el tipo de interés es: ¿x intereses dan 100 en 1 año, etc.?, si un capital dado da en un tiempo dado ciertos intereses. Entonces *todas las razones son directas*. Pues si 100 es *menor o mayor* que el capital dado, da *menos* o *más intereses*. Si el *tiempo* (1 año, etc.) que está prestado 100 es > [o] < que el tiempo por el que está prestado el capital dado, 100 da *menos*, *más* intereses. Pero si se considera el *tipo de interés* como la *medida* según la cual un capital estaba o ha de estar prestado por cierto tiempo, *las razones son inversas*. Pues cuanto mayor o menor, en comparación con 100, el capital dado, menor, mayor puede ser el tipo de interés. Cuanto mayor, menor, en comparación con el tiempo que corresponde a 100, la duración por la que se ha prestado el capital dado, menor, mayor el tipo de interés. *Con los intereses*, sin embargo, *el tipo de interés* está en *razón directa*. Cuantos más intereses, mayor el tipo de interés; cuantos menos intereses, menor. ##### Ejemplos. ¿A qué interés (x %) está prestado un capital de 450 Th. cuyos intereses anuales son 18 Th.? 450 : 100 = 18 : x. x = 4 %. *Directa:* cuanto menor el capital (100), menores los intereses. *Inversa:* cuanto mayor el capital (450), menores los intereses. ¿A qué tipo de interés hay que prestar un capital que ha de dar en 9 m. los mismos intereses que ha dado en 1¼ años al 3 %? 9 m. : 15 = 3 % : x. x = 5 %. *Inversa:* cuanto menos tiempo, mayor el tipo de interés. ¿A qué % hay que prestar 960 fl. si han de dar en el mismo tiempo los intereses de 840 fl. al 6 %? 960 : 840 = 6 : x. x = 5¼ %. *Inversa:* cuanto mayor el capital, menor el tipo de interés. ¿A qué % está prestado un capital que da 120 Th. de intereses, si antes, al 5 %, daba 133⅓ Th. de intereses? 133⅓ : 120 = 5 : x. x = 4½ %. *Directa:* cuantos menos intereses, menor el tipo de interés. Si en 4½ años se han cobrado de 850 fl. de capital 153 fl. de intereses, ¿a qué tipo de interés estaba prestado este capital? | 850 : 100 = 153 : x | |---| | 4½ años : 1 | | x = 4 % | Si de 450 Th. se cobran en 1½ años los mismos intereses que daba el capital de 765 Th. en 9 meses al 6 %, ¿a qué % está prestado el primer capital? | 450 : 765 = 6 : x | *Inversa:* cuanto menor el capital, mayor *puede* ser el tipo de interés | |---|---| | 18 : 9 | m. *Inversa*. Cuanto más tiempo, menor *tiene que* ser el tipo de interés. | | x = 5,1 %. | | ##### IV) Hallar el tiempo. *El tiempo está con los intereses en razón directa:* cuantos más\menos intereses, más\menos tiempo. *El tiempo está con el capital en razón inversa:* cuanto mayor el capital, menos tiempo, y viceversa. *El tiempo está con el tipo de interés en razón inversa:* cuanto mayor el tipo de interés, menos tiempo, y viceversa. ##### Ejemplos. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado un capital que dio 54 Th. de intereses, si otro capital igual de grande dio en 3¼ años 52 Th. de intereses? *Directa:* cuantos más intereses, más tiempo. 52 Th. : 54 Th. = 3¼ años : x. x = 3⅜ años. ¿Qué duración hace falta para ganar, con igual tipo de interés, con 364 fl. de capital tantos intereses como con 390 fl. en 9⅓ meses?: 364 : 390 = 9⅓ m. : x. x = 10 m. *Inversa:* cuanto menos capital, más tiempo. ¿Cuántos años tienen que estar prestados 1000 M.B. para dar al 4 % tantos intereses como han dado al 4½ % en 2 años 8 m.? 4 % : 4½ % = 32 m. : x. x = 36 m., o 3 años. *Inversa:* cuanto menor el tipo de interés, más tiempo. ¿Cuánto tiempo han estado prestados 2650 Th. si sus intereses al 4½ % ascienden a 397 Th. 15 sgr.? | 2650 Th. : 100 Th. = 1 año : x | *Inversa:* cuanto más capital, menos tiempo. | |---|---| | 4½ % : 397½ | Directa: cuantos más intereses, más tiempo. | | x = 3⅓ años. | | ¿Cuánto tiempo tienen que estar prestados 1960 Th. para dar al 3 % los mismos intereses que 1260 al 3½ % en 9⅓ m.? | 1960 fl. : 1260 fl. = 9⅓ m. : x | *Inversa:* cuanto más capital, menos tiempo. | |---|---| | 3 % : 3½ % | *Inversa:* cuanto menor el tipo de interés, más tiempo | | x = 7 m. | | Un capital de 1780 marcos banco dio en 225 d. 44 M.B. 8β de intereses. ¿Cuánto tiempo tienen que estar prestados 1125 M.B. para dar 36½ M.B. de intereses? | 1125 M. : 1780 M. = 225 d. : x | *Inversa:* cuanto menos capital, más tiempo. | |---|---| | 44½ de int. : 36½ | *Directa:* cuantos menos intereses, menos tiempo. | | x = 292 días. | | ##### V) Hallar un capital aumentado en los intereses. Este problema no puede resolverse en un solo planteamiento, pero sí por dos caminos. 1) ¿Cuánto hacen 1260 Th. en 6½ m. de capital e intereses al 4 %? α) Se calculan primero los intereses sobre 100. 12 m. : 6½ m. = 4 : x. x = 2⅙ %. El capital, pues, en 6½ meses = 102⅙, y ahora: 100 : 1260 = 102⅙ : x. x = *1287,3*. β) *O* se buscan primero los intereses de 1260 Th. en 6½ m. al 4 %. Se hallan 27,3 Th. de intereses. Sumados al capital = 1287,3. 2) ¿Qué valor tienen, al cabo de 186 días, 980 fl. de capital al 5 %, en capital e intereses? | α) 360 : 186 | = 5 : x | |---|---| | x | = 2 7/12 | | | + 100 | | | = 102 7/12 | Esto es 100 + el interés al 5 % en 186 días. | b) 100 : 980 = 102 7/12 : x | |---| | x = 1005 fl. 19 kr. | De ahí se sigue, a la inversa, que 1005 fl. 19 kr. pagaderos *dentro de* 186 días tienen un *valor actual al contado* de 980 fl., conclusión en que se basa el cálculo de descuento. ##### VI) Hallar los intereses o el capital contenidos en un valor que representa capital e intereses. Al cabo de 7 m. se reciben, en capital e intereses, por un capital prestado al 5 %, 967 Th. 12 gr. 5 pf. ¿Cuánto importan los intereses contenidos en esta suma? | 12 m. : 7 m. = 5 % : x | |---| | x = 2 11/12 % | | 102 11/12 Th. : 967. 5/12 Th. = 2 11/12 : x | | x = 27 5/12 Th. Así pues, el capital original = 940. | | O, si ha de hallarse desde el principio el *capital original*: 102 11/12 Th. : 967 5/12 Th. = 100 : x. x = 940. | * * * ##### VII) Hallar un tipo de interés medio para varios capitales. ##### a) Capitales iguales y tiempos iguales. *Se suman los distintos tipos de interés y se divide su suma por el número de capitales.* ¿Cuál es el tipo de interés medio de 4 capitales iguales al 3, 3½, 4 o 5 %? x = (3+3,5+4+5)/4 = 15,5/4 = 3⅞ %. ##### b) Capitales desiguales y tiempos iguales. *Aquí hay que multiplicar cada capital por el tipo de interés que le corresponde y dividir la suma de estos productos por la suma de los capitales.* El cociente = el tipo de interés medio. ¿Cuál es el tipo de interés medio de los siguientes capitales prestados por 3 meses: 2000 Th. al 3 %, 4000 Th. al 4 %, 6000 al 4⅓ % y 1500 Th. al 6 %? | 2000 × 3 = | 6000 | | | |---|---|---|---| | 4000 × 4 = | 16,000 | | | | 6000 × 4⅓ = | 26,000 | | | | 1500 × 6 = | 9000 | | | | 13,500 en | 57,000 = | | 4 2/9 %. | Prueba. | 2000 al 3 % en | 3 m. = | 15 Th. | |---|---|---| | 4000 al 4 % | 3 ídem | 40 | | 6000 al 4⅓ | 3 ídem | 65 | | 1500 al 6 | 3 ídem | 22. 15 sgr. | | | | 142½ Th. | Pero 13,500 al tipo de interés medio de 4 2/9 % = 142½ Th. La razón de este procedimiento: multiplicando cada capital por su tipo de interés se convierten todos los importes en capitales colocados al 1 %, y la diversidad de los tipos de interés ya no entra en consideración. Pero como el tipo de interés no ha de hallarse para la suma de los productos, sino para la suma de los capitales, hay que formar la siguiente regla de tres: suma de los capitales : suma de los productos = 1 % : x, o, como 1 no multiplica, x = (suma de los productos)/(suma de los capitales). (Pues: cuanto menor el capital, mayor el tipo de interés.) ##### c) Capitales iguales y tiempos desiguales. Primero se hacen homogéneos los tiempos, si no lo son ya. Luego se multiplica el tipo de interés de cada capital por el tiempo que le corresponde, y se divide la suma de los productos por la suma de los tiempos. De 4 capitales iguales, A está prestado por 6 m. al 4 %, B por 5 m. al 3 %, C por 4 m. al 4½ % y D por ¼ de año al 5 %. ¿Cuál es *el tipo de interés medio de estos capitales?