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Title: Cuaderno IV (1878). II: Extractos de Feller-Odermann. Aplicaciones del cálculo de porcentajes
Description: Extractos y cálculos de Marx de agosto-septiembre de 1878 sobre la aritmética mercantil de Feller y Odermann (Leipzig, 1859): gastos, ganancia y pérdida, rebaja, cálculo de intereses simples y compuestos; con los comentarios de Marx sobre la rebaja de los libreros y la ganancia del capital comercial, el «bonito fundamento de existencia» del interés, la tasa de ganancia y la rotación, los monopolios naturales y la renta.
Author: Karl Marx
Date: 1878-09
URL: https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1878%20Cuaderno%20IV.%20II.%20Extractos%20de%20Feller-Odermann.%20Aplicaciones%20del%20c%C3%A1lculo%20de%20porcentajes
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*Extractos y notas de Karl Marx escritos en Londres en agosto y septiembre de 1878 en el cuaderno IV de ese año (IISG, Ámsterdam, Karl Marx and Friedrich Engels Papers, A 101 [A 83e]): continuación de los extractos de F. E. Feller y C. G. Odermann, *Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik* (7.ª ed., Leipzig, 1859), que siguen a los de la [primera parte del cuaderno](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1878%20Cuaderno%20IV.%20I.%20Extractos%20de%20Feller-Odermann.%20Descuento%2C%20plazos%2C%20letras%20y%20porcentajes). Entre las cuentas, Marx intercala comentarios sobre la ganancia del capital comercial, el interés y la rotación del capital, que la MEGA publicó por primera vez en el tomo II/14. Inéditos en vida de Marx. Transcritos del manuscrito según la edición digital de la MEGA² (IV/25) y traducidos por la Escuela de marxismo, 2026. Los comentarios de Marx van entre ⦗ ⦘ como en el manuscrito. Las palabras entre corchetes faltan en el manuscrito. Las cuentas se reproducen como en el manuscrito, con sus erratas. «Porcentaje del 100, sobre 100 y en el 100» como en la página anterior. Las notas son nuestras.[^lic] [Texto original](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/originales/1878%20Heft%20IV.%20II.%20Exzerpte%20aus%20Feller-Odermann.%20Anwendung%20der%20Procentrechnung)*

### Aplicación del cálculo de porcentajes[^q1]

#### A) Cálculo de la comisión, el corretaje, la prima de seguro y otros gastos.

En la *compra de la mercancía, los gastos aumentan el importe*; *importe de compra + gastos* = *importe de la factura*.

En la *venta disminuyen el producto*. *Producto bruto menos gastos* = *producto neto*. *Porcentaje del 100* en ambos casos.

#### B) Cálculo de ganancias y pérdidas:

##### 1)

a) *¿Cuánto se gana o se pierde sobre un valor dado según un tipo porcentual dado?*

P. ej., *mercancía comprada a 15 tál.*; ¿cuánto se gana o se pierde con un 6 % de ganancia o un 6 % de pérdida? 15 tál. es aquí *capital puro*; así, *porcentaje del capital*. Así: *100 : 15 = 1 : x*; x = 15/100 = 0.15; 6 % = 0,15 × 6 = *0,9 tál.* Se gana o se pierde, pues, *0,9 tál.*

b) *¿A cuánto asciende la ganancia del 6 % contenida en el precio de venta de 15.9 tál.?* *15.9 tál.* es aquí capital aumentado; así, % *sobre* 100. De ahí: *106 : 15.9 = 6 : x*; *= 0.9 tál.*

c) *¿A cuánto asciende la pérdida del* 6 % *producida por el precio de venta de 14.1 tál.?* *14.1 tál., capital disminuido*; así, % *en el* 100; de ahí: *94 : 14,1 = 6 : x*. *x = 0,9 tál.*

* * *

##### 2) ¿A cuánto hay que vender una mercancía comprada a 15 tál. con un 6 % de ganancia o un 6 % de pérdida?

6 % sobre 15 tál. = 0.9. Así, con un 6 % de pérdida, 15.0 - 0.9 = 14.1, y con un 6 % de ganancia: *15.9* (*15 + 0.9*). En el caso presente, la ganancia o la pérdida hecha al 6 % = *0.9 tál.* ¿Cuál es el precio de venta?

*6 : 0.9 = 100 : x*; x = 0.9⨯106/6 = *15.9 = 3:2⨯106/10 = 3⨯53/10 = 15.9*

*6 : 0.9 = 94 : x*; x = 0.9⨯94/6 = 14.1 = 3⨯47/10 = *14.1*

##### 3) ¿A cuánto asciende el capital invertido? (compra)

a) *La ganancia o pérdida hecha en la venta al 6 % asciende a 0,9 tál.; ¿cuánto cuesta la mercancía en la compra?*

El *precio de compra*, capital «puro»; *por tanto, porcentaje del 100*: *para ambos casos*, a) *6 : 0.9 = 100 : x*; x = 0,9⨯100/6 = *15 tál.*

b) *El precio de venta de 15.9 tál. contiene un 6 % de ganancia*. *¿Precio de compra de la mercancía?*

*15.9 tál., capital «aumentado»*; *así, porcentaje sobre 100*: b) *106 : 15.9 = 100 : x*. *x = 15.9 × 100/106 = 15 tál.*

c) *Precio de venta, con un 6 % de pérdida, = 14,1.* *¿Precio de compra?* *14.1, capital disminuido.* *Porcentaje en el 100.* c) *94 : 14.1 = 100 : x*; *x = 15 tál.*

##### 4) ¿Cuánto % es la ganancia o la pérdida?

a) *Precio de compra, 15 tál.*; sobre él, *ganancia o pérdida de 0.9 tál.*; *¿cuánto % es?*

El capital, en ambos casos, *15 tál.*, y, como es *puro*, se trata del % *del* 100: a) *15 : 100 = 0.9 : x*; = 90/15 = 6 %.

b) *Un precio de venta de 15.9 contiene 0.9 de ganancia*; *¿cuánto % es?* *Capital aumentado, % sobre 100*: b) *15.9 - 0.9 : 100 = 0.9 : x = 6 %* (es decir, 90/15 = 6)

c) *Un precio de venta de 14.1 tál. trae una pérdida de 0.9*; *¿cuánto % es?* *Capital disminuido, % en el 100*: c) *14.1 + 0.9 (= 15) : 100 = 0.9 : x* = 6 %.

Si la pregunta se planteara así: por *15 tál. de compra* se obtienen en la *venta respectivamente* 14.1; el *tipo porcentual* se halla:

| 15 : 100 = 15.9 : x |  | 15 : 100 = 14.1 : x |
|---|---|---|
| x = 106. |  | x = 94. |

106 contiene aquí 6 unidades más que 100 = 6 % de ganancia; o *6 unidades menos* que 100 (es decir, 94), pérdida = 6 %.

* * *

##### Ejemplos.

1) a) *1 quintal (a 100 lbs) cuesta en la compra 30 fl. (1 fl. = 60 kr.)*; *se vende 1 lb a 24 kr.*; *¿cuánto % de ganancia o pérdida?*

| Si 100 lbs (1 quintal) cuestan | 30 fl., |
|---|---|
| 1 lb | 30/100 fl. = 3/10 fl. = 18 kr. |
| Así, 1 lb vendida a 24 kr. da 24 - 18 kr. de ganancia = 6 kr. |  |

| De ahí, 18 : 100 = 6 : x; x = 600/18 = 600/6⨯3 = 100/3 = 33⅓ %. |
|---|
| O se gana sobre 18, 6, o sea, ⅓ del capital desembolsado; |
| y ⅓ × 100 = 33⅓ %. |

b) O se vende 1 lb a 24 kr., o sea, 100 lb a 2400 kr., y 2400/6 kr. = 240/6 = *40 fl.* Se gana, pues, sobre 30 fl., 10, o sea, ⅓; así, sobre 100, ⅓ 100 = 33⅓ %.

O bien *30 : 100 = 10 : x*; x = 100/3 = 33⅓ %

* * *

2) *Se vende una mercancía a 15 tál. perdiendo un 10 %; ¿a cuánto hay que venderla para ganar un 5 %?*

*90 : 15 = 105 : x*. x = 15⨯105/90 = 3⨯105/18 = 105/6 = 17 3/6, o 17½.

* * *

3) *Se vende una mercancía con un 5 % de ganancia a 17½; ¿a cuánto hay que venderla con un 8 % de ganancia?*

*105 : 17½ = 108 : x*; x = 35:2⨯108/105 = 35⨯54/105 = 7⨯54/21 = 54/3 = 18.

* * *

4) *¿A cuánto hay que vender una mercancía que ya se vendió con un 10 % de pérdida a 15 tál., si hay que perder en ella un 20 %?*

*90 : 15 = 80 : x*; x = 15⨯80/90 = 15⨯8/9 = 5⨯8/3 = 40/3 = 13⅓.

