--- Title: Heft „1869 I Heft“. VIII. Kaufmännische Arithmetik (Feller und Odermann): Procent-, Zins-, Discont- und Terminrechnung, indirekte Arbitrage Description: Marx’ Exzerpte aus Feller und Odermann, „Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik“: Procent-, Zins-, Discont- und Terminrechnung, indirekte Arbitrage, im „1869 I Heft“. Author: Karl Marx Date: 1869 URL: https://marxismo.school/archivo/marx-engels/originales/1869%20Heft%20%E2%80%9E1869%20I%20Heft%E2%80%9C.%20VIII.%20Kaufm%C3%A4nnische%20Arithmetik%20%28Feller%20und%20Odermann%29%3A%20Procent-%2C%20Zins-%2C%20Discont-%20und%20Terminrechnung%2C%20indirekte%20Arbitrage --- *Nach der Handschrift, MEGAdigital (MEGA² IV/19).[^lic] [Traducción al español](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1869%20Cuaderno%20%C2%AB1869%20I%20Heft%C2%BB.%20VIII.%20C%C3%A1lculo%20mercantil%20%28Feller%20y%20Odermann%29%3A%20tantos%20por%20ciento%2C%20intereses%2C%20descuento%2C%20vencimientos%20y%20arbitraje%20indirecto)* ### Procentrechnung. 100 als *Maaßstab* für arithmetische Verhältnisse. Es handelt sich um die Procentrechnung: 1) Aufsuchung der von einem gegebnen Werth nach Maaßstab eines bestimmten Procentsatzes zu nehmenden Procente, ohne Rücksicht darauf, wie sie sich auf den Werth, auf den sie sich beziehn, etwa einwirken. 2) Aufsuchung eines nach einem gewissen Procentfuß veränderten Werths, bestehe die Veränderung in Vermehrung od. Verminderung des gegebnen Werths. 3) Aufsuchung des Werths, von welchem gewisse Procente berechnet worden sind. 4) Aufsuchung des Procentfusses. Der Werth, oder das Kapital, von welchem Procente gerechnet werden sollen, entspricht jedoch nicht immer vollkommen der Normalzahl 100. Z.B. Jemand sagt: Eine Waare kostet *mit Inbegriff* von 10% Unkosten 5½ Th. So entsprechen diese 5½ Th. nicht dem Maaßstab 100, weil die 10% ursprünglich auf kleinren Werth als 5½ Th. berechnet, auf einen Geldwerth, ehe man diese 10% Unkosten *hinzurechnete*. Solche Werthe wie diese 5½ Th. können ein um die Procente vermehrtes Kapital heissen. Ein andrer sagt: Ich habe diese Waare, nach Abzug von 2% für baare Zahlung, mit 4f. 30xr bezahlt. Diese 4f. xr entsprechen dem Maaßstab 100 nicht. Die 2% sind auf einen Werth berechnet, der vorhanden war, *bevor* die 2% abgezogen wurden. Daher können die 4f. 30xr ein um die Procente vermindertes Kapital heissen. Es fragt sich also stets, ob der gegebne oder zu suchende Werth rein, vermehrt, oder vermindert ist. Dieser dreifachen Beschaffenheit des gegebnen od. zu suchenden Werths entsprechen 3 Procentsätze, *vom Hundert*, *auf Hundert*, *im Hundert*. Procente vom 100: 100 = 3. Procente auf 100: 103 = 3. Procente im Hundert: 97 = 3. #### I) Aufsuchung der Procente allein. ##### a) Der reine Werth ist gegeben. (Procente vom 100.) Wieviel betragen 4% von 1975 Th. u. 6% von 1812f.? | 100 : 1975 = 4 : x | 100 : 1812 = 6 : x | |---|---| | x = 79 Th. | x = 108,72f. | ##### b) Der vermehrte Werth ist gegeben. (Procente auf 100) Wenn 1545 Th. eine Vermehrung von 3%, u. 1920f. 72 cts. eine Vermehrung von 6% einschliessen, wieviel beträgt diese Vermehrung, od. die *Procente auf 100* von diesen Kapitalien? | 103 : 1545 = 3 : x | | 106 : 1920,72 = 6 : x | |---|---|---| | x = 45 Th. | Es stecken in den 1545 Th. 45 Th. Pr. Cent. | x = 108,72 fcs. | Alle Procentsätze *vom* hundert, die einen bequemen Theil von 100 geben, bilden auch einen Theil auf *100 + dem Procentsatz*, wenn sie als Procente *auf 100* benuzt werden. Man findet diesen Theil, wenn man zu dem Nenner des Bruchtheils, den der Procentsatz vom 100 bildet, den Zähler desselben Bruchs addirt. Z.B. 6¼% *vom* 100 =  1/16; ist *auf* 100 = 1/16+1 =  1/17. 37½ *vom* 100 = ⅜; *auf* Hundert = 3/8+3 =  3/11. ##### c) Der verminderte Werth ist gegeben. (Procente im 100.) Wenn ein Werth durch Abrechnung von 3% auf 582 Th., u. ein andrer durch Abrechnung von 3½% auf 239 Fcs. 32 cts. vermindert worden, wie viel diese Verminderung? od. wieviel von diesen Werthen die Procente im 100? | 97 : 582 = 3 : x | 96½: 239,32 = 3½: x | |---|---| | x = 18 Th. | x = 8,68 Fcs. | Alle Procentsätze, die vom u. auf 100 einen bequemen Theil aus dem Capital bilden, können auf dieselbe Weise als Procente im 100 benutzt werden. Man findet diesen Theil, wenn man von dem Nenner des Bruchs, den sie vom 100 bilden, den Zähler desselben Bruchs abzieht. Z.B. 8⅓% vom 100 =  1/12. Dann 8⅓% *im* 100 = 1/12–1 =  1/11. * * * #### II) Aufsuchung eines nach einem gewissen Procentsatz veränderten Werths. Ist der zur Veränderung gegebne Werth *rein*, dann wird er nach dem gegebnen Procentsatz vom 100 *vermehrt* od. *vermindert*. Schließt der Werth die Vermehrung nach dem gegebnen Procentsatz bereits ein, so soll er auf seinen ursprünglichen Werth reducirt, also nach dem gegebnen Procentsatz (auf 100) *vermindert* werden. Ist der gegebne Werth nach dem gegebnen Procentsatz vermindert, so soll er auf seinen ursprünglichen Werth reducirt, also nach demselben Procentsatz (im 100) *vermehrt* werden. ##### a) Der reine Werth ist gegeben. Wieviel betragen 978 Th., um 3% vermehrt od. vermindert? | 978 | | | 978 | | | |---|---|---|---|---|---| | +29,34 | = 3% | = 1007,34 Th. (10 Sgr.) | –29,34 | = 3% | = 948,66 Th. (20 Sgr.) | ##### b) Der vermehrte Werth ist gegeben. Wie groß waren 1) 2054 Th. und 2) 1925£ 11s., ehe sie resp. um 3% u. 37½% vermindert wurden? | 103 : 2054 = 100 : x | |---| | x = 1994 Th. 5 Sgr. | In dem 2t Beispiel unnütz die Regel de Tri anzuwenden, weil 37½% =  3/11 des Werths. Also: | 1925£ 11s. | |---| | 525. 3 = –  3/11 aus 1925£ 11s. | | 1400£. 8 | ##### c) Der verminderte Werth ist gegeben. Wie groß waren 1) 582 Th., bevor sie um 3% 2) u. 1601¼ Th., bevor sie um 6¼% vermindert wurden? | 1) 97 : 582 = 100 : x | 2) 1601¼ Th. | |---|---| | x = 600 Th. | 106¾ Th. = +  1/16 (1601¼), *da 6¼ =  1/16* | | | 1708 Th. | * * * #### III) Aufsuchung des Werths von welchem gewisse gegebne Procente gerechnet worden sind. Neben den *Procenten* muß hier auch der *Procentsatz* gegeben sein, wonach die Berechnung der Procente erfolgt ist. Dann ist die Frage: Wenn der Procentsatz das ihm entsprechende Grundkapital (100, 100 + %, 100 – %) erfordert, welchen Werth erfordern die gegebnen Procente? | Von welchen Beträgen ist gerechnet worden | 75 Th. à 6% *vom* 100? 1) | |---|---| | | 78f. à 3% *auf* 100? 2) | | | (à 3½%–) 8f. 68 cts. *im* Hundert? 3) | | ad 1.) 6 : 75 = 100 : x | ad 2) 3 : 78 = 103 : x | ad 3) 3½: 8,68 = 96½: x | |---|---|---| | x = 1250 Th. | x = 2678f. | x = 239,32 fcs. | * * * #### IV) Aufsuchung des Procentsatzes. Obgleich auch hier ein reines, vermehrtes od. vermindertes Kapital gegeben sein kann, so ist hier doch nur der *Procentsatz vom 100* aufzusuchen. Denn Procentsatz *vom* 100 wird nur dadurch Procentsatz *auf* od. *im* 100, daß er sich auf einen nach *demselben Procentsatz vermehrten* od. *verminderten Werth* bezieht. Also bleibt der Procentsatz überall derselbe, u. nur die Beschaffenheit des Kapitals ist es, die den Unterschied bewirkt. a) Wenn man an 175 Th. einen Gewinn od. Verlust von 7 Th. hat, wie viel Procent beträgt dieß? Das reine Kapital ist gegeben, also PCte vom 100. | 175 : 100 = 7 : x | |---| | x = 4%. | b) Wenn von 126 M.B. 12β abgezogen werden 24 M.B. 9β, wie viel PCt *auf* 100 beträgt dieß? Das *vermehrte* Kapital ist gegeben. Man fragt also: wieviel geben 100, wenn 102 M.B. 3β ⦗126 M.B. 12β ÷ 24.9⦘ geben 24 M.B. 9β? | 102 3/16: 100 = 24 9/16: x | |---| | x = 24%. | *Oder wenn in 182 Rth ein Gewinn von 7 Th.* steckt, wie viel Procent beträgt dieß: (182 ÷ 7) : 100 = 7 : x. und x = 4%. c) Wenn ein Kapital durch einen Verlust von 7 Th. auf 168 Th. reducirt ist, wie viel % beträgt der Verlust? *Vermindertes* Kapital gegeben. Procente im 100. | (168 + 7) : 100 = 7 : x | |---| | x = 4%. | Oft sind die Procente nicht geradezu gegeben, sondern müssen erst aus den gegebnen Werthen gefunden werden. Wenn statt 950 Thl. bezahlt werden 988 od. 912: wie viel Procent *mehr* od. *weniger* bezahlt? 950 : 100 = 38 ⦗= 988 – 950. (950 – 912)⦘ : x. x = 4%. Wenn man statt 3463 M.B. 1β nur 3186 M.B. 14β bezahlt, wie viel % *auf* 100 beträgt der Verlust? Abzug = 3463 M.B. 1 – 3186.14 = 276 M.B. 3β. Also: 3186⅞: 100 = 276 3/16: x. x = 8⅔%. Wieviel % im 100 beträgt es, wenn statt 1875f. berechnet werden 2000f? Die Verrechnung *im* 100 = 2000–1875 = 125f. Also: | 2000 : 100 = 125 : x. | |---| | x = 6¼%. | Manchmal wird statt von 100 von 1000 gerechnet ‰, besonders in der *Wechselcourtage* oder *Sensarie*. ##### Verwandlung eines Procentsatzes in den andern. Wie viel % *vom* 100 betragen 12% *auf* 100? 112 : 100 = 12 : x. x = 10 5/7%. Wieviel % *auf* 100 betragen 5% *vom* 100? 95 : 100 = 5 : x. | x = 5 5/19%. Wieviel % *vom* 100 betragen 4% *im* 100? 96 : 100 = 4 : x. | x = 4⅙%. Wie viel Pct *im* 100 betragen 4% *vom* 100? 104 : 100 = 4 : x | x = 3 11/13%. * * * #### Anwendung der Procentrechnung. ##### a) Gewinn- u. Verlustrechnung. α) Wie viel gewinnt od. verliert man an Waare, zu 15 Th. eingekauft, mit 6% Gewinn od. 6% Verlust verkauft? | 15 Th. reines Kapital. Procente *vom* 100. | 1% = 0,15 (100ste Theil von 15) 6% = 0,9 Thl. β) Wieviel beträgt der im Verkaufspreis von 15,9 Th. enthaltne Gewinn, à 6%? 15,9 = Vermehrtes Kapital. Procente auf 100. Also: 106 : 15,9 = 6 : x. x = 0,9 Thaler. γ) Wieviel der durch den Verkaufspreis von 14,1 Rth hervorgebrachte Verlust à 6%? 14,1 Th. = vermindertes Kapital, also Procente im 100. ∴ 94 : 14,1 = 6 : x | x = 0,9 Thl. ##### Beispiele. 1) Wie ist Waare mit 15 Th. gekauft mit 6% Gewinn od. Verlust zu verkaufen? | 15 Th = Reines Kapital. Also Vermehrung od. Verminderung auf % *vom* 100. | | |---|---| | 100 : 15 = 106 : x. | x = *15,9*. Oder: 6 : 0,9 = 106 : x = 15,9 Th. | | 100 : 15 = 94 : x | x = 14,1 Th. 6 : 0,9 = 94 : x. x = 14,1 Th. | 2) α) Wenn der an einem Verkauf gemachte Gewinn oder Verlust à 6% = 0,9 Th., wieviel beträgt der Einkauf? | Das Einkaufskapital ist *reines* Kapital. Also Procente *vom* 100. Der Ansatz ist in beiden Fällen derselbe. | |---| | 6 : 0,9 = 100 : x. x = 15 Th. | 2) β) Der Verkaufspreis ist 15,9 Th. u. enthält 6% Gewinn. Wie viel kostet die Waare im Einkauf? | 15,9 Th. *vermehrtes* Kapital, also % auf 100. | |---| | 106 : 15,9 = 100 : x. x = 15 Th. | 2) γ) Verkaufspreis, ca 6% Verlust, = 14,1 Th. Wie viel kostet die Waare im Einkauf? | 14,1 Th. *vermindertes* Kapital, also % *im* 100. | |---| | 94 : 14,1 = 100 : x. x = 15 Th. | 3) α) *Einkaufspreis* = 15 Th. Darauf Gewinn od. Verlust 0,9 Th. Wie viel Procent beträgt dieß? | Kapital in beiden Fällen 15 Th. reines Kapital, Procente *von* 100. | |---| | 15 : 100 = 0,9 : x. x = 6%. | β) *Verkaufspreis von 15,9 Th.* enthält Gewinn von 0,9. Wie viel % enthält derselbe? | 15,9 *vermehrtes* Kapital, also % auf 100. | |---| | 15,9 – 0,9 oder 15 : 100 = 0,9 : x. x = 6%. | γ) *Verkaufspreis von 14,1 Th.