* ¼ de año = 3 m. Así pues, D por 3 m. al 5 %. | 6 m. al | 4 % = | 1 m. al | 24 % | *72/18 = 4 %, tipo de interés medio* | |---|---|---|---|---| | 5 | 3 = | 1 | 15 | | | 4 | 4½ = | 1 | 18 | | | 3 | 5 | 1 | 15 | | | 18 m. | | | 72 | | Prueba Sea cada uno de los 4 capitales iguales = 600 | 600 Th. al 4 % en | 6 meses | = 12 Th. de intereses. | |---|---|---| | 600 al 3 | 5 | = 7,5 | | 600 al 4½ | 4 | = 9 | | 600 al 5 | 3 | = 7,5. | | | | 36 Th. de intereses. | ⦗Si tomamos la suma de los meses = *18* y la dividimos por el número de los distintos tiempos, = 4, el promedio = 18/4 = 4½ m. En este tiempo medio de circulación la suma de los capitales = 600 × 4 = 2400 al 4 % da 36 Th.⦘ La prueba es otra: que cada capital por separado se calcula por su tiempo de circulación al tipo de interés medio. Resulta entonces: | 600 Th. en | 6 m. | = 12 Th. de intereses | |---|---|---| | 600 | 5 | = 10 | | 600 | 4 | = 8 | | 600 | 3 | = 6 | | 2400 | | = 36. | * * * ##### d) Capitales desiguales, tiempos desiguales. Como en este caso, además del *tipo de interés medio*, hay que hallar un *vencimiento medio*, esto pertenece al *cálculo de vencimientos*, que viene después (véase p. [132-134)] #### B) Cálculo de intereses compuestos. Un capital con intereses compuestos se *duplica* al 3 % en 23,45 años, al 4 % en 17,673 años; se *triplica* en 37,161 años; 28,011 años, etc. La aritmética da aquí poco, y torpemente. Los problemas más complicados solo pueden resolverse empleando los logaritmos. ##### Ejemplos. A) ¿A cuánto llega un capital de 850 Th., capitalizando anualmente los intereses, con intereses compuestos al 5 %, al cabo de 5 años? | *1) Por la regla de cadena.* | | | *2) Por regla de tres* | | | |---|---|---|---|---|---| | 1 Th. | = 850 Th. de capital. | | 100 : 850 | = 105 : x | x = 892,5 al final del 1.er año | | 100 | = 105 al cabo del | 1.er año | 100 : 892,5 | = 105 : x | x = 937,125 al final del 2.º año | | 100 | = 105 | 2.º año | 100 : 937,125 | = 105 : x | x = 983,9813 al final del 3.er año | | 100 | = 105 | 3.er año | 100 : 983,9813 | = 105 : x | x = 1033,1804 al final del 4.º año | | 100 | 105 | 4.º año | 100 : 1033,1804 | = 105 : x | x = 1084,8394 al final del 5.º año | | 100 | 105 | 5.º año | | | | | x = 1084,8393 Th. | | | | | | Si la capitalización de los intereses se hubiera hecho *semestralmente*, entonces: | | x Th. | = 850 Th. | | |---|---|---|---| | 1) | 100 | = 102,5 al cabo de | 1 semestre | | 2) | 100 | = 102,5 | 2 | | 3) | 100 | = 102,5 | 3 | | 4) | 100 | = 102,5 | 4 | | 5) | 100 | = 102,5 | 5 | | 6) | 100 | = 102,5 | 6 | | 7) | 100 | = 102,5 | 7 | | 8) | 100 | = 102,5 | 8 | | 9) | 100 | = 102,5 | 9 | | 10) | 100 | = 102,5 | 10 | | x = 1088,0718. | | | | *Segundo ejemplo* (a la inversa) ¿Cuál era el capital inicial que, al cabo de 5 años, capitalizando anualmente los intereses al 5 %, ha crecido hasta 1084,8394 Th.? | *1) Regla de cadena.* | | *2) Regla de tres.* | | | |---|---|---|---|---| | x Th. | = 1084,8394 Th. | 105 : 1084,8393 | = 100 : x. | x = 1033,1803. | | 105 | = 100 | 105 : 1033,1803 | = 100 : x. | x = 983,9812. | | 105 | = 100 | 105 : 983,9812 | = 100 : x | x = 937,125. | | 105 | = 100 | 105 : 937,125 | = 100 : x | x = 892,5 | | 105 | = 100 | 105 : 892,5 | = 100 : x. | x = 850 Th. | | 105 | = 100 | | | | | x = 850 Th. | | | | | * * * ### Cálculo de descuento. En las ventas a plazo o a crédito, en los giros a vista larga, etc., el deudor tiene que pagar cierto importe en un momento determinado sin tener que pagar intereses por él hasta entonces. El acreedor suma en este caso a ese capital los intereses que obtendría de su capital si pudiera usarlo él mismo. El *importe de la deuda* = *capital + intereses del tiempo dado*. Si el deudor, de acuerdo con el acreedor, salda su deuda *antes del vencimiento*, hay que *deducir los intereses del tiempo* en que ha cumplido *antes* su obligación. Esta *rebaja* o *deducción del importe de la deuda* = *descuento*. Pagar una deuda antes del vencimiento, con deducción del descuento, se llama *descontar*. *Negocio de descuento:* letras que vencen más tarde, compradas con deducción del descuento por el tiempo que les queda por correr hasta el descuento. El *capital por descontar* no es un valor *puro*, sino un *valor aumentado*. Por eso la deducción de los intereses que contiene no ha de hacerse en *tantos por ciento de*, sino *sobre 100*. Con la deducción en tantos por ciento *sobre* 100, el pago al contado, si se invierte en seguida al mismo tipo de interés, da tantos intereses como importa la deducción hecha al descontar. Por ej., hay que descontar al 3 % 2060 Th. pagaderos dentro de 1 año. Así: 103 : 2060 = 3 : x. x = 60, y 2060 - 60 = 2000. Esta suma, colocada en seguida otra vez a interés al 3 %, da 100 : 200 [sic] = 3 : x. x = 6000/100 = 60 Th. Si, en cambio, el descuento se calculara *de* 100, se tendría: 100 : 2060 = 3 : x. x = 6180/100 = 61,8. El pago al contado sería 2000 - 61,8 = 1998,2 Th., que, colocados al 3 %, solo dan 59,946 Th. de intereses: pérdida para el que recibe de 1,854 Th., que solo podría compensar volviendo a prestar la suma recibida a un tipo de interés *más alto*, algo así como el 3 1/10 %. Aunque con este último modo de calcular el descuento el que recibe sale perjudicado, es el uso *mercantil*. En parte porque el cálculo es más cómodo, en parte porque la diferencia rara vez tiene importancia en los negocios mercantiles, pues el periodo por el que se descuenta suele ser corto. Otra cosa es en los negocios de descuento con no comerciantes. Adquisición de fincas, etc. #### A) Descuento simple. ##### I) Descuento simple sobre 100. ##### 1) Hallar el descuento. ¿Cuánto es el descuento de 1200 Th., pagaderos el 24 de sept. y descontados el 12 de julio al 4 %? Del 12 de julio al 24 de sept., a mes de 30 d., = 72 d. Se calcula primero cuántos intereses dan 100 en 72 d. al 4 %. *360 : 72 = 4 : x.* | *x = ⅘ %.* Un capital de 100 vale, pues, en 72 d., al 4 %, 100⅘ Th. A la inversa, 100⅘ pagaderos dentro de 72 días = 100 al contado, o dan un descuento del ⅘ %. ¿Cuánto es el descuento de 1200? | *100⅘ : 1200 = ⅘ : x.* | x = 9 11/21 Th. = 9 Th. 15 sgr. 7 pf. Pero es más correcto, y también más habitual, en el descuento *sobre* 100 contar el año a 365 d., tanto para el tipo de interés como para el tiempo que el capital tiene aún que correr. Entonces, 12 de julio-24 de sept. = 74 días, y: 365 : 74 = 4 : x. x = 296/365 %. Y, por tanto: 100 296/365 : 1200 = 296/365 : x. x = 9 6009/9199 = 9 Th. 19 sgr. 6 pf. También puede darse el capital *descontado* para *hallar el descuento*. Entonces: ¿cuánto es el descuento si un capital descontado a 72 días al 4 % se paga con 1190 10/21? El valor al contado 100 da ⅘ de descuento; ¿cuánto dan 1190 10/21? | 100 : 1190 10/21 = ⅘ : x. x = 9 11/21 Th. ##### 2) Hallar el capital descontado. Aquí, además del *tipo de interés* y el *tiempo*, puede darse o el *capital por descontar* o *el descuento*. Se calculan, como arriba, los intereses de 100 de capital en 72 días al 4 % = ⅘. Si 100 + ⅘, pagaderos dentro de 72 días, = 100 al contado, ¿cuál es el valor al contado de 1200 Th. pagaderos dentro de 72 días? 100⅘ : 1200 = 100 : x. x = 1190 10/21 Th. ¿Cuánto se pagó por un *capital descontado* al 4 % si el descuento por 72 días fue de 9 11/21 Th.? ⅘ : 9 11/21 = 100 : x. x = 1190 10/21 Th. ##### 3) Hallar el capital por descontar. Aquí, además del *tipo de interés* y el *tiempo*, puede darse o el *capital descontado* o el *descuento*. ¿Cuál es el capital que, deducido un 4 % de descuento por 72 d., ha dejado 1190 10/21 Th.? Primero hay que calcular los intereses de 100 en 72 d. al 4 % = ⅘ %. Luego: 100 : 1190 10/21 = 100⅘ : x. x = 1200 Th. ¿Cuál es el capital que se ha descontado por 72 d. al 4 % con 9 11/21 Th.? 100 = ⅘ de intereses. Así: ⅘ : 9 11/21 = 100⅘ : x. x = 1200 Th. El *precio