* * *

#### C) Cálculo de la rebaja.[^q2]

La *rebaja* (*Rabatt*), en sentido estricto (del italiano *rabattere*), es la *deducción calculada en porcentaje* que el vendedor concede al comprador, ya como *compensación por el pago anticipado* (*descuento*, *sconto*, se llama también a veces así la deducción en los negocios de mercancías; *decort*, propiamente deducción por una mercancía con la que el comprador está descontento; igualmente, *refactie*, deducción por mercancía dañada; *bonificación*, *compensación* en el mismo caso), ya como *ventaja particular*. Pero si la rebaja en este último sentido es *usual*, la ventaja es *solo aparente*, porque el que la concede la ha añadido antes al valor correspondiente. Se calcula *del* o *sobre 100* según se haya hecho su adición al valor original. Según el tipo *sobre 100* se calculaba antes, p. ej., en *Ámsterdam* y *Hamburgo*. ⦗Una especie de *rebaja usual* según el llamado *Gutgewicht* (peso de favor)⦘

⦗La *única cuenta de rebaja* aplicable a fines científicos en el *«Capital»* es la de los libreros (*el editor al librero de surtido*);[^q3] ella [la rebaja] forma, en efecto, la única participación de este último en la *ganancia del productor*, casi siempre (antes, al menos) del 10 al 33⅓ %; el *librero de surtido* no tiene otra compensación por sus *gastos*, *así como por el empleo de tiempo y esfuerzo* que le ocasiona su negocio. El *precio del libro* tras deducir la rebaja es su *precio neto*. Supongamos que el *precio de producción*, que, con un reparto igual de la plusvalía, corresponde a cada rama particular de la producción por cada 100 (en porcentaje), sea = *100 + 20*; el *precio de producción* = *120*; este sería el precio bruto del libro. La rebaja que le toca al librero de surtido, digamos del 33⅓ %, representa entonces la parte de la plusvalía que se descuenta de aquel precio de producción y le corresponde al *tratante* (*comerciante*); ⅓ de 20 es 6⅔. ⦗de 25, esto dejaría 18⅓ para el productor⦘; deja, pues, para el capital del productor 13⅓, y para el capital del comerciante 6⅔. ⦗*6⅔ es la mitad de 13⅓*⦘ Cuánto suman estos 6⅔ por cada 100 depende del *volumen de ventas* del comerciante. Por otra parte, la magnitud del 33⅓ sobre el libro (que, con respecto a la plusvalía (social) de 20, siempre sigue siendo = 6⅔ por 100) no solo depende de la cantidad de libros que vende, sino ídem de su precio bruto (en nuestro sentido = precio de producción). Pero como no hay razón alguna ⦗sí, en cambio, muchas circunstancias en sentido contrario, que hacen el capital comercial más rentable que el productivo⦘ para que el *capital comercial total* rinda menos que el productivo, hay que suponer, dados los supuestos, que ⅓ del capital social está en el comercio y ⅔ en el negocio productivo; ⅓ : ⅔ = *1 : 2*; así, p. ej., de 3000, 1000 en la chusma de los comerciantes, 2000 en la productiva; la plusvalía total, a pʹ = 20 %

| dan al | *capital productivo* | 2000 tál. | 400 de plusvalía = 20 % |  |  |
|---|---|---|---|---|---|
|  | *capital comercial* | *1000 tál.* | para el comerciante se descuenta ⅓ de los 400 de plusvalía = *133⅓* |  |  |
| Quedan, pues, para los |  | *2000 tál.* | 266⅔ | = | ⅔ del 20 % |
| *para el comerciante* |  | *1000 tál.* | 133⅓ | = | ⅓ del 20 %. |
|  |  |  | Suma = 400 |  | 20 de plusvalía. |

En efecto, eso da como *tasa de ganancia real* por cada 100 de capital, sea comercial o productivo, la misma tasa del 13⅓ %.

| 13⅓ por 100 | da para 1000 | una ganancia de 130 10/3 = 133⅓, |
|---|---|---|
|  | y para 2000 | el doble, 266⅔ |

Si el comerciante recibe así, como arriba, ⅓ de la plusvalía de balde, recibe con ello ⅓ del plusproducto. Así, p. ej., si el librero de surtido recibe el 33⅓ %, o ⅓, sobre el precio de un libro de 9 tál., recibe por cada 3 de tales libros uno que no le cuesta nada; pues 3 × 3 = 9 y cada vez se embolsa 3 táleros. Lo mismo, pues, que si de cada 3000 libros recibiera 1000 de balde.⦘

1) *Hallar los porcentajes*.[^q4]

*¿Cuánta rebaja de 1207 tál. al 3 % y al 6¼ % del y sobre 100?*

| a) *12,07 × 3 = 36,21 tál.* (*porcentaje del 100*). A saber, como aquí el planteamiento es *100 : 1207 = 3 : x*, hay que dividir de una vez por todas el valor dado por 100 y multiplicarlo por el tipo porcentual, etc. | b) *103 : 1207 = 3 : x*; x = 35 16/103 (*sobre 100*) |
|---|---|
| c) Rebaja *de* 1207 al 6¼ %; *del 100*, 6¼ % = 1⨯100/16. Así, 1207/16 = 75 7/16 tál. | d) *Rebaja de 1207 al 6¼ % sobre 100*: 6¼ % *del* 100 = 1/16; 6¼ % *sobre* 100 = 1/16+1 = 1/17. Así, 1207 dividido por 17 = 71 tál. |

2) *¿Cuánto son 1207 táleros tras deducir los porcentajes de rebaja de arriba?* (*Hallar el capital rebajado*; *el capital del que se toma la rebaja se llama el rebajante*)

| a) | 1207 tál. | b) | 103 : 1207 = 3 : x | c) | 1207 | d) | 1207 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | - 36.21 = 3 % |  | x = 35 16/103. |  | - 75 7/16 = 1/16 de 1207 |  | ÷ 71 = 1/17 de 1207 |
|  | = 1170.79 tál. |  |  |  | = 1131 9/16 |  | = 1136 tál. |

3) *¿De qué capital se calcularon* *36.21 tál. al 3 %* y *75 7/16 tál. al 6¼ % del* 100; *35 16/103 al 3 %* y *71 tál. al 6¼ % sobre* 100? (*Hallar el capital que se ha de rebajar*)

| a) | 3 : 36.21 = 100 : x; x = 1207; x, a saber, = 36.21 × 100 : 3 = 3621 : 3 | c) | 3 : 35 16/103 = 103 : x; x = 1207. |
|---|---|---|---|
| b) | 75 7/16 al 6¼ del 100 da 6¼ : 75 7/16 = 100 : x. Como sobre el capital se calcularon 75 7/16 al 6¼ %, y 6¼ % = 1/16 de 100, 75 7/16 = 1/16 del capital; el capital, pues, = 75 7/16 × 16 = 1207. | d) | 71 × 17 = 1207. Como el 6¼ % *del* 100 = 1/16 del capital, el 6¼ *sobre* 100 = 1/16+1 = 1/17 de él. 71 es, pues, 1/17 de un capital sobre el que se rebaja el 6¼ *sobre* 100; así, el capital = 17 × 71 = 1207 |

4) *¿Cuánto por ciento del 100 era* si de 1207 *se calcularon 36,21 tál.* o *75 7/16 tál. de rebaja*, e ídem cuánto por ciento *sobre 100*? (*Hallar el tipo porcentual*)

| 1207 : 100 = 36.21 : x; x = 3 % |  | (1207 - 35 16/103) : 100 = 35 16/103 : x; x = 3 %. |
|---|---|---|
| 1207 : 100 = 75 7/16 : x; x = 6¼ %. |  | (1207 - 71) : 100 = 71 : x; x = 6¼ % |

5) *¿Cuáles son los capitales que se han de rebajar* *que, tras deducir un 3 % de rebaja*, *respectivamente* *del y sobre el ciento*, *ascendían a* *1170,79* y *1171 87/103*?

| 97 : 1170.79 = 100 : x |  | 100 : 1171 87/103 = 103 : x |
|---|---|---|
| x = 1207 tál. |  | x = 1207 tál. |

6) *Capitales rebajados, 1170,79 tál. y 1171 87/103*; tipo porcentual, *3 % del* y *3 % sobre 100*. *¿Cuánto es la rebaja?*

| 97 : 1170,79 = 3 : x |  | 100 : 1171 87/103 = 3 : x |
|---|---|---|
| x = 36.21 tál. |  | x = 35 16/103 |

##### Los 1-6 de arriba relativos a la rebaja, reunidos:[^q5]

1) *Hallar solo los porcentajes*: ¿rebaja de 1207 tál. al 3 % y al 6¼ % *del* y *sobre* 100?

| 1) | a) 12,07 × 3 = 36,21 | b) 103 : 1207 = 3 : x; x = 35 16/103 tál. |
|---|---|---|
|  | c) 1207/16 = 75 7/16 | d) 1207/17 = 71 tál. |

2) *Hallar un valor modificado según cierto tipo porcentual*

*Fórmula general:* *100 : valor (aumentado o disminuido) = 100 (aumentado o disminuido en el tipo porcentual) : x*

*¿Cuánto son 1207 tál. tras deducir los porcentajes de rebaja de arriba?* *Hallar el capital rebajado.*

| 2) | a) 1207 - 36.21 (= 3 %) = 1170.79 | b) 103 : 1207 = 100 : x; x = 1171 87/103 |
|---|---|---|
|  | c) 1207 - 75 7/16 (= 1/16 de 1207) = 1131 9/16. | d) 1207 - 71 (= 1/17 de 1207) = 1136. |

3) *Hallar el valor del que se han calculado ciertos porcentajes dados.*

*Hallar el capital que se ha de rebajar.*

*¿De qué capital se calcularon 36,21* tál. al 3 % y 75 7/16 tál. al 6¼ % *del* ciento? ¿Y *35 16/103 al 3 %* y 71 al 4 % *sobre* el ciento?

| 3) | a) 3 : 36,21 = 100 : x; x = 1207 | b) 3 : 35 16/103 = 103 : x; x = 1207 |
|---|---|---|
|  | c) 75 7/16 × 16 = 1207. | d) 71 × 17 = 1207 |

4) *Hallar el tipo porcentual.*

¿Cuánto % *del 100* *si de 1207 tál.* se calculan *36,21 tál. de rebaja, o 75 7/16*, y *cuánto % sobre 100* *si del mismo monto se calculan 35 16/103 o 71 tál. de rebaja*?

| 4) | a) 1207 : 100 = 36.21 : x; x = 3 % | b) 1207 - 35 16/103 : 100 = 35 16/103 : x |
|---|---|---|
|  |  | x = 3 % |
|  | c) 1207 : 100 = 75 7/16 : x; x = 6¼ % | d) 1207 - 71 : 100 = 71 : x |
|  |  | x = 6¼ % |

5) *¿Cuáles son los capitales que se han de rebajar que, tras deducir un 3 % de rebaja, respectivamente del y sobre el ciento, ascienden a 1170,79 tál. y 1171 87/103?*

*Aquí se dan* 1) el *tipo porcentual*; 2) los capitales disminuidos por él *del* o *sobre* 100, o los capitales rebajados.

| 5) | a) 97 : 1170,79 = 100 : x | b) 100 : 1171 87/103 = 103 : x |
|---|---|---|
|  | x = 1207 tál. | x = 1207 tál. |

6) *Capitales rebajados, 1170,79 tál. y 1171 87/103*; *tipo porcentual*, 3 % *del* ciento y *sobre* 100; *¿a cuánto asciende la rebaja?*, *es decir, los porcentajes*

| a) 97 : 1170,79 = 3 : x. | [b)] 100 : 1171 87/103 = 3 : x |
|---|---|
| x = 36,21 | x = 35 16/103. |