* enthält Verlust von 0,9 Th. Wie viel % beträgt derselbe? | 14,1 Th. vermindertes Kapital, also % im 100. | |---| | 14,1 + 0,9 = 15. 15 : 100 = 0,9 : x . x = 6%. | Man hätte auch für β) u. γ) sagen können. β) 15 : 100 = 15,9 : x. x = 106 Th. γ) 15 : 100 = 14,1 : x. x = 94 Th. Hier die % im Gesammtwerth versteckt. So viel mehr > 100% Gewinn etc. Um obige Fragen durch einfache Regel de Trisätze lösen zu können, müssen Einkaufs- u. Verkaufspreis in derselben Valuta (Geldwährung) bestimmt sein u. sich auf dieselbe Quantität beziehn. Wo nicht dieß der Fall, vorherige Reductionen nöthig. Oder Kettensatz anzuwenden. ##### Beispiel. 1 Ctr (à 100lb) kostet im Einkauf 30f. Man verkauft 1lb mit 24xr. | 1fl. = 60xr. | Wie viel % beträgt Gewinn od. Verlust? Erste Rechnungsart. Kostet 1 Ctr = 30f., so 1lb = 18xr. Man gewinnt also 6xr mit 18xr. Wie viel mit 100? 18 : 100 = 6 : x. x = 33⅓%. Zweite Rechnungsart. Verkauft man 1lb mit 24xr, so ein Ctr mit 40f. Man gewinnt also 10f. mit 30fc. Wie viel mit 100? 30 : 100 = 10 : x. x = 33⅓%. Dritte Rechenart durch Kettensatz. | x f. Verkauf = 100f. | Einkauf. | |---|---| | 30 = 100lb. | | | 1 = 24xr | Verkauf | | 60 = 1f. | | | Also x = (10000×24)/(600×3) = (100×24)/(6×3) = 400/3 = 133⅓ Verkauf. Die %33⅓ hier im Gesammtwerth versteckt. | | Unter obigen Voraussetzungen wird der *Einkaufspreis* eines Centners gesucht? | x f. Einkauf = 1 Ctr | | |---|---| | 1 Ctr = 100lb. | | | 1 = 24xr | | | 60 = 1f. | | | 133⅓ = 100f. Einkauf. | x = 30f. | Ein andrer Fall ist, wenn aus einem Verkaufspreis, wobei gewisse Procente Verlust od. Gewinn, ein Verkaufspreis mit gewissen Procenten Gewinn od. Verlust gesucht werden soll, oder aus einem, Gewinn od. Verlust schon einschliessenden Verkaufspreis ein solcher zu finden ist, welcher erhöhte Procente in sich faßt. Hier kann man entweder, wie früher gezeigt, zuerst den Einkaufspreis u. dann den Verkaufspreis nach Maßgabe der zu gewinnenden oder zu verliernden % suchen, Oder jeden dieser Fälle in *einem* Regel de Tri Satz berechnen, wie folgende Beispiele zeigen. *(Verte)* ##### Beispiele. 1) Waare verkauft zu 15 Th. mit Verlust von 10%. Wie zu verkaufen, um 5% zu gewinnen? 90 : 15 = 105 : x. x = 17½ Th. 2) Waare verkauft zu 17½ Th., wobei 5% Gewinn. Wie ist sie mit 10% Gewinn zu verkaufen? 105 : 17½ = 90 : x. x = 15 Th. 3) Waare verkauft zu 17½ Th mit 5% Gewinn. Wie zu 8% Gewinn zu verkaufen? 105 : 17½ = 108 : x. x = 18 Th. 4) Waare verkauft zu 15 Th. mit 10% Verlust. Wie zu verkaufen, wenn man 20% verlieren muß? 90 : 15 = 80 : x. x = 13⅓ Th. Um jedoch reinen Gewinn oder Verlust auf ein Geschäft berechnen zu können, Zinsen zu berechnen auf die Zeit, worin das Anlagekapital nicht benutzt werden kann. ##### b) Rabattrechnung. (Rabbattere ital.) Bedeutet eigentlich. Rabatt – einen Wiederabzug des vorher zu einem gewissen Betrag hinzugefügten. Im Allgemeinen aber Rabatt = jeden, meist procentweis berechneten Abzug, entweder als Vergütung für frühere Zahlung (*Discont*) od. als einen besondern oft nur scheinbaren Vortheil, der gewährt wird, oder Abzug den Käufer für Mangelhaftigkeit der Waare macht (*Decort*). Das Kapital, von welchem der Rabatt genommen werden soll, heißt das *rabattirende*; das von welchem er bereits genommen ist, das *rabattirte Kapital*. ##### Beispiele. aufgesuch Wie viel der Rabatt von 1207 Th. à 3% u. 6¼ *vom* u. *auf* 100? *Aufsuchung der Procente. Aufsuchung der Procente.* | [a)] 12,07 × 3 = 36,21 Th. | [b)] 103 : 1207 = 3 : x. x = 35 16/103 Th. | |---|---| | [c)] 1207 div. durch 16 = 75 7/16 Th. | [d)] 1207 div. durch 17 = 71 Th. | Wie viel betragen 1207 Th. nach Abzug obiger Rabattprocente? Aufsuchung des rabattirten Kapitals? | [a)] 1207 – 36,21 (= 3%) = 1170,79 Th. | [b)] 1207 – 75 7/16 (=  1/16 aus 1207) = 1131  9/16 Th. | |---|---| | [c)] 103 : 1207 = 100 : x. x = 1171 87/103 Th. | [d)] 1207 – 71 (=  1/17 aus 1207) = 1136 Th. | Von welchem Kapital rechnete man: 36,21 Th. à 3% und 75 7/16 Th. à 6¼% *vom* 100; 35 16/103 à 3% u. 71 Th. a 6¼% auf 100? Aufsuchung des zu rabattirenden Kapitals? | [a)] 3 : 36,21 = 100 : x. x = 1207 Th. 75 7/16 × 16 = 1207 Th. | |---| | [b)] 3 : 35 16/103 = 103 : x. x = 1207 Th. 71 × 17 = 1207 Th. | Die *Usanz Rabatten* sind reine Charlatanerie. Ob sie *vom* od. *auf* 100 berechnet, sie sind dem *Verkaufspreis* schon hinzugefügt. Z.B. Stück Waare mit dem gewöhnlichen Profit inclusive kostet 20 Th. Wie stellt Verkäufer den Preis, je nachdem er 5% Rabatt *auf* 100 od. *vom* 100 gewährt? | Wenn *auf 100:* | 100 : 105 = 20 : x; | Wenn *von 100:* | 95 : 100 = 20 : x | |---|---|---|---| | | x = 21 Th. | | x = 21 1/19 Th. | Im zweiten Fall erhält er statt des Verkaufspreises von 100 nur 95; statt 95 muß er 100 fordern. Im ersten Fall erhält er statt 105 nur 100; statt 100 muß er also 105 fordern. Wenn das Vieh nun ohne den Rabatt trick für 20 Th. 20 Th. forderte, wäre all the same. | 10 Stück à 20 Th. ohne Rabatt | | = 200 Th. | |---|---|---| | 10 St. à 21 Th. mit 5% Rabatt *auf* 100 | = 210. | | | Ab 5% =  1/21 des Betrags | = 10 | = 200 Th. | | 10 St. à 21 1/19 Th. mit 5% Rabatt *vom 100* | = 210 Th.  10/19 | | | ab 5% =  1/20 des Betrags | = 10 Th.  10/19 | = 200 Th. | Für den Verkäufer völlig gleich, ob er Waare *ohne* Rabatt, mit 5% *auf 100*, od. mit 5% *vom 100* verkauft, wenn er nur den Preis danach stellt. Usanzmässige Rabatte Humbug, wenn nicht Vergütungen für baare Zahlung. Hätte man hier vom Preis von 21 Th. p. Stück nach 5% *vom* 100 verkauft =  1/20 des Kapitals = 1 1/20 Th., so erhielte man für das Stück nur 19 19/20 Th., also  1/20 Verlust. Dieser Verlust bildet genau den Rabatt à 5% *vom* 100 auf den eigentlich zu bewilligenden Rabatt von 1 Th. (100 : 1 = 5 : x =  1/20 Th.) In der Praxis nicht immer so genau unterschieden, u. mancher Irrthum bei der Feststellung von Preisen mit Rabatt begangen. Der Rabatt, welchen die *Verlagsbuchhändler* dem Sortimentsbuchhändler auf den Laden- od. ordinären Preis geben, wird stets *vom* 100 gerechnet, u. ist die einzige Vergütung, die der Sortimentsbuchhändler für Unkosten, Zeit u. Mühe hat. Dieser Rabatt wird von 10–33⅓% berechnet. Der Preis eines Buches nach *Abzug des Rabatts* ist sein *Nettopreis*. Wie viel beträgt eine Buchhändlerrechnung von 432f. 48xr nach Abzug von 6¼% Rabatt? | 432f. 48xr. | |---| | ÷ 27. 3 =  1/16 aus dem Betrag | | 405f. 45xr | * * * ### Zinsrechnung. Berechnet auf 100, nach Procenten. Die Anzahl der Einheiten, die man auf 100 nimmt = *Zinsfuß*. *Einfache Zinsen*, wenn Zinsen vom Entlehner des Kapitals zu bestimmten Terminen gezahlt werden; er zahlt zu einer bestimmten Zeit das geliehne Kapital unverändert zurück. *Zusammengesezte Zinsen*, *Zinseszinsen*, *Zins vom Zins*, wenn Entlehner die fällig werdenden Zinsen zum Kapital schlägt, kapitalisirt, u. nun das *vermehrte Kapital* verzinst. Selten in kaufmännischer Rechnung. #### A) Einfache Zinsen. ##### I) Aufsuchung der Zinsen eines Kapitals. *Zinsfuß* versteht sich gewöhnlich auf *1 Jahr*, bei Discontgeschäften zuweilen für den *Monat*. Der Zeitraum aber, für welchen die Zinsen eines gegebnen Kapitals zu berechnen sind, läßt sich ausdrücken nach *Jahren*, Monaten, *Wochen*, *Tagen*. ##### a) Zinsen nach Jahren. Wenn Zinsfuß auf 1 Jahr berechnet u. die Zinsen eines gegebnen Kapitals für 1 Jahr zu berechnen sind, so kommt, die Zeit nicht in Betracht u. es handelt sich nur um Aufsuchung der Procente vom 100. Wäre der Zinsfuß ein monatlicher, so multiplicirt man ihn × 100, wodurch er auf einen jährlichen reducirt wird. Wie viel die jährlichen Zinsen von 834 Th. à 3%? | 100 : 834 = 3 : x. x = 25,02. | Oder: | 1% = 8,34 | |---|---|---| | | | 3 = 25,02 Th. | Sind die Zinsen für *mehrere Jahre* zu berechnen, so geschieht die Berechnung zunächst für 1 Jahr u. das erhaltene Resultat wird dann mit der *Anzahl der Jahre* multiplicirt. Oder man *multiplicirt den Zinsfuß mit der Anzahl der Jahre*; so ist 4½% in 2 J. = 4½× 2% = 9% in 1 J.; od. = 1% in 9 Jahren. ##### Beispiele. Wie viel betragen die Zinsen von 456 Rth à 3% in 7 J. | 4,56 = 1% in 1 J. | |---| | 3 × 4,56 = 13,68 = 3% in 1 J. | | 95,76 Th. = 3% in 7 J. | Zinsen von 945f. à 3⅓% in 4 J.? | 3⅓% =  1/30 des Kapitals. | |---| | 945/30 = 31f. 30xr = 3⅓% in 1 J. | | × 4 | | 126fl. = 3⅓% in 4 J. | Zins von 485 Fs. 50 cts. à 3½% in 4 J.? | 3½% in 4 J. = 14% in 1 J. | |---| | 4,855 = 1% | | × 14 | | 67,970 Fcs. = 67 Fcs. 97 cts. | Zins von 1326 M.B. 8β. à 5% in 2½ J.? | 5% in 2½ J. = 12½% in 1 J. | |---| | 12½% = ⅛ des Kapitals. | | (1326 M.B. 8β)/8 = 165 M.B. 13β. | Bestehn *Kapital*, *Zinsfuß u. Zeit* aus unbequemen Zahlen, so Regel Multiplex anzuwenden: Z.B. wie viel Zins von α) 819 Th. à 4⅔% in 1¾ J.? u. von β) 56f. à 6½% in ¾ J? | α) 100 : 819 = 4⅔% : x | β) 100 : 56 = 6½% : x | |---|---| | 1 : 1¾ | 1 : ¾ | | x = (819×14×7)/(100×3×4) = (7×273×7)/(100×2) = 66,885 Th. | x = 2,73f. | ##### b) Zinsen nach Monaten. Man rechnet nach Jahr; nimmt dann aus diesem Resultat denselben Theil, welchen die gegebnen Monate aus einem J. bilden. Oder Monate als Bruch vom Jahr betrachtet, Zinsfuß × mit diesem Bruch. | α) Zins von 964 Th. à 5% in 5 Mt? | β) Zinsen von 520 Th. à 3% in 4 M.? | |---|---| | 9,64 × 5 1 Pct p. Jahr. | 4 Mt. = ⅓ J. | | 48,20 = 5% in 1 J. | ⅓ × 3% = 1%. | | 16,066 = 5% in 4 Mt. (⅓ J.) | 1% von 520 Th.= 5,20 Th. | | 4,017 = 5% in 1 Mt. (¼à 4 Mt.) | | | 20,083 | | *Oder Regel Multiplex* anzuwenden. Zinsen von 429 Th. à 3½% in 19 Monaten? | 100 Th : 429 Th = 3½% : x | (Je mehr Kapital, desto mehr Zinsen. | |---|---| | 12 : 19 = | (Je mehr Zeit, desto mehr Zinsen | | x =23,77 Th. | | ##### c) Zinsen nach Wochen. früher (vor 1851) in Augsburg unter den Bankiers üblich. ##### d) Zinsen nach Tagen. Im kaufmännischen Verkehr Zinsen meist nach Tagen gerechnet. Dabei nimmt man 1 J. = 360 T., jeden Monat = 30 T. Selbst wenn man bei Ermittlung der Anzahl Tage, für welche die Zinsen zu berechnen sind, jeden Monat zu der Anzahl der Tage berechnet, die er wirklich hat, versteht sich doch der Zinsfuß immer für 360 T. *Ausnahmen: England, Englische Colonien, u. Amerika.* Hier versteht sich der Zinsfuß für 365 T. Man rechnet also auch jeden Monat zu der Anzahl der Tage, die er wirklich hat. Demnach ist für jeden Fall, wo die Zinsen nach Tagen zu berechnen sind, dreifache Lösung möglich, wie folgt für: Zins von 1832 Th. à 4% von 7 Feb. bis 11 Sept. 1855? | *α) Zinsfuß für 365 Tage* | *β) Zinsfuß für 360* T. | *γ) Zinsfuß für 360 Tage.* | |---|---|---| | *1 Mt. = so viel Tage als er hat.* | *1 Mt. = so viel Tage als er hat.* | *1 Mt.= 30 Tage.