al contado* de una mercancía ha de considerarse *capital descontado* cuando se opone al precio de la misma mercancía *a plazo*, y la determinación del segundo a partir del primero corresponde a la determinación del capital por descontar a partir del capital descontado. Si, por ej., el precio al contado de una mercancía es = 16 Th., para 3 m. de crédito, si el vendedor se calcula un 5 % de intereses, debería ser: 100 : 16 = 101¼ : x. x = 16,2 Th. La mercancía podría venderse a este precio a 3 meses, o al contado con un 5 % de descuento anual; pero entonces el descuento tendría que calcularse *sobre* 100. Pero como en el tráfico mercantil el descuento se calcula siempre *de* 100, más adelante se indicará el camino para determinar este precio. ##### 4) Hallar el tipo de interés. ¿Qué tanto por ciento es el descuento si 1200 Th. se han descontado por 72 días con 9 11/21 Th.? Tanto el *tipo de interés* como el *tiempo* se entienden siempre por 100 de valor puro, que aún no ha sufrido alteración alguna según ciertos tantos por ciento. El capital por descontar dado, como incluye los tantos por ciento de cierto tiempo, *no es*, por tanto, *proporcional* a 100, y solo lo es una vez que se lo ha librado del descuento que contiene. | (1200 Th. ÷ (menos) 9 11/12 Th.) : 100 Th. de capital = 9 11/21 Th. de descuento : x | |---| | 72 días : 360 | | x = 4 % | Si la pregunta fuera: ¿cuánto es el descuento si, deducidos 9 11/12 Th. de descuento por 72 días, se han pagado 1190 10/21 Th.?, no haría falta, naturalmente, deducir el descuento. ##### 5) Hallar el tiempo. ¿Cuánto tiempo tiene aún que correr un capital de 1200 que se descontó al 4 % con 9 11/12 Th.? | (1200 Th. ÷ 9 11/12 Th.) : 100 Th. de cap. = 360 días : x d. | |---| | 4 Th. de descuento : 9 11/21 Th. de descuento. | | x = 72 días | * * * ##### II) Descuento simple de 100. ##### 1) Hallar el descuento. *¿Cuánto es el descuento de 1200 Th.* por *72 d. al 4 %*? Primero hay que ver cuánto dan 100 en 72 años [sic] al 4 %: 360 : 72 = 4 : x. x = ⅘. Luego: *100 : 1200 = ⅘ : x.* x = 9,6 Th. El cálculo del descuento *de* 100 (como también para cada uno de los casos siguientes) coincide por completo con el cálculo de los intereses. Descontando según el tipo de descuento *de* 100, el que recibe el pago al contado sufre siempre una deducción mayor que según el mismo tipo de descuento *sobre* 100. También aquí puede darse, para hallar el descuento, el capital *descontado*. Por ej., ¿cuánto es el descuento si un capital descontado por 72 d. al 4 % tiene un valor al contado de 1190,4 Th.? Intereses de 100 en 72 días = ⅘ (al 4 %). Por tanto, valor al contado de 100 antes de cumplirse los 72 días = 100 - ⅘ = 99⅕, y *99⅕ : 1190,4 Th. = ⅘ : x; x = 9,6 Th.* ##### 2) Hallar el capital descontado. *Para ello, además del* **tiempo** *y del tipo de interés, puede darse el capital descontado.* a) *¿Cuánto son 1200 Th. deducido un 4 % de descuento por 72 días?* Se calcula primero la deducción del descuento = 9,6 Th. Luego, 1200 Th. - 9,6 Th. = 1190,4 Th. O se resta el descuento de 100 en 72 d. = ⅘ de 100 = 99⅕. Luego: 100 : 1200 = 99⅕ : x. x = 1190,4 Th. b) *¿Cuánto fue* *el capital descontado si* el *descuento calculado* al *4 % por 72* días = 9,6 Th.? *⅘ : 9,6 = 99⅕ : x.* x = *1190*,4 Th. *Fórmulas para simplificar el cálculo:* sea el *valor al contado de 800* Th. *pagaderos dentro de 41 días*, con un descuento del 4 % *sobre* o *de* 100. Según 360 : 41 = 4 % : x, los intereses en 41 días = 41/90, y por tanto: α) *Descuento sobre 100:* α) 100 41/90 : 800 = 100 : x, *o* 9041 : 800 = 9000 : x β) *Descuento de 100:* β) 100 : 800 = 99 49/90 : x, *o* 9000 : 800 = 8959 : x De ahí se sigue: α) el capital que ha de disminuirse según un tipo de descuento *sobre* 100 se halla multiplicándolo por el divisor correspondiente al tipo de descuento y dividiéndolo por ese mismo divisor aumentado en el número de días dado. β) El capital que ha de disminuirse según un tipo de descuento *de* 100, multiplicándolo por el divisor disminuido en el número de días y dividiéndolo por el divisor. ##### 3) Hallar el capital por descontar. Además del *tipo de interés* y del *tiempo*, aquí puede darse α) el *descuento* o β) el *capital descontado*. α) *¿De qué tamaño es un capital descontado* al 4 % con *9,6 Th.* por 72 días? | 4 Th. de descuento : 9,6 Th. de descuento = 100 Th. de capital : x | |---| | 72 días : 360 días | | x = 1200 Th. | β) *¿De qué tamaño es un capital que, deducido un 4 % de descuento por 72 días, deja 1190,4 Th.?* Descuento de 100 Th. por 72 días al 4 % = ⅘ Th.; 100 - ⅘ = 99⅕, y: 99⅕ : 1190,4 = 100 : 1200. El *valor descontado*, como se ha observado, corresponde al *precio al contado* de una mercancía; un *valor por descontar*, al *precio de una mercancía que se vende a plazo o a crédito*. Según el uso mercantil, también en el comercio de mercancías el descuento se calcula según el tipo *de* 100. Así pues, la pregunta es: *¿cómo determinar, a partir del precio de una mercancía que se vende al contado, el precio de la misma mercancía a plazo?* Por ej., ¿cuál es el precio de una mercancía a plazo de 3 m. con un 5 % de descuento, si al contado se vende a 16 Th.? Para 3 m., el 5 % = 5/4 % = 1¼ %; 100 Th. en 3 meses valen, pues, al contado 100 - 1¼ = 98¾ al contado. Por 16 Th. al contado hay, pues, que pedir a plazo de 3 m.: 98¾ : 16 = 100 : x; x = 16 16/79 Th. que hay que pedir. Si el comprador, a quien se cotiza la mercancía a 16 16/79 Th. a plazo de 3 m. o al contado con un 5 % de descuento, se ofrece a pagar al contado en el acto de la compra, el vendedor recibe en efecto 16 Th. al contado, pues el 5 % sobre 16, 16/79 Th. por 3 m. = 16/79 Th. Pero si solo hace uso del pago al contado más tarde, por ej., un mes antes del vencimiento, el vendedor sale estafado.[^h2] El descuento sobre 16 16/79 Th. por 1 m. al 5 % da 16/237 Th. Recibe, pues, 16 16/237 Th. Estos dan en intereses por 1 m. al 5 % solo 239/3555 Th., en vez de 240/3555, o 16/237, que tenía que conceder como descuento. ##### 4) Hallar el tipo de interés. ¿Cuál es el tipo de interés al que se han descontado 1200 Th. por 72 días con 9,6 Th.? | 1200 Th. : 100 Th. = 9,6 Th. de descuento : x | |---| | 72 : 360 días | | x = 4 % | ##### 5) Hallar el tiempo. ¿Por cuántos días se descontó un capital de 1200 Th. si se cargaron 9,6 Th. de descuento al 4 %? | 1200 Th. : 100 = 360 días : x | |---| | 4 desc. : 9,6 desc. = | | x = 72 días. | #### B) Descuento compuesto. | 1) ¿Qué valor tiene el 6 de mayo de 1855 un crédito de 2000 Th., pagadero el 6 de agosto de 1857, con un 4 % de descuento del descuento? | α) Descuento sobre 100. | | β) Descuento de 100. | | |---|---|---|---|---| | | x de capital | = 2000 Th. de cap. | x Th. de capital | = 2000 Th. de cap. | | | 104 | = 100 (1.er año) | 100 | = 96 por 1 año | | | 104 | = 100 (2.º año) | 100 | = 96, 2.º año | | | 101 | = 100 (3 m.) | 100 | = 99, 3 m. | | | x = 1830,804 Th. (x para el primer término: *104 : 100 = 2000 : x*) | | x = 1824,788 Th. (x para el primer término: 100 : 96 = 2000 : x) | | 2) Una deuda pública de 20 millones de Th. ha de amortizarse cada año en un 1 %, de modo que ese uno por ciento se refiera siempre al importe de capital que queda tras la amortización hecha. ¿A qué importe se ha reducido la deuda al cabo de 5 años? *Tantos por ciento de 100.* | x Th. de cap. | = 20.000000 Th. | |---|---| | 100 | = 99 | | 100 | = 99 | | 100 | = 99 | | 100 | = 99 | | 100 | = 99 | | x = 19,019800,998 Th. | | ### Cálculo de vencimientos. (Cálculo de reducción, cálculo de tiempo) Para *varios capitales que vencen en tiempos distintos* hay que hallar *un vencimiento medio, común o promedio*, en el que, sin perjuicio para el acreedor ni para el deudor, pueda hacerse el pago de esos capitales *de una vez*. Hay que distinguir: I) *Los capitales no devengan interés.* II) *Devengan interés hasta su devolución, y los tipos de interés pueden ser iguales o desiguales.