##### Rebaja de los libreros[^q6]

1) *¿Cuánta rebaja de 126 tál.* *12 gr.* *al 8⅓ %*? (*8⅓ % = 1/12 de 100*); de ahí, 126 tál. 12 gr./12 = 10 tál. 16 gr. (¿15?)[^q7]

* * *

2) ¿Cuánto es una cuenta de librero de *432 fl. 48 kr.* *tras deducir un 6¼ % de rebaja*? (6¼ % = 1/16 de 100)

Así, *432 fl. 48 kr. - 1/16 (432 fl. 48 kr.)* = 27 fl. 3 kr.

| de ahí: |  | 432 fl. | 48 kr. |
|---|---|---|---|
|  | - | 27 | 3 |
|  | = | 405 fl. | 45 kr. |

* * *

3) *Si una cuenta de librero, tras deducir un 25 % de rebaja, = 148 tál. 15 gr., ¿cuánto era antes?*

*75 : 148,5 tál. = 100 : x = 198 tál.*

| O, como *el 25 % = ¼ del capital*; | *sobre 100* (es decir, *el capital aumentado en el tipo porcentual*) | = | 1/4+1 | = | ⅕ del capital aumentado; |
|---|---|---|---|---|---|
|  | y *en el ciento* (es decir, el capital *disminuido en el tipo porcentual*) | = | 1/4-1 | = | ⅓. |

Así, el 25 %, en el caso dado, = ⅓ del capital disminuido en el tipo porcentual del 25 %; o sea, solo hay que sumar ⅓ del importe

| 148 tál. | 15 gr. |  |  |
|---|---|---|---|
| + 49 | 15 | = | ⅓ de 148 tál. 15 gr. |
| 198 tál. |  |  |  |

4) *¿A cuánto asciende una cuenta de librero si se han calculado al 33⅓ % de rebaja 64 fl. 12 kr.?*

*33⅓ % = ⅓ del capital; así, este = 3 × 64 fl. 12 kr. = 192 fl. 36 kr.*

5) Un *librero da 5 gr. de rebaja por tálero* y *10 kr. por florín*; *¿cuánto % es esto?*

| 30 gr. : 100 = 5 : x; |  | 60 kr. : 100 = 10 : x |
|---|---|---|
| x = 16⅔ |  | x = 16⅔. |

O, 5 gr. = ⅙ de 1 tálero; así, ⅙ de 100 = 16⅔, y ⅙ de 1 fl. = 10 gr., *igualmente* ⅙ de 100 = 16⅔.

* * *

6) Un libro *cuesta neto 1.2 táleros* *(= 1 tál. 20 gr.)*; ¿cuánto *al precio ordinario con un 33⅓ % de rebaja*?

*Así:* *66⅔ : 50 = 100 : x*; *a saber, el 33⅓ % en el 100 = 100 - 33⅓ = 66⅔.*

Así, x = 50⨯100/200:3 = 50 × 3/2 = 75 [gr.].

* * *

Pero también se habría podido calcular: 33⅓ % = ⅓ del capital; así, el capital rebajado, 50, = ⅔ del capital rebajante; de ahí, la mitad de 50 = 25, el último tercio del capital; de ahí, *50 + 25 = 75*, el capital rebajante.

* * *

7) *En las mercancías* que se venden *por número*, *la rebaja se da a menudo añadiendo un número de piezas por cierta cantidad*. *P. ej., se añade una botella de vino por docena.* *¿Cuánto %* a) *del* y b) *sobre* 100?

| a) | 13 : 100 = 1 : x; | b) | 12 : 100 = 1 : x |
|---|---|---|---|
|  | x = 7 9/13 % |  | x = 8⅓ %. |

* * *

8) *A un comerciante le ofrecen uno y el mismo artículo 4 fabricantes distintos a los siguientes precios:*

a) a *16 s. 8 d. con un 8 %*; b) a *16 s. con un 6¼ %* *de descuento o rebaja del ciento*; c) *a 17 s. 3 d. con un 12½ %*; d) a *18 s. 1 d. con un 16⅔ % sobre el ciento*. *¿Qué precio es el más ventajoso?* (suponiendo que *no hay modificación en las 4 determinaciones de precio por la calidad de la mercancía y el plazo de venta*.)

*Hay que librar de prime abord todos los precios de la rebaja*; *el precio más bajo que quede entonces es el más ventajoso*.

a) *16⅔ s. al 8 %*; 16⅔ s. = *⅙ de 100*; *⅙ del 8 % = 1⅓* (6 × 1⅓ = 6 6/3 = 8). Así: *16⅔ s. - 1⅓ = 15⅓ s. neto*.

b) *16 s. con un 6¼ por 100*; 6¼ % = 1/16 de 100; así, 1/16 de 16 = 1. Así, *16 s. - 1* = *15 s. neto*.

c) *17 s. 3 d. al 12½ %*; *12½ % = 1/9 de 112½* (a saber, *112½* es el *12½ % sobre 100*); 1/9 de 17 s. 3 d. = 1 s. 11 d. Así: *17 s. 3 d. - 1 s. 11 d. = 15 s. 4 d. neto*.

d) *18 s. 1 d. al 16⅔ %*; 16⅔ % sobre 116⅔ (*porcentaje sobre 100*) = 1/7; 1/7 de 18 s. 1 d. = *2 s. 7 d.* Así, 18 s. 1 d. menos 2 s. 7 d. = 15 s. 6 d.

Tenemos, pues, los precios netos: *a) 15⅓ s.; b) 15 s.; c) 15 s. 4 d.; d) 15 s. 6 d.*; así que *hay que aceptar b)*.

* * *

#### D) Cálculo de intereses.[^q8]

⦗*Véase el bonito fundamento de existencia del interés.* (p. 196)

A saber: el que toma prestado, el deudor, *puede*, mientras lo tenga en su posesión, «emplear el dinero en su provecho». «Como *también el prestamista*, el que fía, *podría hacer esto*, tiene derecho a exigir de su prestatario *una indemnización*, que se llama *interés* o *rédito*. El *dinero prestado* se llama *capital*.»

«Emplear en su *provecho*» puede querer decir 1) «valorizar» el dinero, es decir, «emplearlo» *como capital*, o bien 2) gastarlo, es decir, *consumirlo*. Pero todavía es posible un tercer caso, al que llegaremos al final.

Tomemos primero el 2): *el que toma prestado se come el dinero*, pero tiene que tener otros medios (si no, no le habrían fiado) para restituirlo al vencer el plazo; el «prestamista del dinero podría hacer esto también», es decir, gastar el dinero, no como capital, sino en goces. Si lo hubiera hecho, este dinero se le habría acabado de una vez para siempre en el curso del plazo (por el que lo presta), sin vuelta; en lugar de eso, ahora lo recibe de vuelta sin consumir; su deudor tiene, pues, derecho a exigir una «indemnización» por haber conservado su dinero como «capital» y haberlo salvado pro tanto de la voracidad de su dueño.

Ahora, al 1): el *que pide fiado emplea el dinero productivamente* y lo emplea en este sentido «en su provecho». El que presta *«no puede hacer esto mismo»*, al menos no durante el plazo en que fía el dinero; pues, si pudiera, no lo fiaría. Su fiar es la prueba palpable de que él mismo no sabe emplear el dinero con provecho como capital. Si, pues, lo recibe de vuelta al final del plazo, no ha renunciado a nada; está justamente en la misma situación que antes, quizá solo con la diferencia de que ahora está en condiciones de emplearlo con provecho. No tiene, pues, «derecho» a ninguna indemnización de ninguna clase.

Pero, se dirá quizá, podría colocarlo él mismo con provecho, pero encuentra que prestarlo a *interés* va unido a menos incomodidad o a menos riesgo. Aquí ya se supone como negocio evidente el *préstamo de dinero a interés*, que es precisamente lo que habría que construir primero sobre un fundamento de «derecho». Pues la frase de que él, el prestamista, «podría hacer lo mismo» ya no encaja. *No quiere hacer lo mismo*, quiere holgazanear. El fundamento de derecho vendría, pues, a parar en que, porque él mismo quiere holgazanear y, sin embargo, sacar más dinero de su dinero, tiene el «derecho» a exigir del que toma prestado una «indemnización» por la holgazanería propia y la laboriosidad ajena, o bien en que tiene un «derecho» a exigir *intereses de su dinero* porque presta su *dinero a interés*.

¿Pero corre el riesgo de perder su dinero? O el riesgo es real o es imaginario. Si es «imaginario», exige una «indemnización» por el tormento que le ha causado su «imaginación»; si es real, no recupera su dinero, a pesar del interés estipulado. En un caso, de hecho, no recibe ni interés ni capital, y de nada le sirven todos los derechos, porque ha cometido la «injusticia» de arriesgar su dinero; en el otro caso, una pérdida solo «imaginaria» solo puede dar derecho a una indemnización «imaginaria», y, en efecto, si se «imaginó» que el dinero estaba como perdido, su vuelta real y no imaginaria a su bolsillo es una alegría sorprendente por el susto imaginario.

3) Un productor que trabaja por sí mismo pide fiado, o porque está en apuros, tiene que hacer un pago urgente o necesita urgentemente adquirir un ingrediente de la producción. El prestamista no puede hacer «lo mismo». No está en apuros, porque si no, no tendría dinero que prestar; no tiene que hacer ningún pago urgente, porque si no, pagaría en lugar de prestar; no necesita adquirir ningún medio de producción, porque si no, lo adquiriría con su dinero en lugar de fiarlo. Así que todo el fundamento de derecho viene a parar aquí en esto: si fía su dinero, podría... no fiarlo. Y, de hecho, este es su único fundamento de derecho. No está obligado a fiarlo gratis. Su fundamento de derecho para exigir interés es que no quiere darlo sin interés. De indemnización y de chorradas semejantes, aquí ni una palabra. Aquí está el hecho: *quiere* fiarlo a interés y *puede* ejecutar su voluntad porque se encuentra en un círculo de condiciones económico-sociales en el que *fiar dinero a interés* es un negocio posible. Que sea así es independiente de todos los razonamientos y fundamentaciones de derecho que el individuo pueda aducir para su préstamo de hecho a interés.⦘

*Intereses simples*: los paga en ciertos plazos (*vencimientos de intereses*) y en un tiempo determinado *devuelve sin cambio el capital* prestado. *Intereses compuestos* (*interés de intereses*): cuando los *intereses que vencen*, en lugar de pagarlos en *los vencimientos de intereses determinados*, los *suma al capital* (*los capitaliza*) *para pagar intereses del capital así aumentado*.