* | | 100 : 1832 Th. = 4% : x | 100 Th. : 1832 Th = 4% : x | 100 Th. : 1832 Th. = 4% : x | | 365 Tage : 216 T. = | 360 T. : 216 T. | 360 T. : 213 T. = | | x = 43 Th. 11 Sgr. | x = 43 Th. 29 Sgr. | x = 43 Th. 16 Sgr. 8 Pf | Der Wahrheit (!) kommt man am nächsten u. auch am bequemsten zu 360 T. = Jahr, u. Monat = 30 T. Wenn man den Hauptansatz | γ) 100 Kapital : gegebenen Kapital = Zinsfuß : x | |---| | 360 Tage : gegebne Tagen | mit dem Zinsfuß in 360 × 100 = 36,000 dividirt, so erhält man, da die meisten der im Handel gebräuchlichen Zinsfüsse ohne Rest in 36,000 enthalten sind, einen Quotienten, den man folgendermaassen zur Zinsenberechnung benutzt: *Man multiplicirt das Kapital mit den Tagen* und *dividirt* das *Produkt durch den Quotienten*, *den der Zinsfuß giebt*. Nämlich: x = (Gegebnes Kapital × mit gegebnen Tagen × mit Zinsfuß)/(100 (Kapital) × 360 Tage) = (Gegebnes Kap. × gegeb. Tage.) × mit Zinsfuß/36000 = (Geg. Kapit. × Gg. Tage)/36000/Zinsfuß . Diese als Divisoren zu benutzenden Quotienten sind z.B. für 1% = 36000/1 = 36000. für 4% = 36,000/4 = 9000. etc Z.B. Zinsen von *948 Th. à 4% in 148 Tagen*? (948×148)/9000 = 15 Th. 18 Sgr. ##### Berechnung von Zinsen mehrerer Kapitalien. *α) Gleicher Zinsfuß u. Gleiche Zeit:* Addirt die Kapitalien. Berechnet von der Summe in gewöhnlicher Weise. Zins von 960 Th, 430 Th., 500 Th. u. 1250 Th. in 9 Monaten à 4%? Summe der Kapit. = 3140 Th. à 9 Mt. à 4% = 94,2 Th. *β) Ungleicher Zinsfuß u. Gleiche Zeit:* Methode beruht auf dem Grundsatz, daß Zinsen von 100f. à 5% = Zins. von 500f. à 1%; Zinsen von 100f. in 4 Mt. = Zinsen von 400f. in 1 Mt, ferner Zinsen von 100f. à 4% in 3 J. = Zinsen von 4 × 3 × 100 fcs. in 1 J. Man multiplicirt daher jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, wodurch Kapitalien entstehn, die à 1% ausgeliehn sind, u. berechnet nun von deren Summe die Zinsen für die gegebne Zeit. Z.B. *Zinsen* von 920 Th. à 4%, 760 Th. à 3%, 184 Th. à 3½% in 1½ Jahren? | 920 Th. à 4% = 3680 Th. | od. 6604 Th. à 1% in 1½ J. x = (6604×1)/1/2 = 99,06 Th. Zinsen. | |---|---| | 760 à 3 = 2280 | | | 184 … 3½ = 644 | | *γ) Gleicher Zinsfuß u. Ungleiche Zeit:* Die gegebnen Zeiten *auf gleiche Benennung* zu bringen; hierauf multiplicirt man jedes Kapital mit der ihm zugehörigen Zeit, wodurch Kapitalien entstehn, von deren Summe die Zinsen für 1 Zeit, d.h. für 1 J., 1 Mt. u.s.w. zu berechnen sind. Z.B. Zinsen für 900f. in 7 Mt., 840f. in 6½ Mt., 650f. in ¾ J., u. 1245f. in 20 T. à 5%? | 900f. in | 7 Mt. = | 6300f. | in 1 Mt. | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 840 | 6 = | 5460 | | | | | | 650 | 9 = | 5850 | | | | | | 1245 | ⅔ = | 830 | | | | | | | | 18440 | | | in 1 Mt à 5%. | x = 76f. 50xr. | Nämlich: | 100 : 18440 = 5% : x | |---| | 12 M. : 1 | | x = (18440×5)/1200 = 18440/240 . | *δ) Ungleicher Zinsfuß u. Ungleiche Zeit.* Man bringt die Zeitbestimmungen auf gleiche Benennung, multiplicirt jedes Kapital × seiner Zeit u. seinem Zinsfuß, berechnet von der Summe der Produkte Zinsen à 1% für 1 Zeit. *Beispiel:* Wie viel beträgt *Zinssumme* von 490 Mc. Banco à 3% in 9 Mt, 860 à 4% in 1¼ J; 642 à 6% in 65 T.; 2000 à ⅜ pr. Ct. p. Mt in 10 Monaten? | 490 à 3% in | 9 Mt. = | 13,230 Mc. B. | à 1% in 1 Mt. | |---|---|---|---| | 860 à 4 | 15 = | 51,600 | | | 642 à 6 | 2⅙ = | 8346 | | | 2000 … 4½ | 10 = | 90000 | | | x = 163176/1200 = 135 Mc. Bco. 15β. | | | | ##### II) Aufsuchung des Kapitals. Bei Aufsuchung der *Zinsen eines Kapitals* kommen nur *direkte Verhältnisse* vor, bei *Aufsuchung von Kapital, Zinsfuß u. Zeit* dagegen *direkte* u. *indirekte*. *Kapital u. Zinsen* in direktem Verhältniß. (Je mehr Kapital desto mehr Zinsen) *Kapital u. Zinsfuß in indirektem Verhältniß* (Je grösser Zinsfuß, desto kleiner kann Kapital sein etc) *Kapital u. Zeit in indirektem Verhältniß* (Je grösser Zeitlänge, desto kleiner Kapital etc) ##### Beispiele. *Wie groß Kapital, dessen jährliche Zinsen à 5% 165 Th. betragen?:* 5 : 165 = 100 : x. x = 3300 Th. Oder da  165/5 = 33, so muß das Kapital = 33 × 100 = 3300 sein. Welches Kapital bedarf man, um à 5% dieselben Zinsen zu geben, welche 3200f. à 4% geben? 5 : 4 = 3200 : x; x = 2560f. Je grösser der Zinsfuß, desto kleiner das Kapital. Welches Kapital bringt in 4 J. dieselben Zinsen, wie 1680 M.B. in 3 J.? 4 J. : 3 = 1680 : x; x = 1260. Je mehr Zeit, desto weniger Kapital. Welches Kapital brachte in 4 Monaten, à 5%, 64f. Zinsen? | 4 Mt. : 12 M. = 100f. Cpt. : x | (Je weniger Zeit, desto *mehr* Kapital) | |---|---| | 5f. Zins : 64 fcs Z | (Je mehr Zinsen, desto mehr Kapital.) | | x = (1200×64)/20 = 60 × 64 = 3840fl. | | ##### III) Aufsuchung des Zinsfusses. Wenn *Zinsfuß* = x Zinsen, *die 100* in 1 J. od. 12 M. od. 360 (resp. 365) T. giebt, so bleibt die Frage bei Aufsuchung des Zinsfusses: x Zinsen geben 100 in 1 Jahr u.s.w.? wenn gegebnes Kapital in gegebner Zeit gewisse Zinsen giebt. Dann sind *alle Verhältnisse direkt*. Denn ist 100 *kleiner od. grösser* als das gegebne Kapital so giebt es *weniger* od. *mehr Zinsen*. Ist die *Zeit* (1 J. u.s.w.), die 100 aussteht > [bzw.] < als Zeit für welche das gegebne Kapital ausgeliehn ist, so giebt 100 *weniger*, *mehr* Zinsen. Betrachtet man den *Zinsfuß* aber als den *Maaßstab*, nach welchem ein Kapital für eine gewisse Zeit ausgeliehn war od. werden soll, so *sind die Verhältnisse indirekt*. Denn je grösser od. kleiner, im Vergleich zu 100, das gegebne Kapital, desto kleiner, grösser kann der Zinsfuß sein. Je grösser, kleiner, im Vergleich zu der zu 100 gehörigen Zeit, die Zeitlänge, für welche das gegebne Kapital ausgeliehn, desto kleiner, grösser Zinsfuß. Zu den *Zinsen steht jedoch der Zinsfuß* in *direktem Verhältniß*. Je mehr Zinsen, desto grösser, je weniger Zinsen, desto kleiner Zinsfuß. ##### Beispiele. Zu welchen Zinsen (x%) ist ein Kapital von 450 Th. ausgeliehn, dessen jährliche Zinsen 18 Th.? 450 : 100 = 18 : x. x = 4%. *Direkt:* Je kleiner Kapital (100) desto kleiner Zinsen. *Indirekt:* Je grösser Kapital (450), desto kleiner Zinsen. Zu welchem Zinsfuß muß ein Kapital ausgeliehn werden, das in 9 Mt. dieselben Zinsen geben soll, die es in 1¼ J. zu 3% gegeben hat? 9 Mt. : 15 = 3% : x. x = 5%. *Indirekt:* Je weniger Zeit, desto grösser Zinsfuß. Zu wie viel % müssen 960f. ausgeliehn werden, wenn sie in derselben Zeit die Zinsen geben sollen, wie 840f. à 6%? 960 : 840 = 6 : x. x = 5¼%. *Indirekt:* Je grösser Kapital, desto kleiner Zinsfuß. Zu wie viel % ist ein Kapital ausgeliehn, das 120 Th. Zinsen bringt, während es früher à 5%, 133⅓ Th. Zinsen gab? 133⅓ : 120 = 5 : x. x = 4½%. *Direkt:* Je weniger Zinsen, desto kleiner Zinsfuß. Wenn man in 4½ J. von 850f. Kapital 153f. Zinsen erhoben hat, zu welchem Zinsfuß war dieß Kapital ausgeliehn? | 850 : 100 = 153 : x | |---| | 4½ J. : 1 | | x = 4% | Wenn von 450 Th. in 1½ J. dieselben Zinsen erhoben werden, das Kapital von 765 Th. in 9 Monaten à 6% gab, zu wie viel % erstres Kapital ausgeliehn? | 450 : 765 = 6 : x | *Indirekt* Je kleiner Kapital, desto grösser *kann* Zinsfuß sein | |---|---| | 18 : 9 | Mt *Indirekt*. Je mehr Zeit, desto kleiner *muß* Zinsfuß sein. | | x = 5,1%. | | ##### IV) Aufsuchung der Zeit. *Zeit steht zu Zinsen in direktem Verhältniß:* Je mehr\weniger Zinsen desto mehr\weniger Zeit. *Zeit steht zu Kapital in indirektem Verhältniß:* Je grösser Kapital, desto weniger Zeit u. vice versa. *Zeit steht zu Zinsfuß in indirektem Verhältniß:* Je grösser Zinsfuß, desto weniger Zeit u. vice versa. ##### Beispiele. Wie lang stand ein Kapital aus, das 54 Th. Zinsen gab, wenn gleich grosses andres Kapital in 3¼ J. 52 Th. Zinsen brachte? *Direkt:* Je mehr Zinsen, desto mehr Zeit. 52 Th. : 54 Th. = 3¼ J. : x. x = 3⅜ J. Welcher Zeitlänge bedarf man, um bei gleichem Zinsfuß mit 364f. Kapital so viel Zinsen zu gewinnen, als mit 390f. in 9⅓ Monaten?: 364 : 390 = 9⅓ Mt : x. x = 10 Mt. *Indirekt:* Je weniger Kapital, desto mehr Zeit. Wie viel J. müssen 1000 M.B. ausstehn, um à 4% ebenso viel Zinsen zu geben, als sie à 4½% in 2 J. 8 Mt. gebracht haben? 4% : 4½% = 32 Mt : x. x = 36 Mt. od. 3 J. *Indirekt:* Je kleiner Zinsfuß, desto mehr Zeit. Wie lange haben 2650 Th. ausgestanden, wenn Zinsen davon à 4½% 397 Th. 15 Sgr. betragen? | 2650 Th : 100 Th. = 1 J. : x | *Indirekt:* Je mehr Kapital, desto weniger Zeit. | |---|---| | 4½%: 397½ | Direkt: Je mehr Zinsen, desto mehr Zeit. | | x = 3⅓ J. | | Wie lange müssen 1960 Th. ausstehn, eh sie à 3% dieselben Zinsen bringen, wie 1260 à 3½% in 9⅓ Mtn? | 1960f. : 1260f. = 9⅓ Mt. : x | *Indirekt:* Je mehr Kapital, desto weniger Zeit. | |---|---| | 3% : 3½% | *Indirekt:* Je kleiner der Zinsfuß, desto mehr Zeit | | x = 7 Mt. | | Ein Kapital von 1780 Mark Banco gab in 225 T. 44 M.B. 8β Zinsen. Wie lange müssen 1125 M.B. ausstehn, um 36½ M.B. Zinsen zu geben? | 1125 M. : 1780 M. = 225 T. : x | *Indirekt:* Je weniger Kapital, desto mehr Zeit. | |---|---| | 44½ Zins : 36½ | *Direkt* Je weniger Zinsen, desto weniger Zeit. | | x = 292 Tage. | | ##### V) Aufsuchung eines um die Zinsen vermehrten Kapitals. Man kann diese Aufgabe nicht in einem Satz, aber auf doppeltem Weg lösen. 1) Was betragen 1260 Th. in 6½ Mt. an Kapital u. Zinsen à 4%? α) Man berechnet erst Zinsen auf 100. 12 Mt. : 6½ Mt = 4 : x. x = 2⅙. %. Das Kapital also in 6½ Monat = 102⅙ u. nun: 100 : 1260 = 102⅙ : x. x = *1287,3*. β) *Oder* man sucht erst die Zinsen von 1260 Th. in 6½ M. = 4%. Man findet 27,3 Th. Zinsen. Zum Kapital addirt = 1287,3. 2) Welchen Werth haben, nach 186 Tagen, 980f. Kapital à 5% an Kapital u. Zinsen? | α) 360 : 186 | = 5 : x | |---|---| | x | = 2 7/12 | | | + 100 | | | = 102 7/12 | Dieß 100 + Zins à 5% in 186 Tagen. | b) 100 : 980 = 102 7/12 : x | |---| | x = 1005f. 19xr. | Daraus folgt umgekehrt, daß 1005f. 19xr *nach* 186 Tagen fällig, einen jetzigen *baaren Werth* haben von 980f., ein Schluß, der der Discontorechnung zu Grund liegt. ##### VI) Aufsuchung der Zinsen oder des Kapitals, welche in einem, Kapital u. Zinsen darstellenden, Werth enthalten sind. Nach 7 Mt. erhält man an Kapital u. Zinsen für ein à 5% ausgeliehnes Kapital 967 Th. 12 Gr. 5 Pf. Wie viel betragen die in dieser Summe enthaltnen Zinsen? | 12 Mt. : 7 M. = 5% : x | |---| | x = 2 11/12% | | 102 11/12 Th. : 967. 5/12 Th. = 2 11/12 : x | | x = 27 5/12 Th. Also das ursprüngliche Kapital = 940. | | Oder soll das *ursprüngliche Kapital* von vorn herein gefunden werden, so: 102 11/12 Th. : 967 5/12 Th. = 100 : x. x = 940. | * * * ##### VII) Aufsuchung eines mittleren Zinsfusses für mehrere Kapitalien. ##### a) Gleiche Kapitalien u. gleiche Zeiten. *Man addirt die verschiednen Zinsfüsse u. dividirt ihre Summe durch die Anzahl der Kapitalien.* Welches ist der mittlere Zinsfuß von 4 gleichen Kapitalien zu 3, 3½, 4 od. 5%? x = (3+3,5+4+5)/4 = 15,5/4 = 3⅞%. ##### b) Ungleiche Kapitalien u. gleiche Zeiten. *Jedes Kapital ist hier mit dem ihm zugehörigen Zinsfuß zu multipliciren, u. die Summe dieser Producte durch die Summe der Kapitalien zu dividiren.