* #### I) Capitales que no devengan interés. ##### 1) Los capitales son iguales. ¿Cuál es el vencimiento común de 6 capitales iguales de 900 Th. cada uno, pagaderos, respectivamente, en 4, 5, 7, 9, 10 y 14 meses? *Súmense los distintos tiempos* y *divídase la suma* *por el número de capitales*. (4+5+7+9+10+14)/6 = 49/6 = 8⅙ m., *vencimiento común*. α) Los *intereses de la suma de los capitales en el vencimiento común* —esto demuestra que la operación es correcta— son = al *importe de los intereses* de los *capitales en los distintos plazos*. Por ej., *sea el tipo de interés* = 4 %. | 900 Th. en | 4 m. | = 12 Th. | |---|---|---| | 900 | 5 | = 15 | | 900 | 7 | = 21 | | 900 | 9 | = 27 | | 900 | 10 | = 30 | | 900 | 14 | = 42 | | *Suma de los intereses* | | = 147 Th. | e igualmente *5400 Th. en 8⅙ m. al 4 %* = 147 Th. de intereses. Pues: | 100 : 5400 = 4 : x | |---| | 12 : 8⅙ | | x = (5400×(8+(1/6))×4)/1200 = (5400×(8+(1/6)))/300 | β) Cuatro giros, de 1800 fl. cada uno, librados el 7 de abril, a 14 días, 1 m., 7 semanas fecha y a fin de *junio*, han de reducirse a un vencimiento común. Primero hay que *determinar el vencimiento de cada giro*. El primero vence el 21 de abril; el 2.º, el 7 de mayo; el 3.º, el 26 de mayo; el 4.º, el 30 de junio. Para hallar ahora el *número de días* que le quedan por correr a cada giro, se puede contar: 1) *desde el día del libramiento*; 2) *desde el día del vencimiento más temprano*, y 3) desde un *momento elegido a voluntad*, que, naturalmente, no puede pasar del vencimiento más temprano. | 1) Desde el día del libramiento. (1 m. = 30 días) | | | 2) Desde el día del vencimiento más temprano. | | | 3) Desde un momento cualquiera, por ej., el día en que se recibe el aviso del giro, digamos el 15 de abril. | | | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | del 7 de abril | al 21 de abril | = 14 días | Del 21 de abril | al 21 de abril | = 0 días | Del 15 de abril al | 21 de abril | = 6 días | | | 7 de mayo | = 30 | | 7 de mayo | = 16 | | 7 de mayo | = 22 | | | 26 | = 49 | | 26 | = 35 | | 26 | = 41 | | | 30 de junio | = 83 | | 30 de junio | = 69 | | 30 de junio | = 75 | | | | 176 días. | | | 120 días. | | | 144 días. | | 176 días divididos por 4 = 44 días; desde el 7 de abril = 21 de mayo | | | 120 d. divididos por 4 = 30 días. 21 de abril = 21 de mayo. | | | 144 días divididos por 4 = 36 d. Desde el 15 de abril = 21 de mayo. | | | ##### 2) Los capitales son desiguales. Es lo más frecuente en la práctica mercantil. El modo de cálculo se basa en que, por ej., 100 Th. *en 9 m. dan tantos intereses como 9 × 100 en* 1 m. Un comisionista de Londres ha hecho por cuenta ajena las ventas siguientes: | 250 £ | el | 8 de mayo. | plazo | 3 m. | |---|---|---|---|---| | 135 | | 29 de mayo | | 3 | | 220 | | 23 de junio | | 2 | | 196 | | 10 de julio | | 2 | | 104 | | 21 de julio | | 8 días. | *El 24 de julio* quiere dar a su comitente la cuenta de ventas con un vencimiento común para las distintas ventas. ¿Cuándo llega ese vencimiento común? Primero hay que determinar el vencimiento de cada partida, y se encuentran, respectivamente, los vencimientos siguientes: *8* de agosto, *29* de agosto, *23 de agosto, 10 de sept., 29 de julio*. Para determinar ahora el número de días que le quedan por correr a cada partida, se puede contar desde el 24 de julio (fecha de la cuenta de ventas) o desde el 29 de julio (vencimiento más temprano). | α) Desde la fecha de la cuenta de ventas. (24 de julio) | | | β) Desde el vencimiento más temprano. (29 de julio.) | | | |---|---|---|---|---|---| | Del 24 de julio | al 8 de agosto | = 14 días | Del 29 de julio. | al 8 de agosto | = 9 días | | | 29 | = 35 | | 29 | = 30 | | | 23 | = 29 | | 23 | = 24 | | | 10 de sept. | = 46 | | 10 de sept. | = 41 | | | 29 de julio | = 5 | | 29 de julio | = 0 | Luego se multiplica cada uno de estos capitales por el tiempo que le corresponde, se suman los productos así obtenidos y se divide su suma por la suma de los capitales. El cociente da el número de días al cabo de los cuales, contando desde el día de partida, llega el vencimiento común. | α) 250 £ × 14 = 3500 | β) 250 × 9 = 2250 | |---|---| | 135 × 35 = 4725 | 135 × 30 = 4050 | | 220 × 29 = 6380 | 220 × 24 = 5280 | | 196 × 46 = 9016 | 196 × 41 = 8036 | | 104 × 5 = 520 | | | *905 = 24,141* | *905 [=] 19,616* | | 24,141/905 = *unos 27 días* | 19616/905 = unos 22 d. Desde el 29 de julio = 21 de agosto. | | 24 de julio = 21 de agosto, vencimiento común. | | La *suma de los productos obtenidos* forma un capital prestado por 1 día. La *suma de los productos obtenidos dividida por la suma de los capitales* forma un capital prestado por 1 × x días. Si 100 Th. prestados por 3 m. = 3 × 100 Th. prestados por 1 mes, entonces (3×100)/100 = capital de 100 prestado por 3 m. Lo correcto se ve por el cálculo de intereses de cada partida. * * * #### II) Capitales que devengan interés. Si el *tipo de interés es igual* para todos los capitales, no entra más en consideración; por eso este caso se trata como los anteriores. *Los tipos de interés son desiguales:* hay que pagar: | 400 Th. en | 4 m., con intereses hasta entonces al | 5 % | |---|---|---| | 200 | 6 | 4 | | 400 | 8 | 3½ | | 800 | 9 | 6 %. | ¿Cuándo y a qué tipo de interés pueden saldarse estos capitales de una vez? ##### 1.ª solución. Se *multiplica cada capital por su tipo de interés, se suman los productos así obtenidos y se divide su suma por la suma de los capitales*. *El cociente es el tipo de interés medio.* Luego se multiplica *cada uno de dichos productos por el tiempo que le corresponde, se suman los productos así obtenidos* y *se divide su suma* por la *suma de los números obtenidos de capital × tipo de interés*. *El cociente es el vencimiento medio.* | α) *Hallar el tipo de interés medio.* | β) *Hallar el vencimiento común.* | |---|---| | 4 × 5 = 20 | 20 × 4 = 80 | | 2 × 4 = 8 | 8 × 6 = 48 | | 4 × 3½ = 14 | 14 × 8 = 112 | | 8 × 6 = 48 | 48 × 9 = 432 | | 18, dividido en 90 | 90, dividido en 672 | | = *5 %, tipo de interés medio.* | = *7 7/15. Vencimiento común.* | Los capitales en α) y β), abreviados por 100. Si no, en α), por ej., se habría obtenido 9000/1800 = 90/18. Multiplicando α) los capitales por el tipo de interés y sumando luego los productos se obtiene 1 capital prestado al 1 %. Y 18 : 90 = 1 % : x. x = 90/18, etc.; y multiplicando los *productos de los capitales × el tipo de interés* (como 20, etc.) × el tiempo se obtiene 1 capital prestado por 1 m., etc. La prueba: | α) | 400 Th. | 4 m. al | 5 % | = 6⅔ Th. | β) | 1800 Th. en 7 7/15 m. de vencimiento al 5 % | γ) | 67200 Th. al 1 % en 1 m. | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | | 200 | 6 | 4 | = 4 | | = (1800×(7+7/15)))/240 = 56 Th. de intereses. | | = (67200×1)/1200 = 56 Th. de int. | | | 400 | 8 | 3½ | = 9⅓ | | | | | | | 800 | 9 | 6 | = 36 | | | | | | | 1800 Th. | | | = 56 Th. de intereses. | | | | | ##### 2.ª solución. Se *multiplican primero los capitales por el tiempo* y se *divide la suma de los productos por la suma de los capitales*. El *cociente obtenido es el vencimiento medio*. *Cada uno de estos productos se multiplica luego por el tipo de interés que le corresponde*, y la *suma de los productos así obtenidos* se divide por *la suma de los productos de capital y tiempo*. El *cociente es el tipo de interés medio*. | α) Hallar el vencimiento medio. | β) Cálculo del tipo de interés medio. | |---|---| | 4 × 4 = 16 | 16 × 5 = 80 | | 2 × 6 = 12 | 12 × 4 = 48 | | 4 × 8 = 32 | 32 × 3½ = 112 | | 8 × 9 = 72 | 72 × 6 = 432 | | *18 en 132 = 7⅓ m., vencimiento medio.