##### A) Cálculo de los intereses simples[^q9]

##### Preguntas:

I) *¿A cuánto ascienden los intereses de cierto capital en cierto tiempo según un tipo de interés dado?*

II) *¿Qué tamaño tiene el capital del que se han calculado ciertos intereses en cierto tiempo según un tipo de interés dado?*

III) *¿Cuál es el tipo de interés al que se ha prestado cierto capital que en un tiempo dado ha dado ciertos intereses?*

IV) *¿Cuál es el tiempo durante el cual ha estado prestado cierto capital si según un tipo de interés dado dio ciertos intereses?*

V) *Hallar el capital aumentado en los intereses*

VI) *Hallar el capital o los intereses contenidos en un valor que incluye capital e intereses*

VII) *Hallar un tipo de interés medio.*

El cálculo en estos casos, por *regla de tres o regla compuesta*, *con proporciones directas o inversas*.

##### I) Hallar los intereses de un capital;

se entiende, *en los negocios de descuento, por regla general por 1 año*, a veces por el *mes*. Pero en general los intereses de un capital dado pueden *calcularse*: *1) por años, 2) por meses, 3) por semanas, 4) por días.*

##### 1) Intereses por años.

a) Si hay que calcular los *intereses por 1 año* y el *tipo de interés* se entiende también por *1 año*, *el tiempo no entra más en consideración*. Si *el tipo de interés fuera mensual*, habría que llevarlo *al anual multiplicándolo por 12*.

*¿Cuánto son los intereses anuales de 834 tál. al 3 %?* *100 : 834 = 3 : x*; x = 8.34 × 3 = *25.02 tál.*, o 1 % = 8.34 tál.; *3 % = 25.02*

b) *Si hay que calcular los intereses de un capital por varios años*, se calculan por 1 año y se *multiplican por el número de años*.

P. ej., los intereses *de 834 tál. al 3 % en 7 años*: en *1 año* = 8.34 tál.; en *7 años = 58.38*

*Se simplifica multiplicando el tipo de interés por el número de años*; así, p. ej., *4½ % en 2 años* = *4½ × 2 = 9 % en 1 año* = *1 % en 9 años*, etc.

*485.50 fr. al 3½ % en 4 años*; 3½ % en 4 años = 14 % en 1 año,

| 1 % = 4.855 |  |
|---|---|
| × 14 |  |
| fr. 67.970 | = 67 fr. 97 ct. |

c) *Si el capital, la tasa de interés y el tiempo constan de números indeterminados*,[^q10] *hay que hacer el planteamiento*, y *precisamente por regla compuesta*, porque *2 proporciones*, *el capital y el tiempo*, *influyen sobre los intereses*. (verte)

| *¿Cuánto son los intereses de 819 tál. al 4⅔ % en 1¾ años?* | *¿Cuánto son los intereses de 56 fl. al 6½ % en ¾ de año?* |
|---|---|
| 100 : 819 = 4⅔ % : x | 100 : 56 = 6½ : x |
| 1 : 1¾ = | 1 : ¾ |
| x = 819 ⨯ 14/3 ⨯ 7/4 = 273⨯7⨯7/100⨯2 | 56⨯13/2⨯¾/100 = 14⨯13:2⨯3/100 = 7⨯13⨯3/100 |
| x = 66.885 tál. | x = 7⨯13⨯3/100 = 2.73 fl. |

* * *

##### 2) Intereses por meses.

*Se calcula primero por un año y luego la parte que los meses forman de un año.*

a) *¿964 tál. al 5 % en 5 meses?*

- *9,64 × 5 = 48.20 tál. = 5 % en 1 año*
- *16.066 = 5 % en 4 meses* (= ⅓ de año.)
- *4.017 = 5 % en 1 mes*
- *20.085* al 5 % en 5 meses.

* * *

*¿Intereses de 520 tál. al 3 % en 4 meses?*

*4 meses = ⅓ de año*; ⅓ × 3 % = 1 %; así, la centésima parte de 520 = *5.20 tál.*

* * *

b) *Si el capital, el interés y el tipo de interés son incómodos, regla compuesta*

*¿Cuántos intereses de 429 tál. al 3½ % en mes?*

- *Capital*: 100 : 429 = 3½ : x
- *Meses*: 12 : 19
- x = etc.

* * *

*1236 fr. al 4½ % del 16 de ene. de 1854 al 16 de dic. de 1855* (*11 meses*)

- *1236 fr.* en 1 año al 4½ % dan: 1236⨯9/2 : 100; así, en 2 años, *12.36 × 9*
- *12.36 × 9 en 2 años*
- *111.24* = *4½ % en 2 años*; de ello, la 24.ª parte = 1 mes, da:
- *4.635* = 4½ % en 1 mes. (= 1/24 de 2 años.)
- 1/24 de 2 años = 1/12 de 1 año.
- Si 1/24 de 1 año da 4.635, 24 meses 4.635 y 23 meses = *4.635 ⨯ 23* = *106.605 fr.*

* * *

Los *tipos de interés en el comercio* constan casi siempre de números como *2, 3, 4, 5, 6*; así:

*Planteamiento general:*

- *100 de capital : capital dado* = *tipo de interés : x*
- *12 meses : meses dados*

* * *

Sin planteamiento, se divide *con el tipo de interés en 12 × 100*, o *1200*; se obtiene así un *cociente*, con el que se divide el *producto* de *capital × meses*, si antes no hay que hacer abreviaciones

| Así, | 1 % = 1200/1 = 1200; | para | 1½ % = 1200/1½ = 800 |
|---|---|---|---|
| para | 2 % = 1200/2 = 600; |  | 3 % = 1200/3 = 400; |
|  | 4 % = 1200/4 = 300; |  | 5 % = 1200/5 = 240; |
|  | 6 % = 1200/6 = 200. |  |  |

*¿Cuánto son los intereses*

de 968 tál. al 4 % en 7 meses?

- x = 968⨯7/300; a saber, para 12 meses: 1200/4 = 300; y 968 × 7 (capital por meses) dividido por este cociente
- *x = 6776/300 = 22.59 tál.*

Si se hubiera calculado de otro modo:

- así: *100 : 968 = 4 : x* = *38.72* en 12 meses.
- de ahí, en 1 mes = 3.22⅔
- en 7 meses = *22.58⅔* = *22.59 tál.*

* * *

*¿Cuánto 862 fl. en 9½ meses al 3 %?*

- 1200/3 = 400; a saber, esto para 1 año o 12 meses.
- De ahí: 862⨯9½/400 = 862⨯19/2/400 = 431⨯19/400 = 20.47 fl.

* * *

*Si el capital es igual al divisor*, *los intereses = el número de meses*

| *P. ej., 240 tál. al 5 % en 11 meses*; | asimismo, ¿*900 tál. al 3 % en 4 meses*? |  |  |
|---|---|---|---|
| 1200/5 = 240; así, 240⨯11/240 = 11 | 1200/3 = 400; 4⨯900/400 = 400⨯9/400 = *9 tál.* |  |  |
|  | O, aquí, con otras palabras:[^q11] |  | 900 tál. al 3 % en 4 meses |
|  | es | = | 400 tál. al 3 % en 9 meses. |
|  | Como siempre hay que multiplicar el tipo porcentual por el capital dado, como aquí 900 tál. × 4 m., el mismo producto *si los factores son como en 400 tál. × 9 meses*. |  |  |

* * *

##### 3) Intereses por semanas

Hasta el *1 de enero de 1851*, en que se *introdujo la ordenanza general alemana de letras de cambio*, *solo era usual entre los banqueros de Augsburgo*; estos solo saldaban cuentas una vez por semana (*los miércoles*; desde el 1 de ene. de 1871, en cambio, 2 veces, lunes y jueves), o *scontraban* (*scontrare*, encontrar; *scontrarsi con uno*, encontrarse con alguien; pero *scontrare* también es cotejar algo con otra cosa, compararlo, una cuenta o lo que sea; *scontro*, encuentro); por eso dividían el año en *52 semanas*, que *llamaban scontri*.

##### 4) Intereses por días.

*En el tráfico comercial se calcula casi siempre por días*, pero en *Inglaterra y América* el año se cuenta = *365* días, y por eso también *cada mes por los días* que realmente tiene.

Por lo demás, el *año* se toma = *360 días*; incluso cuando los intereses se calculan por tantos días por mes *como el mes tiene realmente*, *el tipo de interés* se entiende siempre por *360 días*.

Del *7 de febrero al 11 de sept. de 1855 hay 216* días; si se cuenta el *año a 360 días* y *el mes a 30 días*, son *213 días*; son, en efecto, 7 meses + 3 días; o sea, 7 meses a 30 días = *210; + 3 = 213*.

*Así, 3 métodos posibles*; p. ej., ¿cuánto son los intereses de *1832 tál. al 4 % del 7 de feb. al 11 de sept. de 1855*?

| a) Tipo de interés por 365 días. | b) Tipo de interés por 360 días. | c) Tipo de interés por 360 días |
|---|---|---|
| 1 mes = tantos días como tiene. | 1 mes = tantos días como tiene. | 1 mes = 30 días |
| *Tál.* 100 : 1832 = 4 % : x | *Tál.* 100 : 1832 = 4 % : x | *Tál.* 100 : 1832 = 4 % : x |
| *Días* 365 : 216 | *Días* 360 : 216 | *Días:* 360 : 213. |
| *x = 43 tál. 11 gr.* | *x = 43 tál. 29 sgr.* | *x = 43 tál. 16 gr. 8 pf.* |

Como en el c): *100 de capital : capital dado = tipo de interés : x*; *= 360 días : días dados*, se obtiene: capital dado ⨯ días dados ⨯ tipo de interés 36000.

