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Title: Heft IV (1878). I. Exzerpte aus Feller-Odermann: Discont-, Termin- und Wechselrechnung, Procentrechnung
Description: Marx’ Exzerpte im Heft IV (August–September 1878) aus F. E. Feller und C. G. Odermann, „Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik“ (Leipzig 1859): Einfluss des Discont auf das Wechselpari, Discont-, Termin- und Wechselrechnung, zusammengesetzte Zinsrechnung, Procentrechnung; mit Marx’ Bemerkungen.
Author: Karl Marx
Date: 1878-08
URL: https://marxismo.school/archivo/marx-engels/originales/1878%20Heft%20IV.%20I.%20Exzerpte%20aus%20Feller-Odermann.%20Discont-%2C%20Termin-%20und%20Wechselrechnung%2C%20Procentrechnung
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*Nach der Handschrift, MEGAdigital (MEGA² IV/25).[^lic] [Traducción al español](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1878%20Cuaderno%20IV.%20I.%20Extractos%20de%20Feller-Odermann.%20Descuento%2C%20plazos%2C%20letras%20y%20porcentajes)*

### I) Einfluss v. Discont auf Wechselpari.

*Kurs auf 3 Monate auf Hamburg stehe zu Paris:* *185⅞* (i. e. fcs für *100 Banco Mark fest*) Wie viel für *kurzes Papier*?

*Discont* stehe in Hamburg auf 5%. Macht per 100 fcs 5 im Jahr,  5/4 fc. = *1 fcs. 25* für 3 Monat.

Giebt auf 185⅞ fcs. od. 185,87½ centimes – auf 3 Monat – fcs 2,32½.

| fc. 185.87½ |  |  |
|---|---|---|
| + 2.32½ |  |  |
| fcs 188.20 | = | *f. 188.20* für kurze bill auf Hamburg. Der *Discont hier addirt* |

Wo die *feste Valuta* im Ausland *Discont zu addiren*, wenn Cours *höher* sein soll, zu *subtrahiren* wenn er *niedriger* sein soll. So wäre *kurz* in Paris auf Hamburg = f. 188.20

| so 3 monatliches Papier | = | f. 188.20 |
|---|---|---|
|  |  | – 2.32 |
|  |  | fc. 185.87½ = 185⅞. |

* * *

Ist die *feste Valuta* im *Inland*, so umgekehrt, zu *subtrahiren* wenn Cours höher, zu *addiren*, wenn er *niedriger* sein soll.

Z. B. *kurz Amsterdam* in Hamburg mit *35,95* notirt; (holländischer Gulden od. fl. hier variable, *40 Banco Mark* *feste* Valuta im *Inland*)

Disconto in Amsterdam = 4% z. B. Also 1% p. 3 monat. Wie viel werth *2 Monatl. Papier*?

Je länger ein Papier zu laufen hat, desto weniger ist es werth; desto *mehr* florins bekommt man also in Hamburg für *40 B. Mark fest*.

Zu 1% f. 3 Monat, macht für 2 Monat ⅔%.

| 100 fl. giebt ⅔ fl. |  | 100 cts – ⅔ cts |
|---|---|---|
| 1 fl. … ⅔ cts |  | 1 cts …  2/300 |
| 35 fl. …  70/3 cts = 23⅓ cts. |  | *95 cts*  190/300 =  19/30 cts, über ½ ct. |

Also f. 35.95 = 23⅓ + etwas über ½ cts. = also = *24 cts.* f. 2 Monate zu *4% p. Jahr*.

| Also 40 Banco Mark | = 35.95 |  |
|---|---|---|
|  | 24 |  |
|  | fl. 36.19 |  |

### Discontrechnung.

I) *Ein zu discontirendes Capital* ist kein *„reiner“*, sondern ein *„vermehrter“ Werth* – vermehrt durch Zinsen od. Zinseszinsen; muss also berechnet werden nicht nach % *von*, sondern *auf* 100; geschieht jedoch in *kaufmänn. Praxis das Gegentheil*.

*Z. B.* *2060* fcs in *1 Jahr* fällig *zu discontiren mit 3%*; nach % *auf* Discont. *103 : 2060 = 3 : x*; x = 60fcs; die *baare Zahlung also 2000*; u. 2000 sofort wieder angelegt à 3% giebt nach Ablauf eines Jahrs: *100 : 2000 = 3 : x* x = 2000 × 3/100 = 60; also exactly *60*, dieselbe Summe die bei Discont abgezogen.