* | *132 en 672 = 5 1/11 %, tipo de interés medio* | Según este cálculo, el *vencimiento es más corto* y el *tipo de interés mayor que* en 1). Pero como *el tiempo y el tipo de interés* están siempre en *razón inversa*, se ve que el resultado es correcto: *Cuanto mayor el tipo de interés* (5 1/11 %) en comparación con el 5 %, *menor el tiempo* (5 1/11 : 5 = 7 7/15 : x. x = 7⅓ m.) O: *cuanto menor el tiempo* (7⅓ m.) en comparación con 7 7/15 m., *mayor el tipo de interés* (7⅓ : 7 7/15 = 5 % : x. x = 5 1/11 %. Por eso también los intereses de 1800 Th. en 7⅓ m. al 5 1/11 % = intereses de 1800 Th. en 7 7/15 m. al 5 %. Por lo demás, es indiferente que los 1800 Th. del ejemplo citado se devuelvan en 2, 3 o 4 m., etc. Cada capital da hasta su devolución los intereses según su tipo de interés y se devuelve con esos intereses. Hallar un plazo de pago y un tipo de interés medios para varios capitales *que devengan interés* parece, por tanto, superfluo en general. Ya se ha observado que todo capital pagadero en un momento determinado, si no devenga interés hasta entonces, ha de considerarse *un valor que incluye los intereses del tiempo que el capital tiene aún que correr*. En ello se basa el cálculo del descuento según el tipo de interés *sobre* 100. Desde este punto de vista, cambia el procedimiento para hallar el plazo de pago medio de varios capitales que vencen en tiempos distintos pero que no devengan interés hasta entonces. El acreedor y el deudor tienen que ponerse de acuerdo primero sobre *un tipo de interés*, exactamente como si los capitales pagaderos más tarde hubieran de descontarse. *Según este tipo de interés, determínese el valor al contado de los capitales*, *súmense los importes obtenidos y réstese su suma de la suma de los capitales pagaderos más tarde*. La diferencia forma el *importe de los intereses* que habrían dado los valores al contado en los tiempos dados. Ahora se pregunta: ¿cuánto tiempo tendría que estar prestada *la suma de los valores al contado para dar como intereses la diferencia hallada*? El *tiempo así obtenido* = *el vencimiento común de los capitales*. | Por ej. | 824 Th. pagaderos en | 6 m. | |---|---|---| | | 860 | 15 | | | 648 | 16, ¿han de saldarse de una vez? Tomando el 6 % de intereses como tipo de interés corriente | | | 2332 Th. | | Se determina primero el *valor al contado de cada capital*. | 12 (m.) : 6 m. = 6 % : x. x = 3 %. 103 : 824 = 100 : x. | x = 800 Th. | |---|---| | 12 : 15 = 6 : x. x = 7½ %. 107½ : 860 = 100 : x. | x = 800 | | 12 : 16 = 6 : x. x = 8 %. 108 : 648 = 100 : x. | x = 600 | | Suma de los capitales = 2200 Th. | |---| | *Valor al contado* de 2332 Th. Así pues, = 2200 Th. | | y: 2332 - 2200 = 132 Th. de intereses. | ¿Cuánto tiempo hace falta para ganar estos 132 Th. de intereses con 2200 Th. al 6 %? | 2200 Th. : 100 Th. = 12 m. : x | |---| | 6 % : 132 de intereses | | x = 12 meses. Este es el vencimiento medio buscado. | Si se determina el *vencimiento medio* del modo usual en el tráfico mercantil, se tiene: | 824 × 6 = 4944 | |---| | 860 × 15 = 12,900 | | 648 × 16 = 10,368 | | 2332 en 28,212 = 12 57/583 m., plazo de pago común. | Este procedimiento es correcto mientras el comerciante calcule el descuento según el tipo *de 100*, es decir, mientras no considere todo capital que vence más tarde, pero que no devenga interés hasta el vencimiento, como un valor que incluye los intereses, sino como uno con el que los intereses aún han de ganarse. El cálculo siguiente muestra que el procedimiento se basa en un descuento de los capitales según el tipo de 100: (cálculo al 6 %) | Por 824 Th., al 6 %, por | 6 m. | = 24,72 Th. | |---|---|---| | 860 | 15 | = 64,50 | | 648 | 16 | = 51,84 Th. | | 2332 Th. | | = 141,06 de descuento. | Compárese ahora: ¿cuánto tiempo tienen que correr 2332 Th. si el descuento calculado al 6 % = *141,06 Th.*? | 2332 : 100 = 12 m. : x | |---| | 6 : 141,06 | | x = 28212/2332 = 12 57/583 m. | El vencimiento aquí es más tardío: el tipo de descuento *de* 100 da un descuento mayor; para ganarlo hace falta, pues, más tiempo. * * * ### Cálculo de cambios (continuación de la p. 118)[^h3] #### II) Arbitraje por vía indirecta. ##### 1) Uso de los papeles de otras plazas. La investigación que hay que hacer aquí muestra si, para pagar una deuda, en vez de la remesa directa, hay que hacer remesas sobre otras plazas, *o* si, para cobrar un crédito, en vez del giro sobre el deudor, hay que hacerle remitir papel sobre plazas extrañas. Para tal arbitraje hacen falta los cursos de la plaza propia y de la plaza a la que se tiene que pagar o a la que se tiene un crédito. La pregunta puede dirigirse aquí a la suma que hay que *remitir* o *girar*. Pero lo más usual y lo más breve es *dirigirla a la moneda fija* en que se basa el curso directo. ##### Ejemplos. 1) *Colonia* tiene que *pagar* a Ámsterdam 12,000 fl. a vista corta y puede comprar papel directo a 142, 8/10. En el *boletín de cotización de Ámsterdam* se cotiza: | Londres. | 2 m. | 11,75 | *Dinero.* (En las piojosas Bolsas del continente los boletines de cotización tienen casi siempre 2 columnas de precios. *Una* está encabezada *Geld* o *Gesucht* (*Argent* o *Demandé*); la otra, *Briefe* o *Angebote* (*Lettres* u *offert*).) | *Moneda fija* | = 1 £ | Estos papeles pueden, pues, colocarse en Ámsterdam a estos cursos. | |---|---|---|---|---|---|---| | París | 2 m. | 55⅞ | | | = 120 fr. | | | Fráncfort | 2 m. | 99½ | | | = 100 fl. de moneda del Sur | | | Hamburgo | 2 m. | 35 | | | = 40 M. B. | | *Colonia* puede comprar estos papeles *a las mismas vistas* con: | Londres | 6.20⅝ | (*moneda fija*. | por 1 £ fija) | |---|---|---|---| | París | 80 Th. | | 300 fr. fijos | | Fráncfort | 56,26 | | 100 fl. de moneda del Sur fijos | | Hamburgo | 149 8/10 | | 300 M.B. fijos. | La primera pregunta es: ¿cuánto cuestan 12,000 fl.? | *Londres.* | *París.* | *Fráncfort.* | *Hamburgo* | *Directo de Colonia (Berlín) sobre Ámsterdam* | |---|---|---|---|---| | x = 12,000 fl. | x = 12,000 fl. | x = 12000 fl. | x = 12000 fl. | 142 8/10 Th. = 250 fl. holandeses, moneda fija | | 11,75 = 1 £ | 55⅞ = 120 fr. | 99½ = 100 fl. en Fráncfort | 35 = 40 M.B. | 250 fl. : 12,000 fl. = 142 8/10 Th. : x | | 1 = 6 11/16 Th. | 300 fr. = 80 Th. | 100 = 56 13/30 Th. | 300 = 149 8/10 Th. | | | x = 6829,79 Th. | x = 6872,55 Th. | x = 6806,03 Th. | x = 6848 Th. | x = 6854,4 Th. | Pero por regla general se dirige la pregunta a la *moneda fija* del curso directo, aquí a 250 fl. En los planteamientos de arriba hay que poner, pues, en vez de x = 12000 fl., x = 250 fl., y se halla entonces: | Londres | = 142,29 Th. | |---|---| | París | = 143,18. | | Fráncfort | = 141,80. | | Hamburgo | = 142,67. | | Directo | = 142,80. | Lo más ventajoso para Colonia es, por tanto, pagar su deuda con remesas en *papel de Fráncfort*. Pues así *12000 fl.* le cuestan solo *6806,03 Th.*, y *250 fl.* solo *141,80* Th. Por cualquier otro camino, más. Colonia tiene aquí ocasión de comprar remesas a la misma vista que exige la cotización de Ámsterdam. Aunque sus remesas no son a vista corta, hay que considerarlas equivalentes a la vista corta de Ámsterdam, porque la casa de Ámsterdam puede negociarlas en seguida al recibirlas. 2) *Berlín* tiene un crédito contra *Hamburgo* a v. corta y puede girar a esa vista *a 151, ⅞ Th.* (por *300 M.B. fijos*). Berlín encuentra cotizado en el *boletín de cotización de Hamburgo* más reciente: *Ámsterdam*, 3 m., 36,10 (*40 M. B. fijos*); *Londres*, 3 m., 13.2½ (*1 £ fija*); *Augsburgo*, 2 m., 89¾ (*100 marcos banco fijos*); *Fráncfort, 2 m.*, 89⅝ (*100 M. B. fijos*); *Breslau, 2 m.*, 153¾ (*300 M. B. fijos*); *Bremen, 2 m.*, 140 (*300 M. B. fijos*); *París, v. corta*, 190½ (*100 M. B. fijos*) *Berlín* puede colocar estos papeles a las mismas vistas: *Ámsterdam*, 141⅞ (*250* fl. fijos); *Londres*, 6. 