Ahora bien, la mayoría de los tipos de interés usuales en el comercio son divisibles sin resto en 36 000; p. ej., 36000/4 = 9000, 36000/5 = 7200, 36000/3 = 12 000, 36000/6 = 6000, 36000/1½ = 24 000. *Se obtienen, pues, los intereses* *multiplicando el capital* dado *por los días* y dividiendo el producto [por] el cociente que da 36 000 dividido por el tipo de interés.

| 1 % = 36000/1 = 36 000; | 4½ % = 36,000/4½ = 8000; | 3 % = 36000/3 = 12 000 |
|---|---|---|
| 1½ % = 36000/1½ = 24 000; | 6 % = 36000/6 = 6000; | 4 % = 36000/4 = 9000 |
| 2½ % = 36000/2½ = 14 400; | 1¼ % = 36000/1¼ = 28 800; | 5 % = 36000/5 = 7200; |
| 3¾ % = 36000/3¾ = 9600; | 2 % = 36000/2 = 18 000; | 6¼ % = 36000/6¼ = 5760. |

* * *

Así, p. ej., ¿*intereses de 948 tál. al 4 % en 148 días*?

- 948⨯148/9000 = 316⨯148/3000 = 46768/3000
- = *15 tál. 18 gr.*

Este procedimiento es aplicable también cuando el tipo de interés no entra sin resto en 36 000.

*P. ej.*, ¿cuánto son los *intereses de 1212 tál. al 3½ %* en *164 días*?

| 3½ % = 3 % + ½ %; de ahí = 4 % - ½ %; de ahí: |  |  |  |
|---|---|---|---|
| para el 3 % = 1212⨯164/12000 = 101⨯164/1000 = 16564/1000 | = | 16 tál. | 17 gr. |
| + ½ % = ⅙ del 3 % | = | 2 | 23 |
| Suma: |  | 19 tál. | 10 |

* * *

Si *el capital = el divisor que corresponde al tipo de interés*, los *intereses = el número de días dados*.

P. ej., 12 000 tál. al 3 % por 86 días tiene este: 36000/3 = 12 000; así, *x = 12000⨯86/12000*; *de ahí = 86*. Si el capital no es del todo tan grande, el cálculo es fácil de hacer descomponiendo; *p. ej., ¿de 6000 fr. al 5 % en 180 días?*

| El 5 % da el divisor 7200; | así, 7200 da | 180 de intereses. |
|---|---|---|
| 7200 - 6000 = 1200; | menos 1200 | = 30 de intereses |
|  | Suma | 150 fr. de intereses |

*Un número de días = la centésima parte del divisor que corresponde al tipo de interés da en intereses la centésima parte del capital.*

*P. ej.*, cap. ⨯ 72 días/7200 (donde el tipo de interés = 5 %) da como *intereses*: *capital* ⨯ 1/100 = capital/100 *de intereses*.

Igualmente: cap. ⨯ 60 días/6000 (donde el tipo de interés = 6 %) da cap. × 1/100 = capital/100 de intereses.

Según esto, los intereses de cualquier capital son

| al | 1 % en 360 | días = 1/100 del capital dado, o 1 %. |
|---|---|---|
|  | 1¼ 〃 en 288 |  |
|  | 1½ 〃 en 240 |  |
|  | 2 〃 en 180 |  |
|  | 2½ 〃 en 144 |  |
|  | 3 〃 en 120 |  |
|  | 3¾ 〃 en 96 |  |
|  | 4 〃 en 90 |  |
|  | 4½ 〃 en 80 |  |
|  | 5 〃 en 72 |  |
|  | 6 〃 en 60 |  |

Esto resulta también así: si *100 da en 360 días 5 de interés*, en *72 días*, es decir, en 360/5 = 5/5 = 1 %, *o sea, el 1 % del capital dado*. Si se divide, pues, el número *de días de un año (360) por los días dados*, se obtiene *un número de días* en que el *interés del capital dado* = 1/100 de él = 1 %.

Si *el número de días es > < que el que exige el tipo de interés*, *el cálculo se hace por descomposición*. *P. ej.*, *¿x de intereses por 835 fr. al 4 % en 108 días?*

| por 90 días (= 360/4) | = | 1/100 del capital | = | 8.35 fr. |
|---|---|---|---|---|
| por 19 días | = | aproximadamente ⅕ de 90 | = | 1.67 |
|  |  |  |  | 10.02 de intereses |

*Si el tipo de interés se entiende por 365 días*, *este método solo es aplicable con un tipo de interés del 5 %*, porque *solo el 5 entra en 36 000*. 36000/5 = *7200*.

*Si hay que calcular a la vez intereses por años, meses y días, regla compuesta o método de descomposición.*

P. ej., *¿x de intereses de 1980 al 5 % en 3 años, 5 meses, 9 días?*

| a) | tál. 100 : 1980 = 5 % : x | o b) | 19.80 × 5 |
|---|---|---|---|
|  | 1 año a 3 53/120 |  | 99,00 = 5 % en 1 año |
|  | x = 1980⨯5/3 53/120⨯100 = 198/3 53/120⨯2 |  | 297,00 = ídem en 3 años |
|  | = 99/3 53/120 = 340.725 tál. |  | 33.00 = 4 meses |
|  |  |  | 8,25 = 1 mes |
|  |  |  | 1.65 = 6 días. |
|  |  |  | 0.825 = 3 días |
|  |  |  | 340.725 tál. |

* * *

*Si hay que calcular los intereses de varios capitales*, *se calculan los de cada uno por separado y luego se halla la suma*; o bien *se calculan los intereses del monto total* de los *capitales*, en lo que hay que distinguir los casos siguientes:

a) *igual tipo de interés e igual tiempo*; b) *distinto tipo de interés e igual tiempo*; c) *igual tipo de interés y distinto tiempo*; d) *distinto tiempo y distinto tipo de interés*

##### a) Igual tipo de interés e igual tiempo.

*Aquí solo hay que sumar los capitales y buscar el tipo de interés del modo habitual.* P. ej., *¿x de intereses de 960 fr., [430,] 500 y 1250 a 9 meses al 4 %?*

| 960 [+ 430] + 500 + 1250 = 3140. |  |
|---|---|
| De ahí: | 3140⨯270 días (= 9⨯30 días, o 9 meses 9000 |
|  | = 94.2. |

* * *

##### b) Distinto tipo de interés e igual tiempo.

Se aplica el mismo principio que en la regla de compañía; a saber:

| Los *intereses de 100 fr.* al 5 %, o 100 fr. al 5 % = 500 fr. al 1 %; | además, | 100 fr. | dan 5 al 5 %. | = 1/20 [de] 100 f. |
|---|---|---|---|---|
|  |  | 500 | al 1 % dan ídem 5 | = 1/20 de 100 %. |

O bien 100/5 = 500/1;[^q12] los intereses se convierten así en intereses al 1 %.

Igualmente, los *intereses de 100 fr. en 4 meses = los intereses de 400 fr. en 1 mes*.

Así, los *intereses* de *100 fr. al 4 % en 3 años* = los intereses de *4 × 3 × 100 fs al 1 % en 1 año*.

*Se multiplica, pues, cada capital por el tipo de interés que le corresponde*, *con lo que nacen capitales prestados al mismo tipo de interés del 1 %, y de su suma se calculan los intereses por el tiempo dado*.

*¿x de intereses de 920 fr. al 4 %, 760 fr. al 3 %, 184 fr. al 3½ en 1½ años?*

| 920 al 4 % = | 3680 fr. | al 1 % |  |
|---|---|---|---|
| 760 al 3 % = | 2280 ídem |  |  |
| 184 al 3½ | 644 íd. |  |  |
|  | 6604 fr. | al 1 % | en 1½ años = 6604⨯1½/100 = *99.06 de intereses* |

Si se calcula por separado:

| 920 | al | 4 % | en | 1½ años | = | 55.2 fr. de intereses |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 760 |  | 3 |  | 1½ |  | 34.2 |
| 184 |  | 3½ |  | 1½ |  | 9.66 |
|  |  |  |  |  |  | 99.06 fr., como arriba |

* * *

##### c) Igual tipo de interés y distinto tiempo.

*Si los tiempos dados no tienen la misma denominación, hay que reducirlos primero a ella*; *luego se multiplica cada capital por el tiempo que le corresponde*, *con lo que nacen capitales* *para los que* hay que calcular los intereses con un tiempo igual de *1 año*, *1 mes*, etc.

*¿x de intereses por 900 fr.* *en 7 meses*, *840 en 6½ meses*, *650 en ¾ de año* y *1245 en 20 días* *al 5 %*?

| 900 en 7 meses | = | 6300 en 1 mes. |  |  |
|---|---|---|---|---|
| 840 en 6½ | = | 5460 |  |  |
| 650 en 9 | = | 5850 |  |  |
| 1245 en ⅔ de mes (= 20 días) | = | 830 |  |  |
|  |  | 18 440 f. en 1 mes al 5 % |  |  |
|  |  | x = 18440 f.⨯1/240 = *76.50*; |  | a saber: 100 : 18 440 f. = 5 : x |
|  |  |  |  | 360 : 30, o 12 : 1 |
|  |  |  |  | 18440⨯5/1200 = 18440/240. |

* * *

##### d) Distinto tipo de interés y distinto tiempo;

*Llevados primero a la misma denominación los tiempos expresados de modo desigual, se multiplica cada capital por el tiempo y el tipo de interés que le corresponden.* *Se obtienen así distintos capitales (mediante estos productos) al mismo tipo de interés del 1 % por 1 tiempo, o sea, del mismo tipo de interés y el mismo tiempo.* *La suma de los productos da, pues, intereses con igual tipo de interés e igual tiempo.*

*¿x de intereses de 490 marcos banco al 3 % en 9 meses*, *de 860 al 4 [%] en 1¼ años*, *642 al 6 % en 65 días* y *2000 al ⅜ % por mes en 10 meses*?

Primero hay que reducirlo todo a meses; así, *1¼ años = 12 + 3 meses = 15 meses*; *65 días* = 2 meses (60) y ⅙ de mes = 30/6 (5 días), o sea, 2⅙ meses; además, ⅜ % por mes durante 10 meses = 4½ % al año.

Así:

| 490 fr.[^q13] al 3 % en 9 meses | = | 13 230 fr. |
|---|---|---|
| 860 〃 al 4 〃 en 15 〃 | = | 51 600 |
| 642 al 6 〃 en 2⅙ 〃 | = | 8346 |
| 2000 al 4½ 〃 en 10 | = | 90 000 |
| Suma | = | 163 176 al 1 % en 1 mes |
| x = 163176/12000 = *135.15 β marcos banco* |  |  |

| A saber, | 100 : 163 176 = 1 % : 1 mes. |
|---|---|
|  | (360 : 30) |
|  | o 12 : 1 |
|  | Así, 163176/1200 |

* * *

⦗*En el cálculo de la tasa de ganancia* *que da el capital social se supuso*:[^q14] 1) *que la tasa de plusvalía es la misma para las distintas masas de capital* en *las distintas ramas de la industria*; 2) y *se prescindió* de la rotación, *es decir, se puso = 1 la rotación del capital social en el año*.