* Der Quotient = mittlere Zinsfuß. Welches ist der mittlere Zinsfuß folgender auf 3 Monate ausgeliehner Kapitalien: 2000 Th. à 3%, 4000 Th à 4%, 6000 à 4⅓% u. 1500 Th. à 6%? | 2000 × 3 = | 6000 | | | |---|---|---|---| | 4000 × 4 = | 16,000 | | | | 6000 × 4⅓ = | 26,000 | | | | 1500 × 6 = | 9000 | | | | 13,500 in | 57,000 = | | 4 2/9%. | Probe. | 2000 à 3% in | 3 Mt.= | 15 Th. | |---|---|---| | 4000 à 4% | 3 do | 40 | | 6000 à 4⅓ | 3 do | 65 | | 1500 à 6 | 3 do | 22. 15 Sg. | | | | 142½ Th. | Aber 13,500 zum mittleren Zinsfuß von 4 2/9% = 142½ Th. Der Grund dieses Verfahrens: Multiplicirt man jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, so verwandelt man dadurch sämmtliche Beträge in Kapitalien gelegt à 1%, u. es kommt die Verschiedenheit der Zinsfüsse nicht mehr in Betracht. Da nun aber der Zinsfuß nicht für die Summe der Producte, sondern für die Summe der Kapitalien gefunden werden soll, so hat man folgenden Regel de Trisatz zu bilden: Summe der Kap. : Summe der Producte = 1% : x, oder da 1 nicht multiplicirt, x = (Summe d. Producte)/(Summe d. Kapitalien) . (da: Je kleiner das Kapital, desto grösser der Zinsfuß.) ##### c) Gleiche Kapitalien u. Ungleiche Zeiten. Erst macht man die Zeiten gleichnamig, wenn sie es nicht schon sind. Dann multiplicirt man den Zinsfuß jeden Kapitals mit der ihm zugehörigen Zeit, u. dividirt die Summe der Producte durch die Summe der Zeiten. Von 4 gleichen Kapitalien ist A auf 6 Mt. à 4%, B auf 5 Mt. à 3%, C auf 4 Mt. à 4½% u. D auf ¼ J. à 5% ausgeliehn. Welches ist *der mittlere Zinsfuß dieser Kapitalien?* ¼ J. = 3 Mt. Also D auf 3 Mt. à 5%. | 6 Mt. à | 4% = | 1 Mt. à | 24% | * 72/18 = 4% mittlerer Zinsfuß* | |---|---|---|---|---| | 5 | 3 = | 1 | 15 | | | 4 | 4½ = | 1 | 18 | | | 3 | 5 | 1 | 15 | | | 18 M. | | | 72 | | Probe Jedes der 4 gleichen Capitalien sei = 600 | 600 Th à 4% in | 6 Monaten | = 12 Th. Zinsen. | |---|---|---| | 600 à 3 | 5 | = 7,5 | | 600 à 4½ | 4 | = 9 | | 600 à 5 | 3 | = 7,5. | | | | 36 Th. Zinsen. | ⦗Nehmen wir die Summe der Monate = *18* u. dividiren sie durch die Anzahl der verschiednen Zeiten, = 4, so Durchschnitt =  18/4 = 4½ Mt. In dieser Durchschnittsumlaufzeit bringt die Summe der Kapitalien = 600 × 4 = 2400 à 4%, 36 Th.⦘ Die Probe ist anders; daß jedes einzelne Kapital für seine Umlaufszeit zum mittleren Zinsfuß berechnet wird. Es zeigt sich dann: | 600 Th. in | 6 Mt. | = 12 Th. Zinsen | |---|---|---| | 600 | 5 | = 10 | | 600 | 4 | = 8 | | 600 | 3 | = 6 | | 2400 | | = 36. | * * * ##### d) Ungleiche Kapitalien, Ungleiche Zeiten. Da in diesem case, neben dem *durchschnittlichen Zinsfuß* eine *mittlere Verfallzeit* aufzufinden ist, gehört dieß in die später kommende *Terminrechnung* (Sieh p. [132–134)] #### B) Berechnung Zusammengesezter Zinsen. Es *verdoppelt* sich ein Kapital mit Zinseszinsen zu 3% in 23,45 J., zu 4% in 17,673 J.; es *verdreifacht* sich in 37,161 J.; 28,011 J. u.s.w. Die Arithmetik liefert hier nur weniger u. schwerfällig. Die complicirtren Aufgaben nur durch Anwendung der Logarithmen zu lösen. ##### Beispiele. A) Wie groß wird ein Kapital von 850 Th., bei jährlicher Zinseszuschreibung mit Zinseszinsen a 5% nach 5 J.? | *1) Durch die Kettenregel.* | | | *2) Durch Regel de Tri* | | | |---|---|---|---|---|---| | 1 Th. | = 850 Th. Kapital. | | 100 : 850 | = 105 : x | x = 892,5 Ende des 1 J. | | 100 | = 105 nach dem | 1. J. | 100 : 892,5 | = 105 : x | x = 937,125 Ende des 2 J. | | 100 | = 105 | 2 J. | 100 : 937,125 | = 105 : x | x = 983,9813 Ende des 3 J. | | 100 | = 105 | 3 J. | 100 : 983,9813 | = 105 : x | x = 1033,1804 Ende des 4 J. | | 100 | 105 | 4 J. | 100 : 1033,1804 | = 105 : x | x = 1084,8394 Ende des 5 J. | | 100 | 105 | 5 J | | | | | x = 1084,8393 Th | | | | | | Wäre die Zinsenzuschreibung *halbjährlich* erfolgt: so: | | x Th | = 850 Th. | | |---|---|---|---| | 1) | 100 | = 102,5 nach | 1 Halbjahr | | 2) | 100 | = 102,5 | 2 | | 3) | 100 | = 102,5 | 3 | | 4) | 100 | = 102,5 | 4 | | 5) | 100 | = 102,5 | 5 | | 6) | 100 | = 102,5 | 6 | | 7) | 100 | = 102,5 | 7 | | 8) | 100 | = 102,5 | 8 | | 9) | 100 | = 102,5 | 9 | | 10) | 100 | = 102,5 | 10 | | x = 1088,0718. | | | | *Zweites Beispiel* (umgekehrt) Wie groß war das Stammkapital, das nach 5 J. mit jährlicher Zinszuschreibung von 5%, auf 1084,8394 Th. angewachsen ist? | *1) Kettenregel.* | | *2) Regel de Tri.* | | | |---|---|---|---|---| | x Th. | = 1084,8394 Th. | 105 : 1084,8393 | = 100 : x. | x = 1033,1803. | | 105 | = 100 | 105 : 1033,1803 | = 100 : x. | x = 983,9812. | | 105 | = 100 | 105 : 983,9812 | = 100 : x | x = 937,125. | | 105 | = 100 | 105 : 937,125 | = 100 : x | x = 892,5 | | 105 | = 100 | 105 : 892,5 | = 100 : x. | x = 850 Th. | | 105 | = 100 | | | | | x = 850 Th | | | | | * * * ### Discontrechnung. Bei Verkäufen auf Zeit od. Credit, Trassiren auf lange Sicht u.s.w. hat der Schuldner die Bezahlung eines gewissen Betrags zu einer bestimmten Zeit zu leisten, ohne denselben bis dahin verzinsen zu müssen. Der Gläubiger schlägt die Zinsen, die er von seinem Kapital geniessen würde, in diesem Fall, wenn er es selbst benutzen könnte, zu diesem Kapital. Der *Schuldbetrag* also = *Kapital + Zinsen für die gegebne Zeit*. Trägt der Schuldner, im Einverständniß mit Gläubiger, seine Schuld *vor der Verfallszeit* ab, so die *Zinsen abzuziehn für die Zeitlänge*, um welche *früher* seine Verbindlichkeit erfüllt. Dieser *Nachlaß* od. *Abzug vom Schuldbetrag* = *Discont*. Das Bezahlen einer Schuld vor Verfallzeit, unter Abzug von Discont heißt *Diskontiren*. *Diskontgeschäft:* Wechsel, später fällig, gekauft unter Abzug des Diskonts für die Zeit, welche sie bis zum Diskont noch zu laufen haben. Das zu *discontirende Kapital* ist kein *reiner*, sondern ein *vermehrter Werth*. Daher die Abrechnung der in demselben enthaltnen Zinsen nicht nach *Procentsatz von*, sondern *auf 100* zu erfolgen. Bei Abrechnung nach Procenten *auf* 100 bringt die baare Zahlung, wenn sofort zu demselben Zinsfuß wieder angelegt, ebenso viel Zinsen als der durch das Diskontiren erfolgte Abzug beträgt. Z.B. 2060 Th. in 1 J. fällig, sollen mit 3% diskontirt werden. So: 103 : 2060 = 3 : x. x = 60 u. 2060 – 60 = 2000. Diese Summe zu 3% sofort wieder zinsbar angelegt, giebt 100 : 200 = 3 : x. x =  6000/100 = 60 Th. – Würde dagegen der Diskont *vom* 100 berechnet, so hätte man: 100 : 2060 = 3 : x. x =  6180/100 = 61,8. Die baare Zahlung wäre 2000 – 61,8 = 1998,2 Th., welche, zu 3% angelegt, nur 59,946 Th. Zinsen giebt, Verlust für Empfänger von 1,854 Th., den er nur dadurch ausgleichen könnte, daß er die erhaltene Summe zu *höherem* Zinsfuß, etwas 3 1/10% wieder ausliehe. Obgleich durch die letztre Art den Diskont zu berechnen, Empfang im Nachtheil, doch *kaufmännischer* usus. Theils Rechnung bequemer, theils der Unterschied in kaufmännischen Geschäften nur selten von Bedeutung, denn Zeitraum, wofür diskontirt wird, meist kurz. Anders aber in Beziehung auf Discontgeschäft mit Nichtkaufleuten. Erwerbung von Grundstücken u.s.w. #### A) Einfacher Diskont. ##### I) Einfacher Discont auf 100. ##### 1) Aufsuchung des Diskont. Wieviel beträgt der Diskont von 1200 Th, am 24. Sept. fällig, u. am 12. Juli mit 4% diskontirt? Von 12. Juli – 24. Sept., Monat zu 30 T. = 72 T. Man berechnet d’abord, wie viel Zinsen geben 100 in 72 T. à 4%? *360 : 72 = 4 : x.* | *x = ⅘ P.Ct.* Kapital von 100 also in 72 T. werth, à 4% Th. 100⅘. Umgekehrt sind 100⅘ in 72 Tagen fällig = 100 baar, od. geben einen Diskont von ⅘%. Wieviel beträgt der Diskont von 1200? | *100⅘ : 1200 = ⅘: x.* | x = 9 11/21 Th = 9 Th. 15 Sgr. 7 Pf. Richtiger ist es aber, u. auch gewöhnlicher, bei Discont *auf* 100 das Jahr zu 365 T. zu rechnen, sowohl für Zinsfuß als Zeit, welche das Kapital noch zu laufen hat. Dann 12 Juli – 24 Sept. = 74 Tage, und: 365 : 74 = 4 : x. x =  296/365%. und daher: 100 296/365 : 1200 =  296/365: x. x = 9 6009/9199 = 9. Th. 19 Sgr. 6 Pf. Auch das *diskontirte* Kapital kann zur *Auffindung des Diskonts* gegeben sein. Dann: Wie viel der Diskont, wenn ein à 72 Tage à 4% diskontirtes Kapital mit 1190 10/21 bezahlt wird? Der baare Werth 100 giebt ⅘ Discont; wie viel geben 1190 10/21? | 100 : 1190 10/21 = ⅘ : x. x = 9 11/21 Th. ##### 2) Aufsuchung des diskontirten Kapitals. Hier kann neben *Zinsfuß* u. *Zeit*, entweder das *zu diskontirende Kapital* oder *der Diskont gegeben* sein. Man berechnet wie oben die Zinsen von 100 Kapital in 72 Tagen à 4% = ⅘. Wenn 100 +⅘, nach 72 Tagen fällig, = 100 baar, was ist Baarwerth von 1200 Th., nach 72 Tagen fällig? 100⅘ : 1200 = 100 : x. x = 1190 10/21 Th. Wie viel wurde für ein à 4% *discontirtes Kapital* gezahlt, wenn der Discont für 72 Tage 9 11/21 Th. betrug? ⅘ : 9 11/21 = 100 : x. x = 1190 10/21 Th. ##### 3) Aufsuchung des zu diskontirenden Kapitals. Hier kann, neben *Zinsfuß* u. *Zeit*, entweder das *diskontirte Kapital* od. der *Diskont* gegeben sein. Wie groß ist das Kapital, welches nach Abzug von 4% Discont für 72 T., 1190 10/21 Th. übrig gelassen hat? Zunächst Zinsen von 100 in 72 T. à 4% zu berechnen. = ⅘%. Dann: 100 : 1190 10/21 = 100⅘ : x. x = 1200 Th. Wie groß ist das Kapital, das für 72 T. à 4% mit 9 11/21 Th. diskontirt worden ist? 100 = ⅘ Zinsen. Also: ⅘: 9 11/21 = 100⅘ : x. x = 1200 Th. Als ein *diskontirtes Kapital* ist der *Baarpreis* einer Waare dann anzusehn, wenn er dem Preis derselben Waare *auf Zeit* entgegengesetzt wird u. die Ermittlung des letztern aus dem ersten entspricht der Ermittlung des zu discontirenden Kapitals aus dem diskontirten Kapital. Ist also z.B. der Baarpreis einer Waare = 16 Th., so sollte derselbe für 3 Mt. Credit, wenn der Verkäufer sich 5% Zinsen rechnet sein: 100 : 16 = 101¼ : x. x = 16,2 Th. Die Waare könnte zu diesem Preis auf 3 Monate od. baar mit 5% Discont pr J. verkauft werden, der Discont müßte dann aber *auf* 100 berechnet sein. Da aber im kaufmännischen Verkehr der Discont stets *vom* 100 berechnet wird, so später anzugebender Weg zur Ermittlung dieses Preises. ##### 4) Aufsuchung des Zinsfusses. Wie viel % beträgt der Diskont, wenn 1200 Th. für 72 Tage mit 9 11/21 Th. diskontirt worden sind? Sowohl *Zinsfuß* als *Zeit* verstehn sich immer für 100 Reinwerth, welcher noch keine Veränderung nach gewissen % erlitten hat. Das gegebne zu discontirende Kapital, weil es die % für gewisse Zeit einschließt, ist daher *nicht proportional* zu 100, u. wird es erst, wenn man es von dem in ihm enthaltnen Diskont befreit hat. | (1200 Th ÷ (minus) 9 11/12 Th.) : 100 Th. Kapital = 9 11/21 Th. Discont : x | |---| | 72 Tage : 360 | | x = 4% | Lautete die Frage: Wie viel beträgt der Diskont, wenn nach Abzug von 9 11/12 Th. Discont für 72 Tage, 1190 10/21 Th. bezahlt worden sind, so bedürfte es natürlich keiner Abrechnung des Disconts. ##### 5) Aufsuchung der Zeit. Wie lange hat ein Kapital von 1200 noch zu laufen, welches à 4% mit 9 11/12 Th. discontirt wurde? | (1200 Th ÷ 9 11/12 Th) : 100 Th. Kp. = 360 Tage : x T. | |---| | 4 Th. Discont : 9 11/21 Th. Discont. | | x = 72 Tage | * * * ##### II) Einfacher Discont von 100. ##### 1) Aufsuchung des Diskont. *Wieviel beträgt discont von 1200 Th.