21 (1 £ fija); *Augsburgo*, 56,24 (100 fl. de moneda del Sur fijos); *Fráncfort*, 56,26 (100 fl. de moneda del Sur fijos); *Breslau*, 99⅓ (100 Th. en *Breslau* fijos); *Bremen*, 108⅞ *(100 Th. oro, luises de 5 Th., fijos)*; *París*, 80½ *(300 fr. fijos)* La *moneda fija* del *curso Berlín-Hamburgo* = 300 marcos banco. Hay que preguntar cuánto le reportan 300 M.B. al berlinés. | Ámsterdam. | Londres. | Augsburgo. | Fráncfort. | Breslau. | Bremen. | |---|---|---|---|---|---| | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | | 40 = 36,10 fl. | 13.2½ = 1 £ | 100 = 89¾ fl. de moneda del Sur | 100 = 89⅝ fl. de moneda del Sur | 300 = 153¾ Th. | 300 = 140 Th. luises | | 250 = 141⅞ Th. | 1 = 6,7 Th. | 100 = 56,8 Th. | 100 = 56 13/15 Th. | 100 = 99⅓ (Th. en Berlín) | 100 = 108⅞ Th. | | x = 153,61. | x = 152,78 Th. | x = 152,93 Th. | x = 152,90 | x = 152,72 | x = 152,425 Th. | Berlín se hace hacer, por tanto, *remesas de Hamburgo* sobre *Ámsterdam*, donde obtiene más táleros (153,61) por 300 M.B. Este camino es mejor que el *directo* (*151⅞* Th.) aun deduciendo el corretaje de Hamburgo de ½ ‰ = 153,53 en vez de 153,61. 3) En *el boletín de cotización de Hamburgo, las cotizaciones siguientes:* | | Boletín de cotización de Hamburgo | Los *mismos papeles*, a *iguales vistas*, están cotizados en *París*: | |---|---|---| | Amberes | v. c. 190 (fr. *por 100 M.B. fijos*) | ⅛ % de pérdida | | Génova | 3 m. 194 (liras nuevas, *100 M.B. fijos*) | 1¼ % de pérdida (98¾ fr. = 100 liras) | | Liorna | 3 m. 227 (liras toscanas, *100 M.B. fijos*) | 84¼ fr. (= *100 liras toscanas fijas)* | | Londres. | 3 m. 13.2½ (1 £ fija) | 24.90 = (1 £ fija) | | Madrid. | 3 m. 43 (chelines banco por *1 peso fuerte de 20 reales fijo.*) | 518½ = 100 $ fijos. ($, piastras) | | Lisboa | 3 m. 46 (chel. banco por 1 *milréis fijo*) | 547½ = 100 milréis. | | Ámsterdam. | v. c. 35,40 (por *40 M.B. fijos*) | 213½ = (100 fl. holandeses) | | Petersburgo. | 3 m. 31¼ (chel. banco por *1 rublo de plata fijo*) | 370 = 100 rublos de plata fijos. | | París | v. c. 190 fr. por 100 marcos banco fijos. | | ¿Cuál de estas clases de letras merece la preferencia sobre el papel directo para remitir o girar? | Amberes. | Génova. | Liorna. | Londres. | Madrid. | Lisboa. | Ámsterdam. | Petersburgo. | Directo. | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | x fr. = 100 M. B. | x fr. = 100 M. B. | x fr. = 100 M.B. | x F. = 100 M.B. | x F = 100 M.B. | x fr. = 100 M.B. | x fr. = 100 M.B. | x fr. = 100 M.B. | París. v. c. | | 100 = 190 fr. (*Amberes*) | 100 = 194 (liras nuevas) | 100 = 227 (liras toscanas) | 13 5/32 = 1£ | 1 = 16β | 1 = 16β | 40 = 35,40f. | 1 = 16β. | | | | | | | 43 = 1 piastra | 46 = 1 milréis | | | | | 100 = 99f. ⅞ (en París | 100 = 98¾ fr. | 100 = 84¼ fr. | 1 = 24,90 fr. | 1 = 5,185 fr. | 1 = 5,475 fr. | 100 = 213½f. | 31¼ = 3,70 fr. | 190 fr. = 100 M.B. fijos. | | x = 189,76 fr. | x = 191,57f. | x = 191,25 fr. | x = 189,26 fr. | x = 192,93 fr. | x = 190,43 | x = 188,95 fr. | x = 189,44. | | Los resultados expresan la suma de francos que Hamburgo *obtiene en la compra por 100 M. B.* y que *tiene que dar en la venta por 100 M.B.* El camino, pues, por el que obtiene *más francos* por 100 M.B. es el más ventajoso para *comprar o remitir*. El camino por el que *da menos francos por 100 M. B.*, en el que, por tanto, 100 M.B. valen menos francos, es el más ventajoso para *vender* o *girar*. Por consiguiente, el papel de *Madrid*, *Génova*, *Liorna* y *Lisboa* tiene *preferencia* sobre el *papel directo* para *remitir* (aunque con el papel de Lisboa la diferencia es demasiado insignificante para tenerla en cuenta); en cambio, el de *Ámsterdam, Londres, Petersburgo* y *Amberes* tiene *preferencia* para girar, aunque la diferencia en los dos últimos es insignificante. Si *Hamburgo* tiene que pagar a París, elige una de las primeras clases de letras en vez de remitir papel directo (a 190); [si tiene que cobrar,] no *girará* sobre París (a 190), sino que se hará remitir letras sobre *Ámsterdam*, etc. Por ej., si Hamburgo tiene que pagar o cobrar de *París 10,000 fr.*, le *cuestan* o *le reportan*: | 190 fr. : 10,000 fr. = 100 M.B. : x | |---| | x = 5263,16 M.B. | Si *remite* en *papel de Madrid a 43 (chel. banco), que en París se puede negociar a 518½, entonces*: | x M.B. = 10,000 fr. | |---| | 518½ = 100 duros | | 1 = 43β | | 16β = 1 marco | | x = 5183,22 M. B. | Si Hamburgo *se hace venir de París papel de Ámsterdam*, que se le carga a 213½ y que él negocia a 35,40, entonces: | x M. B. = 10,000 fr. | |---| | 213½ = 100 fl. | | 35,4 = 40 M.B. | | x = 5292,47 M.B. | La *ganancia* por vía *indirecta* en los casos 1), 2) y 3) indicados solo la disminuye el *corretaje* que la plaza con la que se hace el arbitraje carga por la venta o compra del papel indirecto. La *comisión* no es usual en este caso, en que se trata del pago de una deuda o del cobro de un crédito. En los *ejemplos 1) y 2)* se trata del *pago más barato* de una *deuda* y del *cobro más ventajoso de una deuda*. En el *ejemplo 3)* la pregunta es general: ¿qué *clase de papel* es la más ventajosa para *remitir* o *girar*?; y de esto se trata siempre en una *operación de cambio*. Con ello se quiere saber qué clases de letras hay que *comprar* en la plaza propia para enviarlas a la plaza con la que se hace el arbitraje, para que *se vendan allí*, y qué clase de letras hay que *hacer comprar allí* para *venderlas en la plaza propia*, y sacar provecho de esta operación. a) En el ejemplo 3), el papel de *Madrid* es el más apropiado para *remitir*, y el de *Ámsterdam* para *girar*. Por consiguiente, Hamburgo tiene que comprar en Hamburgo letras sobre *Madrid* (a 43) y venderlas en *París* (a 518), y hacerse hacer a cambio remesas sobre *Ámsterdam* (a 213½), que coloca a 35,4. Gana con ello un 2,11 %. (188,95 (*pago de Ámsterdam en francos por 100 marcos banco*) : 100 = 192,93 fr. (valor en francos de Madrid de 100 M. banco) : 102,11 fr.) *Prueba:* | *Hamburgo compra:* *25000 reales sobre Madrid* a 43 (por *20 reales* fijos) en la Bolsa de Hamburgo. | = *3359. 6 M.B.* | |---|---| | *París los negocia* a 518½ con | = *6481. 25 fr.* | | *París compra a cambio* a 231½ ………….. 3035,71 fl. sobre Ámsterdam. | | | *Estos los negocia Hamburgo a 3540* con | 3430. 3 M. B. | | De ello se resta el importe de la compra: | 3359. 6 | | *Ganancia:* | *Ganancia: 70. 13 M.B., o 2,11 %* | Si se toma la pérdida de intereses (10 d. al 6 %) en ⅙ % ⦗a saber, 360 : 10 = 6 : x. x = 60/360 = 6/36 = ⅙⦘, el doble corretaje de Hamburgo en 1 ‰, y los gastos de París en ⅓ % + 2/8 %) 7/12 %, y se prescinde del porte, el 2,11 % de arriba se reduce al 1,26 %. Pero tal operación solo es provechosa si el *papel que se compra* *puede venderse más caro* en la plaza con la que se hace el arbitraje y las *remesas que se hace hacer a cambio se compran más baratas* de lo que se pueden negociar. En el ejemplo 3) de arriba, el *papel de Madrid* está en Hamburgo *más barato que en París*, y las *letras de Ámsterdam*, *más caras en Hamburgo que en París*. Si Hamburgo tuviera, pues, *papel de Madrid* en su cartera, lo *vendería con más ventaja en París* que en su *propia* Bolsa; y si necesitara letras de *Ámsterdam*, le *convendría hacerlas comprar en París*. b) En los planteamientos hechos hasta ahora se ha investigado primero cómo se *paga* del modo más barato una *deuda* y cómo se *cobra* del modo más barato un crédito que se tiene en la plaza con la que se hace el arbitraje. Por eso la pregunta se dirigió en todas partes a la *moneda* fija en que se basa *nuestra cotización*, y esta última (por ej., en el ejemplo 3), *París directo v. c.