En realidad, para las distintas masas de capital, *distintas tasas de plusvalía y distintos tiempos de circulación*. Primero hay que reducir los *distintos tiempos de circulación* *a la misma* denominación, p. ej., meses. Por comodidad, hay que tomar el año = 360 días y el mes = 30 días.

*Luego se multiplica cada capital por el tiempo de circulación* y por *la tasa de ganancia* *que le corresponden* (esta, expresada en porcentaje, o sea, como el interés); cada uno de estos productos es luego igual a un capital al tipo de interés del 1 % y el mismo tiempo, p. ej., 1 mes. *De su suma* se *calculan* luego los *intereses* *por 1 tiempo*, *es decir, por 1 año, 1 mes, etc.*

Estas no son más que diferencias que surgen de las condiciones puramente económicas, a saber: distintas *magnitudes de las masas de capital invertidas en cada rama del negocio*, *distintas tasas de explotación de la fuerza de trabajo*, *distintos tiempos de circulación*. Pero otros puntos de vista de la nivelación, como lo desagradable del negocio, su peligrosidad, su respetabilidad, etc.

En las *ramas del negocio* *que forman monopolios naturales* en *la economía capitalista*, esto se acredita en que *su tasa de ganancia* no entra del todo en el reparto igual, de modo que se les queda pegada a los dedos una *plusganancia*.

Aquí, ahora, 2 cosas: o este *monopolio es solo temporal* y puede romperse por el desarrollo de las inversiones de capital en dichos negocios, o sea, por la competencia capitalista ordinaria; entonces la plusganancia no se consolida en renta.

O se da el caso contrario; entonces se consolida en renta, la cual, sin embargo, está sujeta a su vez a grandes cambios en su cantidad, p. ej., la renta de la tierra.

Por otro lado, las ramas del negocio que forman monopolios naturales, como, p. ej., los ferrocarriles, así como su ganancia no entra en la regulación de la tasa general de ganancia, es decir, no puede ser deprimida por la competencia a su nivel, pueden por otro lado, con contratiempos ocasionales, xxxxxxx constituidos, caer también por debajo de la tasa general de ganancia; el enorme capital fijo invertido en ellas es difícil, y en parte del todo imposible, de retirar; y solo por la expansión o contracción de la parte del capital social invertida en cada rama particular del negocio puede tener lugar la nivelación. Al calcular la tasa general de ganancia, en cuanto entran en consideración tales plusganancias, el cálculo es como en la regla de compañía, en la que algunos de los socios reciben una prima especial además de la parte igual a la de los otros.⦘

* * *

##### II) Hallar el capital

*Al hallar los intereses de un capital, solo proporciones directas:*

- *Cuanto más capital*, *más intereses*; *cuanto menos capital, menos intereses*
- *Cuanto más tiempo*, *más intereses*; *cuanto menos tiempo*, *menos intereses*

*En cambio, al hallar el capital, el tipo de interés y el tiempo*, *las proporciones directas e inversas alternan entre sí*.

Aquí hay que observar primero, respecto *del hallazgo del capital*:

1) *El capital está con los intereses en una proporción directa*; es decir, *cuantos más intereses*, *más capital*. *Pero aquí se supone dado el tipo de interés* ⦗*con un tipo de interés dado, por tanto, y un capital dado:* *cuanto mayor el capital, más intereses*⦘

- P. ej., ¿*x de capital*, *cuyos intereses anuales al 5 % = 165 fs.*? *5 : 165 = 100 : x*; x = 165⨯100/5 = *3300*;
- También se podía obtener directamente: *165/5 = 33*; *así, x = 3300* (*100 está contenido 33 veces en x, como 5 en 165.*)

2) *El capital está con el tipo de interés en una proporción inversa*; es decir, *cuanto mayor el tipo de interés*, *más pequeño puede ser el capital*; *cuanto menor el tipo de interés*, *más grande tiene que ser el capital*.

- P. ej., ¿*x de capital da al 5 % los mismos intereses* que *3200 fs al 4 %*? *5 % a 4 % = 3200 : x*; *= 2560*
- El *capital menor, 2560, al tipo de interés mayor, 5 %*, *da tantos intereses como el capital mayor, 3200, al tipo de interés menor, 4 %*

3) *El capital está con el tiempo en una proporción inversa*, es decir, *cuanto más largo el tiempo*, *menor el capital*; *cuanto más corto el tiempo, mayor el capital*.

- *¿x de capital da en 4 años los mismos intereses que 1680 fr. en 3 años?*
- *4 años : 3 años = 1680 fs : x*; x = *1260 fr.*
- *Cuanto más tiempo, menos capital*; 1260, *el capital menor*, tuvo que devengar interés 1 año más que el *capital mayor* para dar los mismos intereses que este en el tiempo más corto

4) *¿Qué capital dio en 4 meses al 5 % + 64 fs de intereses?*

- 4 meses : 12 meses = 100 fr. : x (cuanto *menos tiempo*, *más capital*)
- *5 fr. de interés : 64 fr. de interés = x* (cuantos más *intereses*, *más capital*)
- x = 1200⨯64/20 = 120/2 × 64 = 60 × 64 = 640 × 6 = *3840 fr.*
- *Sin planteamiento:* *en 4 meses, 64 fr. de intereses*
- en 12 meses (*el tiempo que corresponde a 100*), *192 fs.*
- *Para un 5 [%] de intereses hacen falta 100 de capital*
- *Para 192, tantas veces 100 como 5 está contenido en 192;* *es decir, 38⅖ × 100 = 3840 fr.*

5) *¿x de capital dio en 1¼ años 48 tál. de intereses, si de 1840 fs de capital se cobraron en 3½ años 257 tál. 6?*

- 1¼ años : 3½ años = 1840 : x (*cuanto menos tiempo, más capital*)
- 257.6 : 48 (*cuantos menos intereses, menor el capital*)
- x = 960.

* * *

6) *¿x de capital dio en 5 años al 4 % los mismos intereses (aquí, pues, los intereses iguales) que se obtuvieron al 3 % en 6 años de 1800?*

- 5 años : 6 años = 1800 de capital : x (*cuanto menos tiempo, más capital*)
- 4 % : 3 % (*cuanto mayor el tipo de interés, menor el capital*)
- 6⨯1800⨯3/5⨯4 = 6⨯360⨯3/4 = 6 ⨯ 90 ⨯ 3 = 1620.

* * *

##### III) Hallar el tipo de interés.

1) *¿x, el tipo de interés al que se prestó un capital de 450 fl. cuyos intereses anuales = 18 fl.?*

α)

| 450 : 100 = 18 : x |
|---|
| x = 4 %. |

Si consideramos aquí *el tipo de interés* como la *medida* a la que *un capital (450) estaba prestado por un cierto tiempo (aquí, un año)*, la *proporción es inversa*: 450 > 100; x, por tanto, menor que *18*; cuanto *mayor el capital* que 100 (450), tanto *menor el tipo de interés* que hace falta para que dé cierta cantidad de intereses (18) en un tiempo dado.

En cambio, si consideramos el tipo de interés como los *intereses de 100*, la proporción es *directa*.

Y la proporción de arriba = cuanto *menor es 100 que 450* (cuanto menor es el capital 100 que el capital dado 450, que da 18 en un año), tanto menos intereses da 100; o sea, *tanto menor el tipo de interés considerado solo como los intereses del capital 100*.

β)

| 75 : 100 = 20 : x |
|---|
| x = 26.66. |

Aquí, respecto *del capital dado, 75*, en el que se pregunta a qué *tipo de interés* (*medida* de su interés) estaba prestado por un tiempo determinado, la *proporción es inversa*. Cuanto *menor el capital* (75) comparado con 100, tanto mayor tiene que ser el *tipo de interés* para que dé 20 de intereses en un tiempo dado. En cambio, considerado el tipo de interés como los intereses de 100, como antes, la proporción es *directa*. Cuanto *mayor es el capital 100 que 75*, *tantos más intereses da en el mismo tiempo*.

γ)

| 450 : 100 = 18 : x; | x = 8 % |
|---|---|
| ½ año : 1 |  |
| x = 100⨯18/450/2 = 100⨯18/225 |  |
| x = 8 % |  |

En γ) se ha supuesto que [un capital de] 450 da *en ½ año* 18 de intereses, mientras que el *tipo de interés hay que calcularlo por año*.

Considerado aquí el *tipo de interés como medida* a la que devenga interés 450, la proporción es *inversa*. Cuanto *menor el tiempo* *en que el capital 450 da una cantidad dada de intereses*, tanto *mayor el tipo de interés*.

En cambio, considerado el *tipo de interés como los intereses del capital 100*, la *proporción es directa*. Cuanto *más largo el tiempo* en que el capital 100 está prestado, *más intereses da*.