* pr. *72 T. à 4%*? D’abord zu sehn wie viel 100 in 72 J. à 4% giebt: 360 : 72 = 4 : x. x = ⅘. Dann: *100 : 1200 = ⅘: x.* x = 9,6 Th. Die Berechnung des Disconts *vom* 100 (wie auch für jeden der folgenden Fälle) stimmt mit der Berechnung der Zinsen vollkommen überein. Durch das Discontiren nach Discontfuß *vom* 100 erleidet der Empfänger der Baarzahlung stets grösseren Abzug als nach demselben Discontfuß *auf* 100. Es kann auch hier zur Aufsuchung des Disconts das *diskontirte* Kapital gegeben sein. Z.B. Wieviel der Discont, wenn Kapital, für 72 T. à 4% discontirt, Baarwerth von 1190,4 Th. hat? Zinsen von 100 in 72 Tagen = ⅘ (à 4%). Hence Baarwerth von 100 vor Verfall der 72 Tage = 100 – ⅘ = 99⅕. u. *99⅕ : 1190,4 Th. = ⅘ : x; x = 9,6 Th.* ##### 2) Aufsuchung des diskontirten Kapitals. *Dazu kann neben* **Zeit** *u. Zinsfuß das diskontirte Kapital gegeben sein.* a) *Wieviel 1200 Th. nach 4% Discontabzug pr 72 Tage?* Man berechnet erst den Discontabzug = 9,6 Th. Dann 1200 Th – 9,6 Th = 1190,4 Th. Oder man ziehe den Discont für 100 in 72 T. = ⅘ von 100 ab = 99⅕. Dann: 100 : 1200 = 99⅕ : x. x = 1190,4 Th. b) *Wie viel betrug,* *das diskontirte Kapital, wenn* der à *4% pr. 72* Tage *berechnete Diskont* = 9,6 Th.? *⅘ : 9,6 = 99⅕ : x.* x = *1190*,4 Th. *Formeln zur Vereinfachung der Rechnung:* *Baarwerth von 800* Th. sei nach *41 Tagen fällig*, bei Discont von 4% *auf* od. *von* 100. Nach 360 : 41 = 4% : x, Zinsen in 41 Tagen =  41/90 u. daher: α) *Discont auf 100:* α) 100 41/90 : 800 = 100 : x *od.* 9041 : 800 = 9000 : x β) *Discont von 100:* β) 100 : 800 = 99 49/90: x *od.* 9000 : 800 = 8959 : x Daher folgt: α) das nach einem Discontsatz *auf* 100 zu vermindernde Kapital findet man, wenn man es mit dem zum Discontfuß gehörigen Divisor multiplicirt, u. durch denselben aber um die gegebne Anzahl der Tage vermehrten Divisor dividirt. β) Das nach Discontfuß *von* 100 zu vermindernde Kapital, wenn man es mit dem um die Anzahl der Tage verminderten Divisor multiplicirt u. durch den Divisor dividirt. ##### 3) Aufsuchung des zu diskontirenden Kapitals. Ausser *Zinsfuß* u. *Zeit* kann hier α) *Discont*, od. β) *discontirtes Kapital* gegeben sein. α) *Wie groß Kapital, diskontirt* à 4%, mit *9,6 Th.* für 72 Tage? | 4 Th. Discont : 9,6 Th. Discont = 100 Th. Kapital : x | |---| | 72 Tage : 360 Tage | | x = 1200 Th. | β) *Wie groß Kapital, welches nach Abzug von 4% Discont für 72 Tage 1190,4 Th. übrig läßt?* Discont von 100 Th. für 72 Tage à 4% = ⅘ Th; 100 – ⅘ = 99⅕. und: 99⅕ : 1190,4 = 100 : 1200. *Discontirter Werth*, wie bemerkt, entspricht dem *Baarpreis* einer Waare, ein *zu discontirender Werth* dem *Preise einer auf Zeit od. Credit zu verkaufenden* Waare. Nach dem Kaufmannsusus auch im Waarenhandel der Diskont nach dem Fuß *vom* 100 berechnet. Also Frage: *Wie ist aus dem Preis einer gegen baar zu verkaufenden Waare der Preis derselben Waare auf Zeit zu bestimmen*? Z.B. Welches der Preis einer Waare Ziel 3 Mt. mit 5% Disct., wenn sie pr. Casse mit 16 Th. verkauft wird? Auf 3 Mt. 5% =  5/4% = 1¼%; 100 T. in 3 Monaten also baar werth = 100 – 1¼ = 98¾ baar. Für 16 Th. baar hat man also, Ziel 3 Mt. zu fordern: 98¾: 16 = 100 : x; x = 16 16/79 Th. zu fordern. Erbietet sich nun der Käufer, dem die Waare mit 16 16/79 Th. Ziel 3 Mt. od. pr Kasse mit 5% Discont notirt wird, sofort beim Kaufe der Waare zur Baarzahlung, so erhält der Verkäufer in der That 16 Th. baar, denn 5% auf 16, 16/79 Th. für 3 Mt. =  16/79 Th. Macht er aber erst später, z.B. ein Monat vor Verfall, von der Baarzahlung Gebrauch, so Verkäufer beschissen. Discont auf 16 16/79 Th. pr 1 Mt. à 5% giebt  16/237 Th. – Er erhält also 16 16/237 Th. Diese an Zinsen für 1 Mt. à 5% geben nur  239/3555 Th. statt  240/3555 od.  16/237, die er als Discont zu gewähren hatte. ##### 4) Aufsuchung des Zinsfusses. Welches ist Zinsfuß, wozu 1200 Th. p. 72 Tage mit 9,6 Th. diskontirt worden? | 1200 Th. : 100 Th = 9,6 Th Discont : x | |---| | 72 : 360 Tagen | | x = 4% | ##### 5) Aufsuchung der Zeit. Für wie viel Tage wurde Kapital von 1200 Th. diskontirt, wenn 9,6 Th. Discont à 4% gerechnet wurden? | 1200 Th. : 100 = 360 Tage : x | |---| | 4 Dst : 9,6 D. = | | x = 72 Tage. | #### B) Zusammengesetzter Discont. | 1) Welchen Werth hat am 6. Mai 1855 Forderung von 2000 Th, fällig am 6 August 1857, mit 4% Discont vom Discont? | α) Discont auf 100. | | β) Discont vom 100. | | |---|---|---|---|---| | | x Kapital | = 2000 Th. Kp. | x Th. Kapital | = 2000 Th. K. | | | 104 | = 100 (1. Jahr) | 100 | = 96 für 1 J. | | | 104 | = 100 (2 J.) | 100 | = 96 2 J. | | | 101 | = 100 (3 Mt.) | 100 | = 99 3 M. | | | x = 1830,804 Th. (x für erstes Glied: *104 : 100 = 2000 : x*) | | x = 1824,788 Th. (x für erstes Glied: 100 : 96 = 2000 : x) | | 2) Staatsschuld von 20 Mill. Th. soll jährlich um 1% so getilgt werden, daß sich dieß eine Procent immer auf den nach erfolgter Tilgung übrigbleibenden Kapitalbetrag bezieht. Auf welchen Betrag die Schuld reducirt nach 5 Jahren? *Procente vom 100.* | x Th Kapt. | = 20.000000 Th. | |---|---| | 100 | = 99 | | 100 | = 99 | | 100 | = 99 | | 100 | = 99 | | 100 | = 99 | | x = 19,019800,998 Th. | | ### Terminrechnung. (Reductionsrechnung, Zeitrechnung) Es ist für *mehrere zu verschiednen Zeiten fällige Kapitale, eine mittlere, gemeinschaftliche od. Durchschnittsverfallzeit* zu finden, zu welcher, ohne Nachtheil für Gläubiger u. Schuldner, die Zahlung dieser Kapitalien *auf einmal* geleistet werden kann. Dabei zu unterscheiden: I) *Die Kapitalien sind unverzinslich.* II) *Sie sind bis zu ihrer Rückzahlung zu verzinsen, wobei die Zinsfüsse gleich od. ungleich sein können.* #### I) Unverzinsliche Kapitalien. ##### 1) Die Kapitale sind gleich. Welches ist die gemeinschaftliche Verfallzeit für 6 gleiche Kapitalien von je 900 Th., resp. zahlbar in 4, 5, 7, 9, 10, 14 Monaten? *Man addire die verschiednen Zeiten* u. *dividire die Summe* *durch die Anzahl der Kapitalien*. (4+5+7+9+10+14)/6 =  49/6 = 8⅙ Mt. *gemeinschaftliche Verfallzeit*. α) Die *Zinsen von der Summe der Kapitalien in der gemeinschaftlichen Verfallzeit* – dieß beweist die Richtigkeit der Operation, sind = der *Zinsbetrag* der *Kapitalien in den verschiednen Zeiträumen*. Z.B. *Zinsfuß sei* = 4%. | 900 Th. in | 4 Mt. | = 12 Th. | |---|---|---| | 900 | 5 | = 15 | | 900 | 7 | = 21 | | 900 | 9 | = 27 | | 900 | 10 | = 30 | | 900 | 14 | = 42 | | *Summe der Zinsen* | | = 147 Th. | u. ebenso *5400 Th. in 8⅙ Mt. à 4%* = 147 Th. Zin. Da: | 100 : 5400 = 4 : x | |---| | 12 : 8⅙ | | x = (5400×(8+(1/6))×4)/1200 = (5400×(8+(1/6)))/300 | β) Vier Tratten, jede von 1800f., am 7 April ausgestellt, 14 Tage, 1 Mt., 7 Wochen dato u. pr. Ende *Juni*, sollen unter eine gemeinschaftliche Verfallzeit gebracht werden. Zuvörderst die *Verfallzeit jeder Tratte zu ermitteln*. Die erste fällig am 21 April, die 2te am 7 Mai, die 3te 26 Mai, 4 am 30 Juni. Um nun die *Anzahl Tage* zu finden, welche jede Tratte noch zu laufen hat, kann man rechnen: 1) *vom Tag der Ausstellung*, 2) *vom Tag der frühsten Verfallzeit*, u. 3) von *willkührlich angenommnen Zeitpunkt*, der natürlich die frühste Verfallzeit nicht überschreiten darf. | 1) Vom Tag der Ausstellung. (1 Mt = 30 Tage) | | | 2) Vom Tag der frühsten Verfallzeit. | | | 3) Von beliebigem Zeitpunkt, z.B. Tag des Empfangs des Trattenavises, say 15 April. | | | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | vom 7 April | bis 21 April | = 14 Tage | Von 21 April | bis 21 April | = 0 Tage | Vom 15 April bis | 21 April | = 6 Tage | | | 7 Mai | = 30 | | 7 Mai | = 16 | | 7 Mai | = 22 | | | 26 | = 49 | | 26 | = 35 | | 26 | = 41 | | | 30 Juni | = 83 | | 30 Juni | = 69 | | 30 Juni | = 75 | | | | 176 Tage. | | | 120 Tage. | | | 144 Tage. | | 176 Tage dividirt durch 4 = 44 Tage, vom 7 April = 21 Mai | | | 120 T. div. durch 4 = 30 Tage. 21 April = 21 Mai. | | | 144 Tage dividirt durch 4 = 36 T. Vom 15 April = 21 Mai. | | | ##### 2) Die Kapitalien sind ungleich. Dieß meist der Fall in der kaufmännischen Praxis. Die Rechnungsweise darauf gegründet, daß z.B. 100 Th. *in 9 Mt so viel Zinsen geben als 9 × 100 in* 1 Mt. Ein Kommissionair in London hat für fremde Rechnung folgende Verkäufe gemacht: | £250 | am | 8 Mai. | Ziel | 3 Mt. | |---|---|---|---|---| | 135 | | 29 Mai | | 3 | | 220 | | 23 Juni | | 2 | | 196 | | 10 Juli | | 2 | | 104 | | 21 Juli | | 8 Tage. | *Am 24 Juli* will er seinem Committenten Verkaufsrechnung mit gemeinschaftlicher Verfallzeit für die einzelnen Verkäufe ertheilen. Wann tritt diese gemeinschaftliche Verfallzeit ein? Zunächst die Verfallzeit jedes einzelnen Postens zu ermitteln, u. es finden sich resp. folgende Verfallzeiten: *8* August, *29* August, *23 August, 10 Sept., 29 Juli*. Um nun die Zahl der Tage zu ermitteln, die jeder Posten noch zu laufen hat, kann man vom 24 Juli (Datum der Verkaufsrechnung) od. vom 29 Juli (frühste Verfallzeit) rechnen. | α) Vom Datum der Verkaufsrechnung. (24 Juli) | | | β) Von frühster Verfallzeit. (29 Juli.) | | | |---|---|---|---|---|---| | Vom 24 Juli | bis 8 August | = 14 Tage | Vom 29 Juli. | bis 8 August | = 9 Tage | | | 29 | = 35 | | 29 | = 30 | | | 23 | = 29 | | 23 | = 24 | | | 10 Sept. | = 46 | | 10 Sept. | = 41 | | | 29 Juli | = 5 | | 29 Juli | = 0 | Hierauf multiplicirt man jedes dieser Kapitalien mit der ihm zugehörigen Zeit, addirt die so erhaltnen Produkte u. dividirt ihre Summe durch die Summe der Kapitalien. Quotient giebt die Zahl der Tage, nach deren Ablauf, von dem Tag an gerechnet, wovon man ausgegangen ist, die gemeinschaftliche Verfallzeit eintrat. | α) £250 × 14 = 3500 | β) 250 × 9 = 2250 | |---|---| | 135 × 35 = 4725 | 135 × 30 = 4050 | | 220 × 29 = 6380 | 220 × 24 = 5280 | | 196 × 46 = 9016 | 196 × 41 = 8036 | | 104 × 5 = 520 | | | *905 = 24,141* | *905 [=] 19,616* | | 24,141/905 = *27 Tage* ca | 19616/905 = 22 T. ca. Von 29 Juli. = 21 August. | | 24 Juli = 21 August gemeinschaft. Verfallzeit. | | Die *Summe der erhaltnen Producte* bildet ein Kapital welches auf 1 Tag ausgelegt ist. Die *Summe der erhaltnen Producte dividirt durch die Summe der Kapitalien* bildet ein Kapital welches auf 1 × x Tag ausgeliehn ist. Wenn 100 Th. auf 3 Mt ausgeliehn = 3 × 100 Th. auf 1 Monat ausgeliehn, so (3×100)/100 = auf 3 Mt ausgeliehnes Kapital von 100. Die Richtigkeit zeigt sich durch die Zinsenrechnung für jeden einzelnen Posten. * * * #### II) Verzinsliche Kapitalien. Ist der *Zinsfuß gleich* für alle Kapitalien, so kommt er nicht weiter in Betracht; daher dieser Fall wie die obigen zu behandeln. *Die Zinsfüsse sind ungleich:* Es seien zu zahlen: | 400 Th. in | 4 Mt., bis dahin zu verzinsen à | 5% | |---|---|---| | 200 | 6 | 4 | | 400 | 8 | 3½ | | 800 | 9 | 6%. | Wann u. zu welchem Zinsfuß können diese Kapitalien auf einmal abgetragen werden? ##### 1. Auflösung. Man *multiplicirt jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, addirt die dadurch erhaltnen Produkte, u. dividirt deren Summe durch die Summe der Kapitalien*. *Der Quotient ist der mittlere Zinsfuß.