* 190 fr. = 100 M.B. fijos, *cotización de Hamburgo*) se comparó con los resultados hallados. En este caso, esa plaza (*París* en el ejemplo 3)) es, pues, para nosotros la *plaza principal*, y los papeles de las demás plazas que usamos en el arbitraje han de servirnos de *medio* para pagarle o para que nos pague. Pero el *ejemplo 3* ha mostrado que con los mismos planteamientos puede responderse también a la pregunta de si podemos usar la *mediación de esta plaza* (*París* en el ejemplo) *para hacer comprar o vender letras por ella*. En este caso, esa plaza se convierte para nosotros en *plaza intermedia*, y las plazas de cuyos papeles se trata aparecen como *plazas principales*. *Este modo de hacer arbitraje es propio sobre todo del negocio bancario*. Por regla general se dirige la pregunta a la *moneda fija* en que se basan los cursos que se cotizan sobre esas plazas. En cada planteamiento hay que incluir entonces el *curso directo* al que se pueden hacer remesas a la *plaza intermedia* (en el ejemplo 3, *París*) para la compra, o girar sobre ella contra el producto de las letras vendidas. Así, *los planteamientos del ejemplo 3 serían*: | Amberes | Génova | Liorna | Londres | Madrid | Lisboa | Ámsterdam | Petersburgo. | |---|---|---|---|---|---|---|---| | x fr. = 100 M. B. | x liras = 100 M.B. | x liras = 100 M.B. | x M.B. = 1£ | x β = 1$ | x β = 1 milréis | x f = 100 M.B. | x β = 1R° | | 100 = 190 fr. en París | 100 = 190 fr. (París) | 100 = 190 fr. (París) | 1 = 24,90 fr. | 1 = 5,185 fr. | 1. = 5,475 fr. | 100 = 190 fr. | 100 = 370 fr. | | 99⅞ = 100 en Amberes | 98¾ = 100 liras | 84¼ = 100 liras | 190 = 100 M.B. | 190 = 1600β | 190 = 1600β | 213½ =100f. | 190 = 1600β | | x = *190,24F.* (directo: *190*) | *x = 192,40 liras* (directo = *194* liras | x = *225,52 liras* (directo *227*) | x = *13 M. 1 11/16β.* (directo *13.2½* ) | x = *43,66β (directo. 43.* | x = *46,11β* (directo: *46* | x = *35.60*. *directo:* 35,40 | x = *31,16β*. *directo:* *31,25*. | Si se comparan los resultados de estos planteamientos con las *cotizaciones directas de Hamburgo sobre esas plazas* anotadas debajo, encontramos que las letras sobre *Génova, Liorna, Madrid y Lisboa son más caras* [en París] que en Hamburgo, mientras que las de *Amberes, Londres, Ámsterdam* y *Petersburgo* se pueden tener en París *más baratas* que en Hamburgo. El hamburgués paga en París 100 M.B. por 192,40 liras sobre *Génova*; en Hamburgo, 100 M. por 194 sobre Génova. Obtiene, pues, más liras (genovesas) por 100 M.B. en Hamburgo que en París. Así pues, si quiere *vender* M.B. por liras, ya sea porque tiene que hacer remesas a Génova o porque opera con letras, *compra* el papel de Génova más barato en Hamburgo que en París. *A la inversa.* Si tiene letras sobre Génova, ya como giro para una deuda que hay que cobrar allí, ya como papel con el que especula, tiene que pagar en Hamburgo 194 liras para recibir 100 M. banco. En *París* solo tiene que pagar 192,40 liras por 100 M. B. *París* es, pues, mejor plaza para él para *vender liras por marcos banco*, y *Hamburgo mejor plaza para comprar marcos banco por liras*, etc. *El mismo resultado* salió arriba. Evidentemente. Pues, como el papel de Génova, Liorna, Madrid y Lisboa merece al *remitir* preferencia sobre el *papel directo* (letras de París), tiene que poder *venderse más caro en París* de lo que se *compra en Hamburgo*; y como las *remesas del parisino en letras de Amberes, Londres, Ámsterdam y Petersburgo* tienen preferencia sobre *un giro del hamburgués sobre París* (pues estos papeles son más apropiados para *girar*), tienen que *comprarse más baratas en París* de lo que pueden *venderse en Hamburgo*. c) Si *las cotizaciones de ambas plazas no se entienden para las mismas vistas*, la plaza que hace el arbitraje tiene que *convertir* sus cotizaciones *en cursos de las vistas* para las que *se entienden las cotizaciones de la plaza* con la que hace el arbitraje. Lo hace usando el *tipo de descuento al que en su Bolsa*, y en ciertas circunstancias también *en la Bolsa* de la *plaza extraña*, *se hace la reducción de una vista de letra a otra*. ##### Ejemplos. 1) Arbitraje entre Augsburgo y Hamburgo. | | Cursos en Augsburgo. | Cursos en Hamburgo. | Indirecto | |---|---|---|---| | Ámsterdam. | v. c. 100⅛f. (m. del Sur = 100f. H.) | v. c. 35.70 | 89,36 | | | v. l. 4% | 3 m. 36. | 89,21 | | Berlín. | v. c. 104⅝f. (= 60 Th.) | 2 m. 153¼ | 88,48 | | | v. l. 4% | | | | Fráncfort del Meno. | v. c. 99⅞ (en Augsburgo = 100f. en Fráncfort) | 2 m. 89⅛ | 88,49 | | | v. l. 3½% | | | | Génova. | v. c. 92½ (f. = 200 liras genovesas) | 3 m. 194 | 88,72 | | | v. l. 4½% | | | | Hamburgo. | v. c. 87⅞ (f. = 100 M. B.) | *Augsburgo* 2 m. 89¼ intereses en cuenta corriente, 5 % | 88,50 | | Liorna. | v. c. 99¼ (f = 250 liras toscanas) | *Liorna* 3 m. 227. | 88,99 | | | v. l. 5% | | | | Londres. | v. c. 117⅛ (f = 10£) | v. c. 13.3½ | 88,61 | | | v. l. 3% | 3 m. 13.2¼ | 89,03 | | París. | v. c. 92¾ (f = 200 fr.) | v. c. 190¼ | 88,23 | | | v. l. 4% | 3 m. 191½ | 87,92. | | Ámsterdam. v. c. | Ámsterdam. 3 m. | Berlín. | Fráncfort del Meno. | Génova. | Hamburgo, Augsburgo. | Liorna. | Londres. v. corta. | Londres. 3 m. | París. v. c. | París. 3 m. | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | x f = 100 M. B. | x f = 100 M.B. | x f = 100 M. B. | x f = 100 M.B. | x f = 100 M.B. | 2 m. … 89,25 | x f = 100 M. B. | x f = 100 M. B. | x f = 100 M. B. | x f = 100 M. B. | x f = 100 M.B. | | 40 = 35,7f. hol. | 100 = 36f. hol. 3 m. | 300 = 153¼ Th. 2 m. | 100 = 89⅛f. 2 m. | 100 = 194 liras 3 m. | Intereses por 2 m. al 5 % … 0,75 | 100 = 227 liras. 3 m. | 13.3½ = 1£ v. c. | 13.2¼ = 1£ 3 m. | 100 = 190¼ fr. v. c. | 100 = 191½ fr. 3 m. | | 100 = 100⅛f. m. del Sur | 100 = 99f. hol. v. c. | 100 = 99⅓ Th. v. c. | 100 = 99 5/12f. v. c. | 100 = 98⅞ liras v. c. | | 100 = 98¾ liras v. c. | | 100 = 99¾ £ v. c. | 200 = 92¾f. m. del Sur | 100 = 99 v. c. | | | 100 = 100⅛ (f. m. del Sur) | 60 = 104⅝f. m. del Sur | 100 = 99⅞f. m. del Sur | 200 = 92½f. m. del Sur | | 250 = 99¼ (f. m. del Sur) | 10 = 117⅞f. m. del Sur | 10 = 117⅞f. m. del Sur | | 200 = 92¾f. m. del Sur | | x = 89,36. | x = 89,21. | x = 88,48. | x = 88,49. | x = 88,72. | v. corta 88,50. | x = 88,99 | x = 88,61 | x = 89,03. | x = 88,23 | x = 87,92. | Cuantos menos florines tiene que *pagar* Augsburgo por un camino determinado por 100 M. B. ⦗y lo mismo es: *cuantos más marcos banco* obtiene *por 100 florines*⦘, más ventajoso es ese camino para *comprar* (*remitir*); cuantos *más florines* obtiene Augsburgo por un camino determinado por *100 marcos banco* (o, lo que es lo mismo: *cuantos menos marcos banco da por 100 florines*), más favorable es ese camino para *vender* (*girar*). Si *Augsburgo* tiene, pues, que pagar deudas a Hamburgo, tiene que vender florines y comprar marcos banco. Para ello, lo mejor es hacer *remesas directas* *sobre Hamburgo* (*remitir letras de Hamburgo*), pues obtiene así por 87,⅞ fl. 100 marcos banco. Pero si tiene que cobrar un *crédito sobre Hamburgo*, en *Augsburgo* mismo solo obtiene 87⅞ fl. *por* cada 100 M.B.; en *Berlín*, 88,48, etc.; pero lo más en *Ámsterdam*: 89,36 fl. por cada 100 M.B. Se hará remitir, pues, *Ámsterdam corto*. Una *operación de cambio* que habría que hacer con Hamburgo consistiría en: Augsburgo se hace *remitir* de Hamburgo *Ámsterdam corto* (a 35,70) y hará la cobertura en *Hamburgo* *corto* a 87⅞. Como 87⅞ : 100 = 89,36 : x, y x = 101,69 = *1,69 %*, esta sería la *ganancia bruta*. La disminuirían los *gastos* siguientes: *corretaje* por *la compra del Hamburgo en Augsburgo* y *por la venta del Liorna* allí, 1 ‰ = 1/10 %; *corretaje* por la compra del Liorna en Hamburgo, ½ ‰; *comisión* por esta compra y por el *cobro de las remesas de Hamburgo*, ⅓ %; intereses, 23/60 %; *pérdida de intereses por 8 días* al 5 % anual = 1/9 %. *En total*, 107/180 %, o *0,6 %*; 1,69 % ÷ 0,6 % = *1,09 % de ganancia neta*. ##### 2) Berlín y Fráncfort. En *Fráncfort esté el curso sobre Berlín para v. c.