Wird dagegen % *von 100* beim Discontiren berechnet, so: *100 : 2060 = 3 : x*. x = *20.60 × 3* = 61.80 = *61.8*; baar bezahlt erhält er also (der den Wechsel discontirt) = 2060 – 61.8 = 1998.2;

Würde der der die rth *1998.2* [erhält] solche sofort zu *3%* neu anlegen für Jahr, so erhielte er: *100 : 1998.2 = 3 : x*; wo x = *59.946* also < 61.8; *Verlust für Empfänger der Zahlung = 1.854 Rt.*; könnte dies nur *ausgleichen*, indem er zu *höherem Zinsfuss* wieder ausliehe; da *1998.2 : 100* = *61.8 : x*, *so x (der Zinsfuss) = 3 1/10% circa*. Trotz diesem *„Schauerlichen“* , im kaufmänn. Verkehr *Rechnung von %*, weil, however great the sums, die *Zeitlänge* des Discount *selten viel über a few months*. Dagegen *bei Erwerbung v. Grundstücken etc die Rechnung auf 100* nöthig.

*Je nachdem ein zu discontirendes Kapital wirklich zusammengesetzt od. zusammengesetzt vorgestellt wird aus Capital u. einfachen Zinsen od. aus Capital u. Zinseszinsen, hat man einfachen u. zusammengesetzten Discont.*

#### I a) Einfacher Discont auf 100.

##### 1) Aufsuchung des Disconts: Wie viel Discont von 1200 Th. am 24 Sept. fällig, u. am 12t Juli mit 4% discontirt?

Vom *12 Juli bis 24 Sept.*, *den Monat zu 30 Tagen* = 72 Tage; *richtiger u. auch gewöhnlich* , *bei Discont auf 100*, *das Jahr zu 365 Tagen zu rechnen*. *Jahr zu 365 Tagen berechnet = 74 Tage.* *Nach letzterem* also berechnet:

*Hier aber zu 30 Tagen (od. Jahr zu 360 Tagen genommen, weil Rechnung einfacher)*

| 1) | Tage 360 : 72 = 4 : x | 1) das Kapital 100 ist also nach 72 Tagen mit seinen Zinsen zu 4% werth = 100⅘ u. umgekehrt 100⅘, in 72 Tagen fällig = 100 baar oder geben Discont von ⅘; wieviel also |  |
|---|---|---|---|
|  | x = ⅘% |  |  |
| 2) | 100⅘ : 1200 Th. = ⅘ : x |  | 2) Discont von 1200? 100⅘ : x; x = etc |
|  | x = 9 11/21 rth. |  |  |

Auch das *discontirte Kapital* kann zur *Auffindung des Discont’s gegeben sein*. Z. B. *Wie viel der Discont*, *wenn ein à 4% per 72 Tage discontirtes Capital* mit *1190 10/21 rth. baar bezahlt* wird. Der baare Werth 100 giebt ⅘ discont, wie viel geben 1190 10/21? 100 : 1190 10/21 = ⅘ : x; x = 9 11/21.

##### 2) Aufsuchung des discontirten Capitals.

Hier kann neben *Zinsfuss* u. *Zeit* *entweder das zu discontirende Kapital od. der Discont gegeben sein*.

a) *Welchen baaren Werth haben 1200 Th., nach 72 Tagen fällig, à 4% discontirt?*

Zinsen v. *Kapital 100 in 72 Tagen* (zu 4%) = ⅘. *Wenn also 100 + ⅘* , nach *72 Tagen* fällig, = 100 baar, welchen baaren *Werth hat Capital v. 1200*, *ebenfalls nach 72 Tagen* fällig?

| 100⅘ : 1200 = 100 : x |
|---|
| x = 1190 10/21 |

Ausserdem kann man aber auch Discont berechnen, wie sub 1) u. von dem zu discontirenden Capital abziehn.

* * *

b) *Wie viel wurde für ein à 4% discontirtes Kapital bezahlt*, wenn der *Discont per 72* Tage = 9 11/21?

⅘ : 9 11/21 = 100 : x; x = 1190 10/21.