* Jedes *der gedachten Produkte multiplicirt man hierauf mit der ihm zugehörigen Zeit, addirt die so erhaltnen Produkte* u. *dividirt ihre Summe* durch die *Summe der aus Kapital × Zinsfuß erhaltnen Zahlen*. *Der Quotient ist die mittlere Verfallzeit.* | α) *Auffindung des mitt. Zinsfusses.* | β) *Auffindung der gemeinsch. Verfallzeit.* | |---|---| | 4 × 5 = 20 | 20 × 4 = 80 | | 2 × 4 = 8 | 8 × 6 = 48 | | 4 × 3½ = 14 | 14 × 8 = 112 | | 8 × 6 = 48 | 48 × 9 = 432 | | 18 dividirt in 90 | 90 dividirt in 672 | | = *5% mittlerer Zinsfuß.* | = *7 7/15. Gemeinschaftliche Verfallzeit.* | Die Kapitalien in α) u. β) durch 100 abgekürzt. Sonst hätte man z.B. in α) erhalten  9000/1800 =  90/18. Durch das Multipliciren α) der Kapitalien mit Zinsfuß u. deren darauffolgende Addition (der Produkte) erhält man 1 Kapital zu 1% ausgeliehn. Und 18 : 90 = 1% : x. x =  90/18 etc. u. durch die Multiplication der *Produkte der Kapitalien × Zinsfuß* (wie 20 etc) × der Zeit erhält man 1 Kapital, das zu 1 Mt ausgeliehn ist etc Die Probe: | α) | 400 Th. | 4 Mt. à | 5% | = 6⅔ Th. | β) | 1800 Th. in 7 7/15 Mt. Verfallzeit à 5% | γ) | 67200 Th. à 1% in 1 Mt. | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | | 200 | 6 | 4 | = 4 | | = (1800×(7+7/15)))/240 = 56 Th. Zinsen. | | = (67200×1)/1200 = 56 Th. Z. | | | 400 | 8 | 3½ | = 9⅓ | | | | | | | 800 | 9 | 6 | = 36 | | | | | | | 1800 Th. | | | = 56 Th. Zinsen. | | | | | ##### 2. Auflösung. Man *multiplicirt erst die Kapitalien mit der Zeit* u. *dividirt die Summe der Produkte durch die Summe der Kapitalien*. Der *erhaltne Quotient ist die mittlere Verfallzeit*. *Jedes dieser Produkte wird hierauf mit dem ihm zugehörigen Zinsfuß multiplicirt*, u. die *Summe der so erhaltnen Produkte* durch *die Summe der Produkte aus Kapital u. Zeit dividirt*. Der *Quotient ist der mittlere Zinsfuß*. | α) Auffindung der mittleren Verfallzeit. | β) Berechnung des mittleren Zinsfusses. | |---|---| | 4 × 4 = 16 | 16 × 5 = 80 | | 2 × 6 = 12 | 12 × 4 = 48 | | 4 × 8 = 32 | 32 × 3½ = 112 | | 8 × 9 = 72 | 72 × 6 = 432 | | *18 in 132 = 7⅓ Mt. mittlere Verfallzeit.* | *132 in 672 = 5 1/11% mittlerer Zinsfuß* | Nach dieser Rechnung *Verfallzeit kürzer* u. *Zinsfuß grösser als* 1). Da aber *Zeit u. Zinsfuß* stets in *indirektem Verhältniß* stehn, so ergiebt sich die Richtigkeit des Resultats: Je *grösser der Zinsfuß* (5 1/11%) im Vergleich zu 5%, desto *kleiner die Zeit* (5 1/11 : 5 = 7 7/15 : x. x = 7⅓ Mt.) Oder: *Je kleiner die Zeit* (7⅓ Mt) im Vergleich zu 7 7/15 Mt., desto *grösser der Zinsfuß* (7⅓ : 7 7/15 = 5% : x. x = 5 1/11%. Daher auch die Zinsen von 1800 Th. in 7⅓ Mt. à 5 1/11% = Zinsen von 1800 Th. in 7 7/15 Mt. à 5%. Ob übrigens 1800 Th. in dem angeführten Beispiel in 2, 3, od. 4 Mt. u.s.w. zurückgezahlt werden, gleichgültig. Jedes Kapital trägt bis zu seiner Rückzahlung die Zinsen nach seinem Zinsfuß u. wird mit diesen Zinsen zurückgezahlt. Aufsuchung eines mittleren Zahlungstermins u. Zinsfusses für mehrere *verzinsliche* Kapitalien erscheint daher überhaupt überflüssig. Es ist bereits bemerkt worden, daß jedes zu einer bestimmten Zeit bezahlbare Kapital, wenn nicht bis dahin verzinst, ist als ein *Werth anzusehn, der die Zinsen einschließt für die Zeit, welche das Kapital noch zu laufen hat*. Darauf begründet sich die Berechnung des Disconts nach dem Zinsfuß *auf* 100. Von dieser Ansicht aus, Verfahren verändert für Auffindung des mittleren Zahlungstermins für mehrere, zu verschiednen Zeiten fällige, bis dahin aber nicht zu verzinsende Kapitalien. Gläubiger u. Schuldner haben sich zuvörderst über *einen Zinsfuß* zu vereinigen, grade so als ob die später zahlbaren Kapitale discontirt werden sollten. *Nach diesem Zinsfuß bestimme man den Baarwerth der Kapitalien*, *addire die erhaltnen Beträge u. ziehe deren Summe von der Summe der später zahlbaren Kapitalien ab*. Die Differenz bildet den *Betrag der Zinsen*, welchen die baaren Werthe in den gegebnen Zeiten gebracht haben würden. Nun fragt man: Wie lange müßte *die Summe der baaren Werthe ausstehn, um die gefundne Differenz als Zinsen einzubringen*? Die so *erhaltne Zeit* = *die Gemeinschaftliche Verfallzeit der Kapitale*. | Z.B. | 824 Th. fällig in | 6 Mt. | |---|---|---| | | 860 | 15 | | | 648 | 16, sollen auf einmal abgetragen werden? 6% Zinsen als current Zinsfuß genommen | | | 2332 Th. | | Man ermittle zunächst den *Baarwerth der einzelnen Kapitale*. | 12 (Mt.) : 6 Mt. = 6% : x. x = 3%. 103 : 824 = 100 : x. | x = 800 Th. | |---|---| | 12 : 15 = 6 : x. x = 7½%. 107½ : 860 = 100 : x. | x = 800 | | 12 : 16 = 6 : x. x = 8%. 108 : 648 = 100 : x. | x = 600 | | Summe der Kapitalien = 2200 Th. | |---| | *Baarer Werth* von 2332 Th. Also = 2200 Th. | | und: 2332 – 2200 = 132 Th. Zinsen. | Wieviel Zeit nöthig um diese 132 Th. Zinsen mit 2200 Th. à 6% zu gewinnen? | 2200 Th : 100 Th. = 12 Mt. : x | |---| | 6% : 132 Zinsen | | x = 12 Monate. Dieser die gesuchte Mittlere Verfallzeit. | Ermittelt man die *mittlere Verfallzeit*, auf die im kaufmännischen Verkehr übliche Weise, so hat man: | 824 × 6 = 4944 | |---| | 860 × 15 = 12,900 | | 648 × 16 = 10,368 | | 2332 in 28,212 = 12, 57/583 Mt. gemeinschaftlicher Zahlungstermin. | Dieß Verfahren richtig, so lange der Kaufmann den Discont nach dem Satze *vom 100* berechnet, also jedes später fällige, bis zum Eintritt derVerfallzeit aber nicht zu verzinsende Kapital nicht als einen Werth ansieht, der die Zinsen einschließt, sondern als einen solchen mit welchem die Zinsen erst verdient werden sollen. Folgende Berechnung zeigt, daß das Verfahren auf einer Discontirung der Kapitalien nach dem Satz vom 100 beruht: (Rechnung zu 6%) | Für 824 Th. p. 6% p. | 6 Mt. | = 24,72 Th. | |---|---|---| | 860 | 15 | = 64,50 | | 648 | 16 | = 51,84 Th | | 2332 Th. | | = 141,06 Discont. | Nun vergleiche man. Wie lang 2332 Th. zu laufen?, wenn der à 6% berechnete Discont = *141,06 Th*? | 2332 : 100 = 12 Mt. : x | |---| | 6 : 141,06 | | x = 28212/2332 = 12 57/583 Mt. | Verfallzeit hier später – Discontsatz *vom* 100 giebt grössren Discont; also um ihn zu verdienen, mehr Zeit erforderlich. * * * ### Wechselrechnung (cont. von p. 118) #### II) Arbitrage auf Indirektem Weg. ##### 1) Benutzung der Papiere andrer Plätze. Die hier anzustellnde Untersuchung zeigt, ob man zur Zahlung einer Schuld, statt der direkten Rimesse, Rimessen auf andre Plätze machen, *oder* zur Einziehung einer Forderung, statt der Tratte auf den Schuldner, dessen Rimessen auf fremde Plätze setzen soll. Zu solcher Arbitrage bedarf man der Kurse des eignen, sowie des Platzes, an welchen man zu zahlen od. zu fordern hat. Die Frage kann hierbei auf die zu *remittirende* od. *trassirende* Summe gerichtet sein. Am üblichsten u. kürzesten aber, sie *auf die feste Valuta zu richten*, welche dem direkten Kurse zu Grund liegt. ##### Beispiele. 1) *Köln* hat an Amsterdam 12,000f. kurze Sicht zu *zahlen* u. kann direktes Papier à 142, 8/10 kaufen. Auf dem *Amsterdamer Kurszettel* notirt: | London. | 2 Mt. | 11,75 | *Geld.* (Auf den lausigen continentalen Börsen haben die Courszettel meist 2 Preiscolumnen. Die *eine* ist überschrieben: *Geld* od. *Gesucht* (*Argent* od. *Demandé*); die andre *Briefe* od. *Angebote* (*Lettres* or *offert*.) | *Feste Valuta* | = 1£ | Diese Papiere also in Amsterdam zu diesen Kursen unterzubringen. | |---|---|---|---|---|---|---| | Paris | 2 Mt. | 55⅞ | | | = 120 Fcs | | | Frankfurt | 2 Mt. | 99½ | | | = 100f. S.W. | | | Hamburg | 2 Mt. | 35 | | | = 40 M. Bco. | | *Köln* kann diese Papiere *in denselben Sichten* kaufen, mit: | London | 6.20⅝ | (*feste Valuta*. | für 1£ fest) | |---|---|---|---| | Paris | 80 Th. | | 300 Fcs fest | | Frankfurt | 56,26 | | 100f. S.W. fest | | Hamburg | 149 8/10 | | 300 M.B. fest. | Es fragt sich zuerst, wie viel kosten 12,000f.? | *London.* | *Paris.* | *Frankfurt.* | *Hamburg* | *Direkt von Köln (Berlin) auf Amsterdam* | |---|---|---|---|---| | x = 12,000f. | x = 12,000f. | x = 12000f. | x = 12000f. | 142 8/10 Th. = 250f. holl. feste Valuta | | 11,75 = 1£ | 55⅞ = 120 Fcs. | 99½ = 100f. in Fkft | 35 = 40 M.B. | 250f. : 12,000f.= 142 8/10 Th : x | | 1 = 6 11/16 Th. | 300 Fcs = 80 Th. | 100 = 56 13/30 Th. | 300 = 149 8/10 Th. | | | x = 6829,79 Th. | x = 6872,55 Th. | x = 6806,03. Th. | x = 6848. Th. | x = 6854,4 Th. | In der Regel richtet man aber die Frage auf die *feste Valuta* des direkten Kurses, hier auf 250f. Es ist also in obigen Ansätzen statt x = 12000f. x = 250f. zu setzen u. man findet dann: | London | = 142,29 Th. | |---|---| | Paris | = 143,18. | | Frankfurt | = 141,80. | | Hamburg | = 142,67. | | Direkt | = 142,80. | Am vortheilhaftesten daher für Köln, seine Schuld durch Rimessen in *Frankfurter Papier* zu zahlen. Denn so kosten ihm *12000f.* nur *6806,03 Th.* u. *250f.* nur *141,80* Th. Auf jedem andren Weg mehr. Köln hat hier Gelegenheit, Rimessen in derselben Sicht, wie sie die Amsterdamer Kursnotirung fordert, zu kaufen. Obgleich seine Rimessen nicht in kurzer Sicht, doch kurzer Amsterdamer Sicht gleich zu achten, weil sie von dem Amsterdamer Haus sofort bei Empfang begeben werden können. 2) *Berlin* hat an *Hamburg* in k. Sicht zu fordern, u. kann in dieser Sicht *à 151, ⅞ Th.* (für *300 M.B. fest*) trassiren. Berlin findet notirt auf dem neusten *Hamburger Courszettel:* *Amsterdam* 3 Mt. 36,10 (*40 M. Bco. fest*) *London* 3 Mt. 13.2½(*1£ fest*) *Augsburg* 2 Mt. 89¾ (*100 Marc Banco fest*) *Frankfurt 2 Mt.* 89⅝ (*100 Mc. Banco fest*) *Breslau 2 Mt.* 153¾ (*300 Mc. B. fest*) *Bremen 2 Mt.* 140 (*300 Mc. B. fest*) *Paris k. Sicht* 190½ (*100 Mc. B. fest*) *Berlin* kann diese Papiere in denselben Sichten anbringen *Amsterdam* 141⅞ (*250*fl. fest) *London* 6. 21 (1£ fest) *Augsburg* 56,24 (100f. S.W. fest) *Frankfurt* 56,26 (100f. S.W. fest) *Breslau* 99⅓ (100 Th. in *Breslau* fest) *Bremen* 108⅞ *(100 Th. Gold, Louisdor à 5 Th. fest)* *Paris* 80½ *(300 Fcs. fest)* Die *feste Valuta* des *Berlin Hamburger Kurses* = 300 Marc Bo. Zu fragen wie viel 300 M.B. dem Berliner einbringen. | Amsterdam. | London. | Augsburg. | Frankfurt. | Breslau. | Bremen. | |---|---|---|---|---|---| | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | x Th. = 300 M.B. | | 40 = 36,10f. | 13.2½ = 1£ | 100 = 89¾f. S.W. | 100 = 89⅝f. S.W. | 300 = 153¾ Th. | 300 = 140 Th. Louisdor | | 250 = 141⅞ Th. | 1 = 6,7. Th. | 100 = 56,8 Th. | 100 = 56 13/15 Th. | 100 = 99⅓ (Th. in Berlin) | 100 = 108⅞ Th. | | x = 153,61. | x = 152,78 Th. | x = 152,93 Th. | x = 152,90 | x = 152,72 | x = 152,425 Th. | Berlin läßt sich daher *Hamburger Rimessen* auf *Amsterdam* machen, wo es für 300 M.B. die meisten Th. (153,61) erhält. Auch dann Weg besser als der *direkte* (*151⅞* Th) wenn Hamburger Courtage mit ½‰ abgezogen = 153,53 statt 153,61. 