* a 104¾ (fl. de moneda del Sur = 60 Th. de moneda corriente prusiana). En el *boletín de cotización de Berlín* se cotiza: | *Ámsterdam*, 2 m., 142⅛ (Th. por 250 fl. holandeses) | *Hamburgo*, 2 m., 149⅞ (Th. por 300 M. B.) | *París*, 2 m., 79⅜ (Th. por 300 fr.) | *Londres*, 3 m., 6,19⅝ (Th. por 1 £) | |---|---|---|---| En el *boletín de cotización de Fráncfort* estas plazas están cotizadas a *vista corta*: | | *Ámsterdam*, 99¾ fl. de moneda del Sur (por 100 fl. holandeses) | *Hamburgo*, 87¾ (fl. de moneda del Sur (100 M.B.) | *París*, 93⅛ (fl. de moneda del Sur por 200 fr.) | *Londres*, 117⅛ (fl. de moneda del Sur = 10 £) | |---|---|---|---|---| | *Para vistas más largas*, descuento del | 3½ % | 3 % | 3½ % | 3 %. | ¿Puede Fráncfort usar ahora la mediación de Berlín para comprar o vender? | Ámsterdam. | Hamburgo. | París. | Londres | |---|---|---|---| | x fl. = 100 fl. holandeses v. c. | x fl. = 100 M. B. v. c. | x fl. = 200 fr. v. c. | x fl. = 10 £ v. c. | | 99 5/12 = 100, 2 m. | 99½ fl. = 100, 2 m. | 99 5/12 = 100, 2 m. | 99½ = 100 £, 3 m. | | 250 = 142⅛ Th. | 300 = 149⅞ Th. | 300 = 79⅜ Th. | 1 = 6 157/240 Th. | | 60 = 104¾ fl. | 60 = 104¾ fl. | 60 = 104¾ fl. | 60 = 104¾ fl. | | x = 99,83. | x = 87,66 | x = 93,17. | x = 116,75. | Cuadro comparativo de los cursos directos e indirectos. | | Ámsterdam. | Hamburgo. | París. | Londres. | |---|---|---|---|---| | Directo: | 99,75 | 87,75 | 93,13 | 117,13 | | Indirecto: | 99,83. | 87,66. | 93,17. | 116,75. | Las letras sobre Hamburgo y Londres, más baratas en Berlín; sobre Ámsterdam y París, más caras en Berlín; pero la diferencia es demasiado pequeña para una operación. A lo sumo, papel de Londres en Berlín. Diferencia allí con Fráncfort: 0,32 % más bajo en Fráncfort. ##### 2) Uso de la mediación de otras plazas. Hasta aquí se ha mostrado cómo se pueden usar 1) *para pagar o cobrar una deuda* los *papeles de plazas extrañas*, y cómo se puede 2) efectuar la *compra o la venta de ciertas clases de letras* por mediación de *una* plaza. Ahora: en el primer caso, 1) cómo se puede usar la *mediación de plazas extrañas*, y, en el 2.º caso, 2) cómo se pueden poner *varias plazas* en lugar de *una sola*. El modo de plantear la pregunta sigue siendo el mismo. Solo entran aquí en consideración los *gastos* que cargan las plazas de cuya mediación nos servimos. El *uso de los papeles de plazas extrañas* solo cuesta, más o menos, el *corretaje* que tenemos que abonar a nuestro acreedor, o deudor, por *negociar nuestras remesas* o *comprar letras para nosotros*. ##### Ejemplos. 1) *Ámsterdam* tiene que pagar en *Hamburgo* 5000 M. B. en papel a 3 m., y puede hacerlo al curso de 34 15/16 fl. = 100 M.B. ¿Sería más ventajoso hacer pagar este importe por *París*, *Londres* o *Fráncfort*, si el Hamburgo a 3 m. se puede tener en *París* a 188⅜ fr. = 100 marcos banco, en *Londres* a 13. 5¾ marcos banco = 1 £, y en *Fráncfort* a 88⅞ = 100 M. B.? *Gastos*: *París*, ⅝ %; *Londres*, ⅗ %, y *Fráncfort*, 13/30 %. | París. | Londres. | Fráncfort. | |---|---|---| | x fl. = 40 M. B. | x fl. = 40 marcos banco | x fl. = 40 M. B. | | 100 = 188⅜ fr. | 13 23/64 = 1 £ | 100 = 88⅞ fl. de moneda del Sur | | 120 = 55 1/16 fl. | 1 = 11,75 fl. | 100 = 99½ fl. holandeses | | x = 35,20 | x = 35,18 | x = 34,79 | | *Gastos*, 0,22 al ⅝ % | *Gastos*, 0,21 al ⅗ % | *Gastos*, 0,15 al 13/30 % | | 35,42. | 35,39 | 35,12. | 2) *Viena* tiene (en nov. de 1858) papel de Londres a 3 m. que vender, y puede colocarlo en su Bolsa a 102.50 fl. = 10 £. En *Hamburgo* se puede negociar a 13.3 M.B. = 1 £; en *París*, a 24,90 fr. = 1 £, y en *Fráncfort*, a 116½ fl. = 10 £; y el papel a 3 m. está cotizado en Viena: sobre *Hamburgo*, 76,85 fl. = 100 M.B. (?); *París*, 40.65 fl. = 100 fr., y *Fráncfort*, 116½ fl. = 100 fl. de moneda del Sur. *Dinero*, con un *3 % de descuento*; *gastos* = 23/60 %. *3 % de descuento*. *Gastos* = ⅝ %. *5 % de desc. Gastos* = 3/10 %. ¿Dónde tiene que vender Viena el papel de Londres? | Hamburgo | París. | Fráncfort. | |---|---|---| | x fl. = 1 £, 3 m. | x fl. = 1 £, 3 m. | x fl. = 1 £, 3 m. | | 1 = 13.3 M.B. al contado. | 1 = 24,9 fr. al contado. | 100 = 116½ fl. al contado. | | 99¼ = 100 marcos banco, 3 m. | 99¼ = 100 fr., 3 m. | 98¾ = 100 fl., 3 m. | | 100 = 76,85, moneda austríaca | 100 = 40,65 fl., moneda austríaca | 100 = 86,85 fl., moneda austríaca | | x = 102,11 fl. | x = 101,98 | x = 102,46 | | *Gastos*, 0,39 al 23/60 % | *Gastos:* 0,64 al ⅝ % | *Gastos* = 0,31 al 3/10 % | | 101,72. | 101.34. | 102,15. | En Viena, directamente, Viena obtiene 102.50 fl. por 10 £; en Hamburgo, 102,11; en París, 101,34, y en Fráncfort, 102,15. No puede, pues, usar la mediación de estas plazas para vender. 3) *Londres* tiene que vender *papel de Ámsterdam* *a 3 m.* y puede negociarlo en su Bolsa a 11 fl. 17½ st. (= 1 £). En *Hamburgo* se puede negociar a 36 fl. = 40 M.B.; en *París*, a 211½ = 100 fl. holandeses, y en *Fráncfort*, a 99¼ (= 100 fl. holandeses) para la vista corta (con un 3 % de descuento para Fráncfort a 3 m.) | Londres puede girar a *v.* c. sobre | *Hamburgo*, 13.4¼ | = 1 £, | *París*, 25.12½ | = 1 £ | y *Fráncfort*, 117 | = 10 £. | |---|---|---|---|---|---|---| | | *Gastos* | = 11/20 % | | = ⅝ % | | = ⅗ %. | ¿Dónde tiene que vender Londres el papel de Ámsterdam? | Hamburgo. | París. | Fráncfort. | |---|---|---| | x fl. = 1 £ | x fl. = 1 £ | x fl. = 1 £ | | 1 = 13.4¼ M.B. | 1 = 25,12½ fr. | 10 = 117 fl. de moneda del Sur | | 40 = 36 fl. | 211½ = 100 fl. | 98½ = 100 fl. holandeses (3 m., descuento al 3 %) | | x = 11,94 fl. | x = 11,88 fl. | x = 11,88 fl. | | *Gastos* = 0,06 al 11/20 % | *Gastos* = 0,07 al ⅝ % | *Gastos* = 0,07 al ⅗ % | | 12 fl. | 11,95 fl. | 11,95 fl. | Ahora bien, Londres obtiene en su propia Bolsa por 11 fl. 17½ st. una libra = 1 £ = por 11,875 fl. holandeses, 1 £. Londres solo puede vender con ventaja en su propia Bolsa, pues en las demás tiene que dar más florines holandeses por 1 £. Además, hay que observar en este último ejemplo: Lo que Londres quiere *recibir* son £. Los *gastos* hay que *sumarlos* aquí (es decir, tiene que dar más florines por 1 £, tantos como cuestan de más los gastos), más florines por 1 £ (porque los gastos se calculan aquí en florines). *Viena* (ejemplo 2), que también tenía £ que vender, pero quiere recibir florines, tiene que *restar* los gastos. Obtiene menos florines por 1 £, mientras que el londinense tiene que dar más florines por 1 £. En ambos casos rige la misma ley: los *gastos empeoran el curso*. Si la *moneda fija* está en el extranjero, esto se expresa en una *disminución*; si está en el país, en un *aumento de la cifra del curso*. *Continuatio, cuaderno 2 de 1869.*[^h4] ## Índice. ### 1) Money Market Review (1868) y «Economist» (1868): índice de materias (p. 87-89) ### 2) Goschen: Theory of Exchanges. - *Definición.* (90) - *Endeudamiento internacional* (90) - *Distintas clases de letras sobre el extranjero en que se plasma en último término el endeudamiento internacional.* (90-93) - *Fluctuaciones del precio de las letras sobre el extranjero.* (93-99) - *Interpretación de los cambios exteriores* (99-104) - *Los llamados correctivos de los cambios exteriores* (104-109.) ### 3) Cálculo de cambios. - *Cálculo de cambios en general* (109) - *Cálculo de la par* (109-110) - *Reducciones de cambio:* *directas* (110-112), *indirectas* (112-114) - *Cálculo de arbitraje:* *directo* (114-118), *indirecto* (135-138) - *Regla de tres. Regla múltiple* (118, 119) - *Regla de cadena* (118-121) - *Regla de compañía* (121-123) - *Regla de aligación* (123-125) - *Cálculo de tantos por ciento* (125-127) - *Cálculo de intereses* (127-131) - *Cálculo de descuento* (131-132) - *Cálculo de vencimientos* (132-134) --- [^h1]: Expresión de Marx; Feller y Odermann (p. 188) hablan de una «ventaja aparente» (según MEGAdigital). [^h2]: Así, «beschissen», en el manuscrito: expresión de Marx (según MEGAdigital). [^h3]: Marx continúa aquí sus extractos del cálculo de cambios, interrumpidos en la p. 118 de este cuaderno (véase la página VII) (según MEGAdigital). [^h4]: Marx siguió extractando a Feller y Odermann en el cuaderno «Heft II. 1869» (según MEGAdigital). [^lic]: Texto original según MEGAdigital (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften), MEGA² IV/19, licencia CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es); el aparato editorial de la MEGA no se reproduce. Esta traducción y la transcripción se distribuyen con la misma licencia.