2) *¿x, el tipo de interés al que hay que prestar un capital que en 9 meses ha de dar los mismos intereses que dio en 1¼ años al 3 %?*

| 9 meses : 15 meses = 3 % : x; |
|---|
| x = 5 % |

*9 meses : 15 = 3 : 5*; así, *al revés, el tipo de interés = 5 : 3*. *Inversa:* *cuanto menos tiempo, mayor el tipo de interés.*

* * *

3) *¿x por ciento, al que hay que prestar 960 fl. si en el mismo tiempo han de dar los mismos intereses que 840 fl. al 6 %?*

| f 960 : f 840 = 6 % : x |
|---|
| x = 5¼ %. |

*Inversa:* *cuanto mayor el capital, menor el tipo de interés (para dar cierta cantidad de intereses)*

* * *

4) *¿x por ciento, al que está prestado un capital que ahora trae 120 tál. de intereses, mientras que antes, al 5 %, daba un producto de intereses de 133⅓?*

| α) | 133⅓ : 120 = 5 : x |
|---|---|
|  | x = 4½ %. |

*Directa:* *cuantos menos intereses, menor el tipo de interés*.

| β) | 120 : 133⅓ = 5 : x |
|---|---|
|  | x = 5 5/9 % |

Si, en cambio, diera *ahora 133⅓*, *mientras que antes, al 5 %, daba 120 tál.*, *x* *(el tipo de interés)* *sería ahora = 5 5/9*: *directa:* *cuantos más intereses, mayor el tipo de interés*

* * *

5) *¿A x % se prestó si en 4½ años un capital de 850 fl. dio 153 fl. de intereses?*

| 850 f : 153 f. = 100 : x |
|---|
| 4½ años : 1 |
| x = 4 % |

*Inversa:* *cuanto mayor el capital (850), menor puede ser el tipo de interés.*

*Inversa:* *cuanto más tiempo (1½) años, menor puede ser el tipo de interés.*

* * *

6) *Si de un capital de 450 fs se cobraron en 1½ años los mismos intereses que cobró un capital de 765 fr. en 9 meses al 6 %, ¿a x % se prestó el primer capital?*

| fr. 450 : fs 765 = 6 % : x |
|---|
| meses 18 : 9 |
| x = 5 1/10 % |

*Inversa:* cuanto *menor el capital 450 (comparado con el capital 765), mayor tiene que ser el tipo de interés para que pague los mismos intereses.* *Proporción inversa.*

*Inversa:* *cuanto más tiempo (18 meses), menor puede ser el tipo de interés.*

* * *

⦗Si se dan 2 capitales, p. ej., 1600 y 400, que se valorizan a la misma tasa de plusvalía, o también a la misma tasa de ganancia, digamos del 10 %, pero de los que 400 rota cuatro veces al año, entonces:[^q15]

| 1600 : 400 = 160 : x |
|---|
| 1 : 4 |
| x = 160 % |

Cuanto *menor el capital* (400), menos por ciento da con la misma tasa de ganancia

(cuanto *más corto el tiempo de rotación* de (*400*), *más por ciento* da)

(de hecho, 4 × el tiempo de rotación da *1600 de capital rotado*)

* * *

Si ahora 1600 se valorizara a una tasa de ganancia mayor, del 15 %, y 400 solo al 10, pero este último rotara 4 veces al año y el primero solo una, el planteamiento:

| 1600 : 400 = 240 : x |
|---|
| 1 : 4 |
| 15 : 10 |

*x, como antes, = 160*; pero si el capital que rota más rápido se valorizara al 15 % y el que rota una vez al 10 %, x = 400⨯160⨯4⨯15 1600⨯10 *= 240 %*

##### IV) Hallar el tiempo.

1) *¿Cuánto tiempo estuvo prestado un capital que dio 54 fr. de intereses, si otro capital del mismo tamaño trajo en 3¼ años 52 fr. de intereses?*

| fr. 52 : 54 = 3¼ años : x |
|---|
| x = 3⅜ años |

*Directa:* cuantos *más intereses*, *más tiempo*; *cuantos menos intereses, menos tiempo*. *El tiempo está, pues, con los intereses en una proporción directa.*

2) *¿Qué duración hace falta para ganar, con igual tipo de interés, con 364 fl. de capital tantos intereses como con 390 fl. en 9⅓ meses?*

| 364 f. : 390 f = 9⅓ meses : x |
|---|
| x = 10 meses |

*Inversa:* *cuanto menos capital, más tiempo*. *El tiempo está con el capital en una proporción inversa*; *es decir, cuanto mayor el capital, menos tiempo*; *cuanto menor el capital, más tiempo.*

*Así:*[^q16] el *capital mayor acumula más rápido que el menor*, con *la misma tasa de ganancia*. Acumula también más rápido (con igual rotación) si su tasa de ganancia es < que la del capital menor; pero no con una *tasa de ganancia menor en la misma proporción en que es mayor*.

P. ej., un capital de 10 000 £, 10 veces mayor que un capital de 1000; si la tasa de ganancia fuera solo del 1 %, pero del 10 % para el capital menor, daría

| *10 000 £*, al año, 100; | 1/100 × 10 000 = 100. |
|---|---|
| y *1000 £* al 10 %, ídem 100; | 1/10 × 1000 = 100. |

Pero mientras la tasa de ganancia de 10 000 sea, en el caso dado, mayor que el 1 %, es decir, mayor que la proporción en que es > 1000, o en que 1000 es < que 10 000, da mayor ganancia; y puede, por tanto, acumular más rápido.

* * *

3) *¿Cuántos años tienen que estar prestados 1000 fl. para dar al 4 % tantos intereses como han traído al 4½ % en 2 años y 8 meses?*

| 4 % : 4½ % = 2⅔ años : x |
|---|
| x = 3 años. |

*Inversa:* *cuanto menor el tipo de interés, más tiempo.* *El tiempo está con el tipo de interés en proporción inversa*; *cuanto mayor el tipo de interés, menos tiempo*; cuanto menor el tipo de interés, más tiempo.

* * *

4) *¿x de tiempo han estado prestados 2650 fr. si sus intereses al 4½ % … ascienden a 397½ fr.?*

| fs 2650 de capital : 100 de cap. = 1 año : x |
|---|
| 4½ de interés : 397½ de interés |

| Inversa: | cuanto más capital, menos tiempo |
|---|---|
| Directa: | cuantos más intereses, más tiempo |

* * *

5) *¿x de tiempo tienen que estar prestados 1960 fr. antes de traer al 3 % los mismos intereses que 1260 fr. de capital al 3½ % en 9⅓ meses?*

| 1960 fr. : 1260 = 9⅓ : x |
|---|
| 3 % : 3½ % |
| x = 7 meses. |

(*Cuanto más capital, menos tiempo.* *Inversa*)

(*Inversa:* *cuanto menor el tipo de interés, más largo el tiempo*)

6) *Un capital de 1780 fl.* dio en *225 días 44 marcos 8 β de intereses*; ¿x de tiempo tienen que estar prestados *1125 marcos para dar 36½ marcos de intereses*?

| M. 1125 : 1780 de capital = 225 días : x |  | (*Inversa:* cuanto *menos capital, más tiempo*) |
|---|---|---|
| 44½ de interés : 36½ de interés |  | (*Directa*: *cuantos menos intereses, menos tiempo*) |
| x = 292 días. |  |  |

* * *

##### V) Hallar un capital aumentado en los intereses.

1) *¿x suman 1260 fr. en 6½ meses en capital e intereses al 4 %?*

a) *Primera solución*: según la fórmula desarrollada antes:

| 100 : capital dado = tipo de interés : x |  |
|---|---|
| 12 meses : n meses, |  |

por lo que: cap. dado⨯tipo de interés⨯n 1200; se tiene: 1260⨯6½⨯4/1200 = 1260⨯6½/300 = 21/5 ⨯ 6½ = 21⨯13/10 = *27.3*

Así, *27.3 de intereses* por 6½ meses. Sumado al capital de 1260 [+] 27.3 [=] 1287.3 *de capital e intereses*.

b) *Segunda solución*. En la primera *solución se buscaron primero los intereses del capital de 1260 por 6½ meses*; luego se *sumaron al capital*. Pero también se pueden calcular primero *los intereses que da 100 en 6½ meses* si en 12 meses (es decir, 1 año) da el 4 [%].

| 12 : 6½ = 4 : x |
|---|
| x = 2⅙; |

así, al 4 %, capital (es decir) 100 + intereses por 6½ meses *= 102⅙*; según esto hay que calcular ahora la cosa *para 1260*.

| 100 : 1260 = 102⅙ : x |
|---|
| x = 1287.3. |

* * *

2) *¿x vale un capital de 980 fl.* *al 5 % en capital e intereses al cabo de 186 días?*

| α) | 360 días : 186 = 5 : x |
|---|---|
|  | x = 2 7/12 |
|  | + 100 = 102 7/12 |

| β) | 100 : 980 = 102 7/12 : x |
|---|---|
|  | x = 1005.66 |

* * *

*De que*, y esta es la *conclusión del cálculo del descuento*, *980 fl. al 5 % anual valgan en capital e intereses* al cabo de *186 días* *1005.66 fl.*, se sigue, a la inversa, que *1005.66 fl.* *que solo vencen al cabo de 186 días* tienen un *valor actual al contado* de *980* (1005.66 - 25.66 fl. = 980).

##### VI) Hallar los intereses o el capital contenidos en un valor que representa intereses y capital.

1) *Al cabo de 7 meses se recibe de vuelta en capital e intereses por un capital prestado al 5 % 967 tál. 12 gr. 5 pf.*; *¿a cuánto ascienden los intereses contenidos en esta suma?*

*Primero hay que calcular a cuánto ascienden al 5 % los intereses de 100 durante 7 meses*

| meses 12 : 7 = 5 % : x. |
|---|
| x = 2 11/12 % |
| + 100 |
| 102 11/12 al cabo de 7 meses. Capital (de 100) + intereses. |
| 102 11/12 : 967 5/12 = 2 11/12 : x |
| x = 27 5/12 tál. |
| El capital metido en 967 5/12 es, pues, = 967 5/12 - 27 5/12 = *940*. |
| Si hubiera que hallar el capital original: |
| 102 11/12 : 967 5/12 = 100 : x |
| x = 940 |

Pero si el capital devuelto al cabo de 7 meses (prestado al 5 %), de 967 5/12 tál., contiene *940 de capital prestado* + 27 5/12 de intereses, se sigue a la inversa que, a la misma tasa de interés, un valor de 967 5/12 tál. que solo vence al cabo de 7 meses tiene un *valor actual al contado de 940* (*cálculo del descuento*).

* * *

##### VII) Hallar un tipo de interés medio.

1) *Capitales iguales y tiempos iguales*. Se *suman los distintos tipos de interés y se divide su suma por el número de capitales iguales*.

| P. ej., | 1) capital 360 | al 3 % |
|---|---|---|
|  | 2) capital 360 | al 3½ % |
|  | 3) capital 360 | al 4 % |
|  | 4) capital 360 | al 5 %; |
| se tiene entonces 4 × 360 al 3 + 3½ + 4 + 5 % |  |  |
| de ahí, el tipo de interés medio de 360 = 3+3½+4+5 %/4 = 3⅞ %. |  |  |

* * *

2) *Capitales desiguales y tiempos iguales.*

*Hay que multiplicar cada capital por el tipo de interés que le corresponde* ⦗p. ej., 2000 tál. al 3 % dan al año 60 de intereses, y 6000 al 1 % dan también 60; igualmente, 2000 tál. al 3 % por 3 meses dan 60/4 = 15, y 6000 a 1 mes también 15.⦘ *y dividir la suma de los productos así obtenidos por la suma de los capitales*.