3) Auf *dem Hamburger Courszettel folgende Notirungen:* | | Hamburger Courszettel | Die*selben Papiere*, in *gleichen Sichten*, sind in *Paris* notirt: | |---|---|---| | Antwerpen | k. S. 190 (fcs *für 100 M.B. fest*) | ⅛ P.Ct. Perte | | Genua | 3 Mt. 194 (lire nuove. *100 M.B. fest*) | 1¼ P.Ct. Perte (98¾ fcs = 100 Lire) | | Livorno | 3 Mt. 227 (toskanische lire. *100 M.B. fest*) | 84¼ fcs (= *100 tosk. Lire fest)* | | London. | 3 Mt. 13.2½ (1£ fest) | 24.90 = (1£ fest) | | Madrid. | 3 Mt. 43 (Shill. Banko für *1 Peso fuerte von 20 Reales fest.*) | 518½ = 100$ fest. ($ Piaster) | | Lissabon | 3 Mt. 46 (Shill. Bco. für 1 *milreïs fest*) | 547½ = 100 Milreïs. | | Amsterdam. | k. S. 35,40 (für *40 M.B. fest*) | 213½ = (100 holl. fl.) | | Petersburg. | 3 Mt. 31¼ (Sh. Banko. für *1 Silb. Rubel fest*) | 370 = 100 R silber fest. | | Paris | k. S. 190 fcs für 100 Marc Banco fest. | | Welche von diesen Wechselsorten verdient vor dem direkten Papier den Vorzug zum Remittiren od. Trassiren? | Antwerpen. | Genua. | Livorno. | London. | Madrid. | Lissabon. | Amsterdam. | Petersburg. | Direkt. | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | x Fcs = 100 M. Bco. | x Fcs = 100 M. Bco. | x Fcs = 100 M.B. | x F. = 100 M.B. | x F = 100 M.B. | x Fcs = 100 M.B. | x Fcs = 100 M.B. | x Fcs = 100 M.B. | Paris. K. S. | | 100 = 190 fcs. (*Antwerpen*) | 100 = 194 (lire nuove) | 100 = 227 (tosk. lire) | 13 5/32 = 1£ | 1 = 16β | 1 = 16β | 40 = 35,40f. | 1 = 16β. | | | | | | | 43 = 1 Piaster | 46 = 1 Milreïs | | | | | 100 = 99f. ⅞ (in Paris | 100 = 98¾ fcs | 100 = 84¼ fcs | 1 = 24,90 Fs. | 1 = 5,185 fcs | 1 = 5,475 fcs | 100 = 213½f. | 31¼ = 3,70 fcs | 190 fcs = 100 M.B. fest. | | x = 189,76 fcs. | x = 191,57f. | x = 191,25 fcs. | x = 189,26 fcs. | x = 192,93 Fcs. | x = 190,43 | x = 188,95 fcs. | x = 189,44. | | Die Resultate drücken die Summe der Fcs aus, die Hamburg *beim Einkauf erhält für 100 M. Bk.* u. beim *Verkauf geben muß für 100 M.B.* Der Weg, daher, auf dem es die *meisten fcs* erhält für 100 M.B., ist der vortheilhafteste zum *Einkauf od. Remittiren*. Der Weg, wo es *am wenigsten fcs giebt für 100 Mc. Bco*, wo also 100 M.B. am wenigsten fcs werth sind, ist der vortheilhafteste zum *Verkauf* od. *Trassiren*. Demnach haben *Madrider*, *Genueser*, *Livorneser* u. *Lissaboner* Papier den *Vorzug* vor dem *direkten Papier* beim *Remittiren* (obgleich bei Lissab. Papier der Unterschied zu unbedeutend für Beachtung) dagegen: *Amsterdamer, Londoner, Petersburger* u. *Antwerpner* den *Vorzug* beim Trassiren, obgleich die Differenz bei den beiden letzten unbedeutend. Hat *Hamburg* an Paris zu zahlen, so wählt es eine der erstern Wechselsorten, statt direktes Papier (à 190) zu remittiren; so wird es nicht auf Paris *trassiren* (à 190), sondern sich *Amsterdamer* etc Wechsel remittiren lassen. Z.B. Hamburg habe an *Paris 10,000 fcs* zu zahlen od. zu fordern; so *kosten* sie ihm od. *bringen ihm ein*: | 190 fcs : 10,000 fcs = 100 M.B. : x | |---| | x = 5263,16 M.B. | *Remittirt* es in *Madrider Papier à 43 (Sh. Bco), das in Paris zu 518½ zu begeben ist, so*: | x M.B. = 10,000 fcs | |---| | 518½ = 100 Duros | | 1 = 43β | | 16β = 1 Mark | | x = 5183,22 Mc. B. | Läßt sich Hamburg *Amsterdamer Papier von Paris kommen*, das ihm mit 213½ berechnet wird u. mit ihm à 35,40 begeben wird, so: | x M. B = 10,000 Fcs | |---| | 213½ = 100f. | | 35,4 = 40 M.B. | | x = 5292,47 M.B. | Der *Gewinn* in sub 1) 2) 3) angegebnen Fällen auf *indirektem* Weg nur vermindert durch die *Courtage*, die der Platz, womit man arbitrirt, für Verkauf od. Kauf des indirekten Papiers berechnet. *Provision* in diesem Fall nicht üblich, wo es sich um Schuldzahlung od. Einziehung von Forderung handelt. In den *Beispielen 1) u. 2)* handelt es sich um *wohlfeilste Zahlung* von *Schuld* u. *vortheilhafteste Einziehung von Schuld*. In *Beispiel 3)* Frage allgemein: Welche *Papiergattung* vortheilhaftest für *Remittiren* od. *Trassiren*, u. darum handelt es sich stets bei einer *Wechseloperation*. Damit will man wissen, welche Wechselsorten man am eignen Platz *einkaufen* muß, um sie an den Ort zu senden, womit man arbitrirt, damit sie *dort verkauft werden*, und welche Wechselsorte man *dort einkaufen lassen muß*, um sie am *eignen Platz zu verkaufen*, u. aus dieser Operation einen Nutzen zu ziehn. a) In Beispiel 3), vorzugsweis *Madrider* zum *Remittiren*, u. *Amsterdamer* zum *Trassiren* geeignet. Demnach muß Hamburg Wechsel auf *Madrid* (à 43) in Hamburg kaufen u. in *Paris* (à 518 verkaufen) u. sich dagegen Rimessen auf *Amsterdam* (à 213½) machen lassen, die es à 35,4 abgiebt. Es gewinnt dabei 2,11%. (188,95 (*Amsterdamer Zahlung von fcs für 100 Marc Banco*) : 100 = 192,93 fcs (Madrider Frankenwerth von 100 M. Banco) : 102,11 fcs) *Beweis:* | *Hamburg kauft:* *Reales* 25000 *auf Madrid.* à 43 (für *20 Reales* fest) auf der Hamburger Börse. | = *M.B. 3359. 6* | |---|---| | *Paris begiebt sie* à 518½ mit | = *Fcs 6481. 25.* | | *Paris kauft dagegen* à 231½ ………….. f.3035,71 auf Amsterdam. | | | *Diese werden von Hamburg à 3540 begeben* mit | M. Bk. 3430. 3 | | Hiervon ab Betrag des Einkaufs: | 3359. 6 | | *Gewinn:* | *Gewinn: M.B. 70. 13. od. 2,11%* | Nimmt man den Zinsenverlust zu (10 T. à 6%) ⅙% ⦗nämlich 360 : 10 = 6 : x. x =  60/360 =  6/36 = ⅙⦘, die Hamburger doppelte Courtage zu 1‰, da Spesen in Paris ⅓% +  2/8%)  7/12%, u. läßt das Porto ausser Betracht, so vermindern sich obige 2,11% auf 1,26%. Solche Operation aber nur dann profitlich, wenn das *Papier, welches man einkauft*, an dem Platz, womit man arbitrirt, *theurer verkauft werden kann*, u. die *Rimessen, die man sich dagegen machen läßt, wohlfeiler eingekauft* werden, als man sie begeben kann. In obigen 3) Beispiel das *Madrider Papier* in Hamburg *wohlfeiler als in Paris* u. *Amsterdamer Wechsel* in *Hamburg theurer als in Paris*. Hätte Hamburg also *Madrider Papier* in seinem Portefeuille, so würde es dasselbe in *Paris vortheilhafter verkaufen*, als an seiner *eignen* Börse; bedürfte es aber *Amsterdamer* Wechsel, so würde es sie *mit Nutzen in Paris einkaufen lassen*. b) In den bisherigen Ansätzen zunächst untersucht, wie *bezahlt* man am wohlfeilsten eine *Schuld*, u. wie *zieht* man eine Schuld am wohlfeilsten ein, die man auf dem Platz hat, mit dem man arbitrirt. Daher wurde überall die Frage auf die feste *Valuta* gerichtet, welche *unsrer Coursnotirung* zu Grunde liegt, u. die leztre (z.B. in Beispiel 3) *Paris direct k. S.* 190f. = 100 M.B. fest. *Hamburger Coursnotirung*) wurde mit den gefundnen Resultaten verglichen. In diesem Fall ist derselbe (*Paris* in Beispiel 3)) also für uns der *Hauptplatz*, u. die Papiere der übrigen Plätze, die wir bei der Arbitrage benutzen, sollen uns als *Mittel* dienen, ihn zu befriedigen oder von ihm befriedigt zu werden. *Beispiel 3* zeigte aber, daß sich mit denselben Ansätzen auch die Frage beantworten läßt, ob wir uns der *Vermittlung dieses Platzes* (*Paris* in dem Beispiel) bedienen können, *um Wechsel durch ihn einkaufen od. verkaufen zu lassen*. In diesem Fall wird derselbe für uns zum *Mittelplatz*, u. jene Plätze um deren Papiere es sich handelt, treten als *Hauptplätze* auf. *Diese Art zu arbitriren ist vorzugsweise dem Bankgeschäft eigen*. Man richtet dabei in der Regel die Frage auf die *feste Valuta*, die den Coursen zu Grund liegt, welche man auf jene Plätze notirt. In jeden Ansatz ist dann der *direkte Cours* aufzunehmen, zu welchem man dem *Mittelplatz* (in Beispiel 3 *Paris*) Rimessen für den Einkauf machen od. auf ihn gegen den Ertrag der verkauften Wechsel trassiren kann. So *würden die Ansätze in Beispiel 3*: | Antwerpen | Genua | Livorno | London | Madrid | Lissabon | Amsterdam | Petersburg. | |---|---|---|---|---|---|---|---| | x fcs = 100 M. Banco | x £ = 100 M.B. | x £ = 100 M.B. | x M.B. = 1£ | x β = 1$ | x β = 1 Milreïs | x f = 100 M.B. | x β = 1R° | | 100 = 190 Fcs. in Paris | 100 = 190 Fcs (Paris) | 100 = 190 Fcs (Paris) | 1 = 24,90 Fs. | 1 = 5,185 Fcs | 1. = 5,475 Fcs | 100 = 190 Fcs. | 100 = 370 Fcs | | 99⅞ = 100 in Antwerpen | 98¾ = 100£ | 84¼ = 100£ | 190 = 100 M.B. | 190 = 1600β | 190 = 1600β | 213½ =100f. | 190 = 1600β | | x = *190,24F.* (direkt: *190*) | *x = 192,40£* (direkt = *194*£ | x = *225,52£* (direkt *227*) | x = *13M. 1 11/16β.* (direkt *13.2½* ) | x = *43,66β (direkt. 43.* | x = *46,11β* (direkt: *46* | x = *35.60*. *direkt:* 35,40 | x = *31,16β*. *direkt:* *31,25*. | Vergleicht man die Resultate dieser Ansätze mit den darunter bemerkten *direkten Kursnotirungen Hamburgs auf diese Plätze*, so finden wir, daß Wechsel auf *Genua, Livorno, Madrid u. Lissabon theurer* sind als in Hamburg, dagegen *Antwerpner, Londoner, Amsterdamer* u. *Petersburger* in Paris *wohlfeiler* zu haben sind als in Hamburg. D er Hamburger zahlt zu Paris 100 M.B. für 192,40£ auf *Genua*, zu Hamburg 100 M. für 194 auf Genua. Er erhält also mehr £ (Genueser) für 100 M.B. in Hamburg als in Paris. Wenn er also M.B. für Lire *verkaufen* will, sei es, daß er Rimessen nach Genua zu machen hat, od. in Wechseln operirt, so *kauft* er Genueser wohlfeiler zu Hamburg als zu Paris. *Umgekehrt.* Wenn er Wechsel auf Genua hat, sei es als Tratte für dort einzuziehnde Schuld, sei es als Papier, womit er speculirt, so muß er zu Hamburg 194 Lire wegzahlen, um 100 M. Banco zurückzuerhalten. In *Paris* hat er nur 192,40£ zu zahlen für 100 M. Bco. *Paris* ist also bessrer Platz für ihn zum *Verkauf von Lire für Mc Banco*, u. *Hamburg bessrer Platz zum Kauf von Mc Banco für Lire*, etc. *Dasselbe Resultat* kam oben heraus. Evidently so. Denn da Genueser, Livorneser, Madrider u. Lissaboner Papiere beim *Remittiren* Vorzug vor *direktem Papier* (Pariser Wechseln) verdienen, müssen sie *in Paris* *höher zu verkaufen* sein, als sie *in Hamburg eingekauft* werden; u. da die *Rimessen des Pariser in Antwerpner, Londoner, Amsterdamer u. Petersburger Wechseln* den Vorzug vor *einer Tratte des Hamburger auf Paris* haben (da diese Papiere sich besser zum *Trassiren* eignen), müssen sie in *Paris wohlfeiler gekauft* sein als sie *in Hamburg verkauft* werden können. c) Verstehn sich die *Kursnotirungen auf beiden Plätzen nicht für dieselben Sichten*, so hat der Platz, welcher arbitrirt, seine Notirungen in die *Kurse derjenigen Sichten zu verwandeln*, für welche sich *die Notirungen auf dem Platz verstehn*, womit er arbitrirt. Er thut dieß unter Benutzung des *Discontfusses, zu welchem an seiner Börse*, unter Umständen auch *an der Börse* des *fremden Platzes*, die *Reduction einer Wechselsicht in die andre erfolgt*. ##### Beispiele. 1) Arbitrage zwischen Augsburg u. Hamburg. | | Kurse in Augsburg. | Kurse in Hamburg. | Indirekt | |---|---|---|---| | Amsterdam. | k. S. 100⅛f. (S.W. = 100f. H.) | k. S. 35.70 | 89,36 | | | L. S. 4% | 3 Mt. 36. | 89,21 | | Berlin. | K. S. 104⅝f. (= 60 Th.) | 2 Mt. 153¼ | 88,48 | | | L. S. 4% | | | | Frankfurt a/M. | k. S. 99⅞ (in Augsburg = 100f. in Fkft) | 2 Mt. 89⅛ | 88,49 | | | l. S. 3½% | | | | Genua. | k. S. 92½ (f. = 200 ginuesisch Lire) | 3 Mt. 194 | 88,72 | | | l. S. 4½% | | | | Hamburg. | k. S. 87⅞ (f. = 100 M. Banco) | *Augsburg* 2 Mt. 89¼ Zinsen in Cto Current 5% | 88,50 | | Livorno. | k. S. 99¼ (f = 250 tosk. Lire) | *Livorno* 3 Mt. 227. | 88,99 | | | L. S. 5% | | | | London. | k. S. 117⅛ (f = 10£) | k. S. 13.3½ | 88,61 | | | l. S. 3% | 3 Mt. 13.2¼ | 89,03 | | Paris. | k. S. 92¾ (f = 200 Fcs) | k. S. 190¼ | 88,23 | | | l. S. 4% | 3 Mt. 191½ | 87,92. | | Amsterdam. K. S. | Amsterdam. 3 Mt. | Berlin. | Frankfurt a.M. | Genua. | Hamburg, Augsburg. | Livorno. | London. k. Sicht. | London. 3 Mt | Paris. k. S. | Paris. 3 Mt. | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | x f = 100 M. Bc. | x f = 100 M.B. | x f = 100 M. Banco | x f = 100 M.B. | x f = 100 M.B. | 2 Mt. … 89,25 | x f = 100 M. Bco. | x f = 100 M. Bc. | x f = 100 M. Bc. | x f = 100 M. Bc. | x f = 100 M.B. | | 40 = 35,7f. holl. | 100 = 36f. holl. 3 Mt. | 300 = 153¼ Th. 2 Mt. | 100 = 89⅛f. 2 Mt. | 100 = 194 lire 3 Mt. | Zinsen pro 2 Mt. à 5% … 0,75 | 100 = 227 lire. 3 Mt. | 13.3½ = 1£ k. S. | 13.2¼ = 1£ 3 Mt. | 100 = 190¼ Fs k. S. | 100 = 191½ Fcs 3 Mt. | | 100 = 100⅛f. S.W. | 100 = 99f. holl. k. S. | 100 = 99⅓ Th. k. S. | 100 = 99 5/12f. k. S. | 100 = 98⅞ lire k. S. | | 100 = 98¾£ k. S. | | 100 = 99¾£ k. S. | 200 = 92¾f. S.W. | 100 = 99 k. S. | | | 100 = 100⅛ (f. S.W.) | 60 = 104⅝f. S.W. | 100 = 99⅞f. S.W. | 200 = 92½f. S.W. | | 250 = 99¼ (f. S.W.) | 10 = 117⅞f. S.W. | 10 = 117⅞f. S.W. | | 200 = 92¾f. S.W. | | x = 89,36. | x = 89,21. | x = 88,48. | x = 88,49. | x = 88,72. | k. Sicht 88,50. | x = 88,99 | x = 88,61 | x = 89,03. | x = 88,23 | x = 87,92. | Je weniger Gulden Augsburg auf einem gewissen Weg für 100 Mc. B. *zu zahlen* hat ⦗u. das ist derselbe: *je mehr Marc Banco* es *für 100 Gulden* erhält⦘, desto vortheilhafter ist dieser Weg zum *Einkaufe* (*Remittiren*); Je *mehr Gulden* Augsburg auf einem gewissen Wege für *100 Marc Banco* erhält, (od. was dasselbe ist: *Je weniger Marc Banco* es *für 100 Gulden giebt*), desto günstiger ist derselbe zum *Verkaufe* (*Trassiren*). Hat also *Augsburg* Schulden an Hamburg abzuzahlen, so muß es Gulden verkaufen u. Marc Banco kaufen. Dafür am besten *direkte Rimessen* *auf Hamburg* machen (*Hamburger Wechsel remittiren*) denn es erhält so für 87,⅞f. 100 M. Banco. Hat es aber eine *Schuld auf Hamburg* einzuziehn, so erhält es in *Augsburg* selbst nur 87⅞f. *für* je 100 M.B., in *Berlin* 88,48 u.s.w.; am meisten aber in *Amsterdam*, für je 100 M.B. 89,36f. Es wird sich also *kurze Amsterdamer remittiren* lassen. Eine mit Hamburg zu machende *Wechseloperation* würde darin bestehn: Augsburg läßt sich *kurze Amsterdamer* von Hamburg (à 35,70) *remittiren* u. wird die Deckung dafür in *kurze* *Hamburger* à 87⅞ machen. Da 87⅞ : 100 = 89,36 : x, und x = 101,69 = *1,69%*, so wäre dieß der *Bruttogewinn:* Folgende *Unkosten* würden ihn vermindern: *Courtage* für *den Einkauf des Hamburger in Augsburg* u. *für den Verkauf des Livorneser* daselbst, 1‰ =  1/10%; *Courtage* für den Einkauf des Livorneser in Hamburg ½‰; *Provision* für diesen Einkauf u. für das *Incasso der Hamburger Rimessen* ⅓%, Zinsen  23/60%; *Zinsverlust für 8 Tage* à 5% pr. Jahr =  1/9%. *Zusammen*  107/180% od. *0,6%*; 1,69% ÷ 0,6% = *1,09% Reingewinn*. ##### 2) Berlin u. Frankfurt. In *Frankfurt stehe der Kurs auf Berlin für k. S.* 104¾ (f. S.W. = 60 Th. Pr. C.) Auf dem *Berliner Kurszettel* notirt: | *Amsterdam* 2 Mt. 142⅛ (Th. für 250f. holl.) | *Hamburg* 2 Mt. 149⅞ (Th. für 300 M. Bc.) | *Paris* 2 Mt. 79⅜ (Th. für 300 Fcs) | *London* 3 Mt. 6,19⅝ (Th. für 1£) | |---|---|---|---| Auf dem *Frankfurter Kurszettel* sind diese Plätze für *Kurze Sicht* notirt: | | *Amsterdam* 99¾f. S.W. (für 100f. holl.) | *Hamburg* 87¾ (f. S.W. (100 M.B.) | *Paris* 93⅛ (f. SW für 200 Fs) | *London* 117⅛ (f. S.W. = 10£) | |---|---|---|---|---| | *Für längre Sichten* Discont von | 3½% | 3% | 3½% | 3%. | Kann Frankfurt nun die Vermittlung Berlins zum Kauf oder Verkauf benutzen? | Amsterdam. | Hamburg. | Paris. | London | |---|---|---|---| | x f = 100f. holl. k. S. | x f = 100 M. Bc. k. S. | x f = 200 Fs k. S. | x f = 10£ k. S. | | 99 5/12 = 100 2 Mt. | 99½f = 100 2 M. | 99 5/12 = 100 2 Mt. | 99½ = 100£ 3 Mt. | | 250 = 142⅛ Th. | 300 = 149⅞ Th. | 300 = 79⅜ Th. | 1 = 6 157/240 Th. | | 60 = 104¾f. | 60 = 104¾f. | 60 = 104¾f. | 60 = 104¾f. | | x = 99,83. | x = 87,66 | x = 93,17. | x = 116,75. | Zusammenstellung der direkten u. indirekten Kurse. | | Amsterdam. | Hamburg. | Paris. | London. | |---|---|---|---|---| | Direkt: | 99,75 | 87,75 | 93,13 | 117,13 | | Indirekt: | 99,83. | 87,66. | 93,17. | 116,75. | Wechsel auf Hamburg u. London in Berlin wohlfeiler, auf Amsterdam u. Paris theurer in Berlin, aber Differenz zu klein für Operation. Höchstens Londoner Papier in Berlin. Differenz mit Frankfurt dort: 0,32% niedriger in Frankfurt. ##### 2) Benutzung der Vermittlung andrer Plätze. Bisher gezeigt, wie man sich 1) *zur Zahlung oder Einkassirung einer Schuld* der *Papiere fremder Plätze* bedienen, u. wie man 2) *Kauf od. Verkauf gewisser Wechselsorten* durch Vermittlung *Eines* Platzes bewirken kann. Jezt: im ersten Fall 1) wie man sich der *Vermittlung fremder Plätze* bedienen, u. im 2. Fall 2) an die Stelle *Eines Platzes mehrere Plätze* setzen kann. Art der Fragstellung bleibt dieselbe. Nur kommen die *Spesen* hier in Betracht, welche die Plätze berechnen, deren Vermittlung wir uns bedienen. Die *Benutzung der Papiere fremder Plätze* kostet nur etwa die *Courtage*, die wir unserm Gläubiger, resp. Schuldner, dafür zu vergüten haben, daß er *unsre Rimessen begiebt* od. *Wechsel für uns einkauft.* ##### Beispiele. 1) *Amsterdam* hat in *Hamburg* M. Bco. 5000 – in 3 Mt. Papier zu zahlen, u. kann dieß zum Kurs von 34 15/16f. = 100 M.B. thun. Wäre es nun vortheilhafter, diesen Betrag durch *Paris*, *London*, od. *Frankfurt* bezahlen zu lassen, wenn 3 Mt. Hamburger zu haben ist in *Paris* à 188⅜ Fs = 100 Marc Bc., *London* à 13. 5¾ Marc Banco = 1£, und *Frankfurt* 88⅞ = 100 M. Bco. *Spesen* zu: *Paris* ⅝%, *London* ⅗% u. *Frankfurt*  13/30%. | Paris. | London. | Frankfurt. | |---|---|---| | x f = 40 M. Bco. | x f. = 40 M. Banco | x f. = 40 M. Bc. | | 100 = 188⅜ Fcs | 13 23/64 = 1£ | 100 = 88⅞f. S.W. | | 120 = 55 1/16 f | 1 = 11,75f. | 100 = 99½f. holländisch | | x = 35,20 | x = 35,18 | x = 34,79 | | *Spesen* 0,22 à ⅝% | *Spesen* 0,21 à ⅗% | *Spesen* 0,15 à  13/30% | | 35,42. | 35,39 | 35,12. | 2) *Wien* hat (im Nov. 1858) 3 Mt. Londoner zu verkaufen, u. kann es an seiner Börse à 102.50f. = 10£ anbringen. In *Hamburg* ist es à 13.3 M.B. = 1£, *Paris* 24,90 Fcs = 1£ u. *Frankfurt* 116½f. = 10£ zu begeben, u. 3 Mt. Papier ist zu Wien notirt: auf *Hamburg*: 76,85f = 100 M.B. (?) , *Paris* 40.65f. = 100 Fcs u. *Frankfurt* 116½f. = 100f. S.W. *Geld* mit *3% Discont Spesen* =  23/60% *3% Discont*. *Spesen* = ⅝% *5% Disct. Spesen* =  3/10%. Wo hat Wien das Londoner zu verkaufen? | Hamburg | Paris. | Frankfurt. | |---|---|---| | x f. = 1£ 3. Mt. | x f. = 1£ 3. M. | x f. = 1£ 3. Mt. | | 1 = 13.3 M.B. baar. | 1 = 24,9 Fcs baar. | 100 = 116½f. baar. | | 99¼ = 100 Marc Bo. 3 Mt. | 99¼ = 100 Fcs 3 Mt. | 98¾ = 100f. 3 Mt. | | 100 = 76,85 Östr. W. | 100 = 40,65f. Oest. W. | 100 = 86,85f. Ö.W. | | x = 102,11f. | x = 101,98 | x = 102,46 | | *Spesen* 0,39 à  23/60% | *Spesen:* 0,64 à ⅝% | *Spesen* = 0,31 à  3/10% | | 101,72. | 101.34. | 102,15. | In Wien direkt bekommt Wien 102.50f. für 10£, in Hamburg 102,11, in Paris 101,34 u. in Frankfurt 102,15. Es kann also die Vermittlung dieser Plätze zum Verkauf nicht benutzen. 3) *London* hat *Amsterdamer* *3 Mt. Papier* zu verkaufen, u. kann dasselbe an seiner Börse à 11f. 17½ St. (=1£) begeben. In *Hamburg* ist es à 36f. = 40 M.B., *Paris* 211½ = 100f. Holl., u. *Frankfurt* 99¼ (= 100f. Holl.) für Kurze Sicht (mit 3% Discont für Frankfurt 3 Mt.) | London kann trassiren *K.* S. auf | *Hamburg* 13.4¼ | = 1£, | *Paris* 25.12½ | = 1£ | u. *Frankfurt* 117 | = 10£. | |---|---|---|---|---|---|---| | | *Spesen* | =  11/20% | | = ⅝% | | = ⅗%. | Wo soll London das Amsterdamer verkaufen? | Hamburg. | Paris. | Frankfurt. | |---|---|---| | x f = 1£ | x f. = 1£ | x f = 1£ | | 1 = 13.4¼ M.B. | 1 = 25,12½ Fcs. | 10 = 117f. S.W. | | 40 = 36f. | 211½ = 100f. | 98½ = 100f. Holl. (3 Mt. Discont à 3%) | | x = 11,94f. | x = 11,88f. | x = 11,88f. | | *Spesen* = 0,06 à  11/20% | *Spesen* = 0,07 à ⅝% | *Spesen* = 0,07 à ⅗% | | 12f. | 11,95f. | 11,95f. | Nun kriegt London auf eigner Börse für 11f. 17½ St. ein Pf = 1£. = für 11,875f. Holl. 1£. London kann nur an der eignen Börse mit Vortheil verkaufen, da es an den übrigen mehr holl. Gulden für 1£ geben muß. Ferner in diesem letzten Beispiel zu bemerken: Was London *empfangen* will sind £. Die *Spesen* sind hier *zu addiren* (d.h. es muß mehr f. für 1£ geben, so viel als die Spesen mehr kosten), mehr Gulden für 1£ (weil die Spesen hier in Gulden berechnet werden). *Wien* (Beispiel 2), welches ebenfalls £ zu verkaufen hatte, aber f. empfangen will, hat die Spesen *zu subtrahiren*. Es erhält weniger f. für 1£, während der Londoner mehr f. für 1£ geben muß. In beiden Fällen dasselbe Gesetz: Die *Spesen verschlechtern den Kurs*. Ist die *feste Valuta* im Ausland, so spricht sich dieß in einer *Verminderung*, ist sie im Inland in einer *Vergrösserung der Kurszahl aus*. *Continuatio 2 Heft 1869.* ## Inhalt. ### 1) Money Market Review (1868) und „Economist“ (1868): Inhaltsregister (p. 87–89) ### 2) Goschen: Theory of Exchanges. - *Definition.* (90) - *International Indebtedness* (90) - *Various Classes of Foreign Bills, in which Intern. Indebtedness is ultimately embodied.* (90–93) - *Fluctuations in the Price of Foreign Bills.* (93–99) - *Interpretation of Foreign Exchanges* (99–104) - *Socalled Correctives of Foreign Exchanges* (104–109.) ### 3) Wechselrechnung. - *Wechselrechnung überhaupt* (109) - *Parirechnung* (109–110) - *Wechselreductionen:* *Direkt* (110–112) *Indirekt* (112–114) - *Arbitragerechnung:* *Direkt* (114–118) *Indirekt* (135–138) - *Regel de Tri. Regel Multiplex* (118, 119) - *Kettenregel* (118–121) - *Gesellschaftsrechnung* (121–123) - *Alligationsrechnung* (123–125) - *Procentrechnung* (125–127) - *Zinsrechnung* (127–131) - *Discontrechnung* (131–132) - *Terminrechnung* (132–134) --- [^lic]: Text nach MEGAdigital (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften), MEGA² IV/19, Lizenz CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/); der editorische Apparat der MEGA ist nicht wiedergegeben.