*¿Cuál es el tipo de interés medio de los siguientes capitales prestados a 3 meses: 2000 al 3 %, 4000 al 4 %, 6000 al 4⅓ % y 1500 al 6 %?* Multiplicando cada uno de estos capitales por su tipo de interés se obtienen 4 capitales, todos prestados al 1 % y por 1 mes;

| 2000 × 3 | = | 6 000 |
|---|---|---|
| 4000 × 4 | = | 16 000 |
| 6000 × 4⅓ | = | 26 000 |
| 1500 × 6 | = | 9 000 |
| 13 500 |  | 57 000 |

Se tiene, pues, ahora *13500 : 57000 = 1 % : x %*; x = 57000/13500 *= 4 2/9 %*.

Así, los intereses de 13 500 al 4 2/9 % en 3 meses = 142½ tál.

* * *

3) *Tiempos desiguales y capitales iguales.*

*Hay que reducir todos los tiempos a la misma denominación*, es decir, *hacerlos homónimos si no lo son ya*; *se multiplica cada capital por el tiempo que le corresponde y se divide la suma de los productos por la suma de los tiempos*

⦗P. ej., *2000 táleros al 3 % dan en 3 meses 15* táleros; y 6000, *o 2000 táleros × 3* (el coeficiente de los meses), al 3 % dan en 3/3 = 1 mes también 15 tál.⦘

De 4 capitales iguales (p. ej., 600 × 4 = 2400), el *1.º* está prestado a 6 meses al 4 %; el *2.º*, a 5 meses al 3 %; el *3.º*, a *4 meses* al 4½ %, y el *4.º, a ¼ de año*, o sea, *3 meses, al 5 %*. *¿Cuál es el tipo de interés medio de estos capitales?*

| 6 meses | al 4 % | = | 1 mes | al 4 × 6 | = 24 % |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | al 3 % | = | 1 mes | al 3 × 5 | = 15 % |
| 4 | al 4½ | = | 1 mes | al 4 × 4½ | = 18 % |
| 3 | al 5 | = | 1 mes | al 3 × 5 | = 15 % |
| 18 meses |  |  |  |  | 72 % |
| De ahí: 18 m. : 1 = 72 % : x. x = 72/18 = 4 % |  |  |  |  |  |

* * *

| P. ej., cada uno de los capitales iguales = 600 fr. |  |  |  | Pero al tipo de interés medio del 4 % dan: |  |
|---|---|---|---|---|---|
| 600 al 4 % | en 6 meses | = 12 |  | 600 en 6 meses | 12 (2 por mes) |
| 600 al 3 | 5 m. | = 7.5 |  | 600 en 5 meses | 10 |
| 600 al 4½ | 4 m. | = 9 |  | 600 en 4 meses | 8 |
| 600 al 5 | 3 m. | = 7.5 |  | 600 en 3 meses | 6 |
| 2400 |  | 36 de intereses |  | 2400 | 36 de intereses |

Para el cálculo del caso 4), *tiempos desiguales y capitales desiguales*, *además del tipo de interés medio hay que calcular el vencimiento medio*; *pertenece al cálculo de plazos*.[^q17]

*Esto hay que aplicarlo, pues, también al calcular la tasa media de ganancia del capital social*, *donde los capitales individuales son de tamaño desigual y tienen tiempos de circulación desiguales*.⦘

##### B) Cálculo de intereses compuestos o de interés de intereses.[^q18]

Cuando *el deudor no paga los intereses del capital al vencimiento*, *sino que se suman al capital y en el periodo siguiente devengan interés con él*. P. ej., se toman prestados 100 al 4 %; da *al final del año, en capital e intereses*, = *104*, y *por el 2.º año hay que pagar, pues,* intereses de *104* %.

La aritmética ordinaria —y aun eso, torpemente— solo puede resolver 3 de las 4 cuestiones que aquí se presentan.

Antes, todavía: los intereses compuestos aumentan muy rápido; p. ej., un *capital al 3 %* se *duplica* en *23.45* años; *al 4 %, en 17.673 años*; se *triplica* en *37.161 años*, etc. *Si los intereses se suman cada medio año*, etc., naturalmente mucho más rápido.

I) *¿Qué tamaño alcanza, al cabo de cierto tiempo, un capital dado con sus intereses e intereses de intereses?* (*Capital valorizado, o acumulado, o aumentado*)

*Hallar los intereses compuestos solos* —en lugar de buscar los intereses, como en el cálculo de interés simple— no es posible ni con la aritmética ordinaria ni con el álgebra por un cálculo particular; *hay que buscar, más bien, el capital aumentado*, *y la diferencia entre este y el capital originario forma los intereses compuestos*.

* * *

1) *¿Qué tamaño alcanza un capital de 850 tál. con abono anual de intereses, con intereses compuestos al 5 %, al cabo de 5 años?*

| a) | Primera solución, por la regla conjunta. |  |  | b) | 2.ª solución, por regla de tres. |  |
|---|---|---|---|---|---|---|
|  | x tál. | = | 850 tál. de capital |  | 100 : 850 = 105 : x. | x = 892.5 al final del 1.er año. |
|  | 100 | = | 105 tras el 1.er año |  | 100 : 892.5 = 105 : x; | x = 937.125 al final del 2.º año. |
|  | 100 | = | 105 tras el 2.º 〃 |  | 100 : 937.125 = 105 : x; | x = 983.9813 al final del 3.er año. |
|  | 100 | = | 105 tras el 3.º 〃 |  | 100 : 983.9813 = 105 : x; | x = 1033.1804 al final del 4.º año. |
|  | 100 | = | 105 tras el 4.º 〃 |  | 100 : 1033.1804 = 105 : x; | x = 1084.8394 al final del 5.º año. |
|  | 100 | = | 105 tras el 5.º |  |  |  |
|  | x | = | 1084.8393 |  |  |  |

*Si los intereses se abonaran cada medio año*, al cabo de 5 años:

| x tál. = 850 de capital |
|---|
| 100 = 102.5 tras el 1.er semestre |
| 100 = 102.5 tras el 2.º |
| 100 = 102.5 tras el 3.º |
| hasta 100 = 102.5 tras el 10.º; |
| En lugar de calcular, como en el a), por 5 años, habría que calcular por 10 semestres, y se hallaría x = 1088.0718 tál. |

* * *

2) *¿Qué tamaño tiene el capital originario que al cabo de 5 años, con cálculo anual de intereses compuestos al 5 %, creció hasta 1084.8394 tál.?*

| a) | por regla de tres: |  |  |  |
|---|---|---|---|---|
|  | 105 : 1084.8393 = 100 : x | x = 1033.1803 | al final del 5.º año, el capital base era: | 1033.1803. |
|  | 105 : 1033.1803 = 100 : x; | x = 983.9812 | al final del 4.º año | 983.9812. |
|  | 105 : 983.9812 = 100 : x; | x = 937.125. | al final del 3.er año | 937.125. |
|  | 105 : 937.125 = 100 : x; | x = 892.5 | al final del 2.º año | 892.5. |
|  | 105 : 892.5 = 100 : x; | x = 850; | así, al comienzo del 1.er año, capital originario = | 850. |

| b) | Por la regla conjunta: |  |
|---|---|---|
|  | x = 1084.8394 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | x = 1084⨯1005/1055 | = 850 tál. |

* * *

## Intercalado

---

[^q1]: Feller y Odermann, p. 178; el apartado B), p. 180 (según MEGAdigital).
[^q2]: Feller y Odermann, pp. 186-187 (según MEGAdigital).
[^q3]: Según MEGAdigital, comentario de Marx a propósito de Feller y Odermann, p. 192, hasta «1000 de balde»; la MEGA lo publicó por primera vez en el tomo II/14, pp. 155-156. Sobre la ganancia comercial y la tasa de ganancia, véase la [sección cuarta del Libro tercero de *El capital*](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1894%20El%20capital.%20Libro%20tercero.%20IV.%20La%20transformaci%C3%B3n%20del%20capital%20mercantil%20y%20del%20capital%20dinerario%20en%20capital%20de%20comercio%20de%20mercanc%C3%ADas%20y%20capital%20de%20comercio%20de%20dinero%20%28capital%20comercial%29).
[^q4]: Feller y Odermann, pp. 187-188 (según MEGAdigital).
[^q5]: Resumen de Marx (según MEGAdigital).
[^q6]: Encabezamiento de Marx; Feller y Odermann, pp. 192-193. Marx ya se había referido a la rebaja de los libreros en el comentario de más arriba (según MEGAdigital).
[^q7]: Añadido de Marx; lo correcto es 16, no 15 groschen (según MEGAdigital).
[^q8]: Feller y Odermann, p. 196, cap. 8. El comentario de Marx que sigue, hasta «a interés.», lo publicó la MEGA por primera vez en el tomo II/14, pp. 156-158; la frase entre comillas está tomada de Feller y Odermann, p. 196 (según MEGAdigital).
[^q9]: Feller y Odermann, p. 197 (según MEGAdigital).
[^q10]: Así en el manuscrito («unbestimmten»); Feller y Odermann (p. 199) dicen «unbequemen», «incómodos» (según MEGAdigital).
[^q11]: Desde aquí hasta el final de la tabla, añadido de Marx (según MEGAdigital).
[^q12]: Feller y Odermann (p. 211) dicen, p. ej., que los intereses de 100 fl. al 5 % = los intereses de 5 × 100 fl. al 1 % (según MEGAdigital).
[^q13]: Así en el manuscrito; debería decir marcos banco (según MEGAdigital).
[^q14]: Según MEGAdigital, comentario de Marx, publicado por primera vez en MEGA² II/14, pp. 158-161.
[^q15]: Según MEGAdigital, comentario de Marx hasta el final de la página del manuscrito, publicado por primera vez en MEGA² II/14, pp. 161-162.
[^q16]: Según MEGAdigital, comentario de Marx, publicado por primera vez en MEGA² II/14, p. 162.
[^q17]: Según MEGAdigital, comentario de Marx, publicado por primera vez en MEGA² II/14, p. 162.
[^q18]: Feller y Odermann, p. 223 (según MEGAdigital).
[^lic]: Texto original según MEGAdigital (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften), MEGA² IV/25, licencia CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es); el aparato editorial de la MEGA no se reproduce. Esta traducción y la transcripción se distribuyen con la misma licencia.