* * *

##### 3) Aufsuchung des zu discontirenden Capitals.

⦗Hier kann neben Zinsfuss u. Zeit, das discontirte Capital od. der Discont gegeben sein⦘

1) *Wie gross das Capital, das nach Abzug v. 4% f. 72 Tage* *1190. 10/21 rthl.* übrig gelassen?

a) Zuerst zu berechnen, welchen Zins geben 100 in 72 Tagen à 4%:

| a) | 360 : 72 = 4 : x |
|---|---|
|  | x = ⅘%; |

also b) wenn 100 baar = *100⅘ in 72 Tagen* , welchen Werth haben *1190 10/21 Rth.* *nach derselben Zeit*?

| b) | 100 : 119010/21 = 100⅘ : x |
|---|---|
|  | x = 1200 Th. |

* * *

2) *Wie gross ist das Capital, welches f. 72 Tage à 4% mit 9 11/21 rth. discontirt worden ist?*

Da *100 = ⅘ Zinsen geben*, so erfordern ⅘ = *100⅘* ; welches Capital erfordern 9 11/21 rth? *⅘ : 9 11/21 = 100⅘ : x*. *x = 1200 Capital*

Als ein *discontirtes Kapital* ist der *Baarpreis einer Waare* anzusehn, wenn er dem *Preise derselben Waare auf Zeit* entgegengesetzt wird u. die Ermittlung des letztern aus dem erstern entspricht der Ermittlung des *zu discontirenden Capitals aus dem discontirten*.

##### 4) Aufsuchung des Zinsfusses:

*Wieviel % der Discount, wenn 1200 rth. für 72 Tage mit 9 11/21 rth discontirt werden?*

Das gegebne *zu discontirende Kapital*, *weil es die % für eine grosse Zeit einschliesst*, ist nicht proportional zu 100, wird es erst, *sobald v. dem in ihm enthaltnen Disconto befreit*.

| (Th. 1200 – 9 11/21) : 100 rth. Kapital = 9 11/21 Disc. : x |
|---|
| Tage 72 : 360 [Tage] |
| x = 4%. |

* * *

##### 5) Aufsuchung der Zeit.

*Wie lang hat Capital v. 1200 noch zu laufen, das à 4% mit 9 11/21 discontirt worden ist?*

| (1200 – 9 11/21 Th.) : 100 = 360 Tage : x |
|---|
| 4 Disc. : 9 11/21 |
| x = 72 Tage. |

#### I) Einfacher Discont auf 100.

##### 1) Aufsuchung des Disconts.

Zu *discontirendes Capital = 1200 fc.*, zahlbar in *72 Tagen*, *Rate of Discont* = 4%.

| Tage 360 : 72 = 4 : x; x = ⅘ (= 0.8) |
|---|
| fcs. 100.8 : 1200 = 0.8 : 9 11/21 fcs. |

Oder, wenn gegeben *das discontirte Capital v. 1190 10/21* ; discontirt à 4%, per 72 Tage, dann *Discont* gefunden so: 100 giebt für 72 Tage ⅘ discont, hence: 100 : 1190 10/21 = ⅘ : x; x = 9 11/21.

* * *

##### 2) Aufsuchung des discontirten Capitals. Neben Zinsfuss u. Zeit gegeben entweder das zu discontirende Kapital od. der Discont.

Baarwerth v. 1200 fcs., nach 72 Tagen fällig, à 4% Discont?

100 in 72 Tagen geben ⅘ (zu 4%); also 100 + ⅘, nach 72 Tagen fällig, baar = 100. 100 + ⅘ : 1200 = 100 : x; x = 1190 10/21.

*Man kann auch Discont berechnen, wie sub 1) u. v. dem zu discontirenden Capital abziehn.*

*Ist nicht das zu discontirende Kapital gegeben*, sondern *statt dessen Discont = 9 11/21 fcs* ⅘ : 9 11/21 = 100 : x. x = 1190 10/21.

* * *

##### 3) Aufsuchung des zu discontirenden Capitals; gegeben, neben Zinsfuss u. Zeit, das discontirte Capital oder der Discont.

| Wie gross Capital, das übrig lässt 1190 10/21 Capital, nach Abzug v. 4% für 72 Tage? |  | Wie gross Capital, das f. 72 Tage à 4% mit 9 11/21 discontirt wurde? |
|---|---|---|
| Tage 360 : 72 = 4 : x; x = ⅘%. fcs. 100 : 1190 10/21 = 100⅘ : x; x = 1200. |  | ⅘ : 9 11/21 = 100⅘ : x; x = 1200. |

* * *

##### 4) Aufsuchung des Zinsfusses.

*Wie viel % der Discount, wenn 1200 fcs. für 72 Tage mit 9 11/21 discontirt wurden?*

| fcs (1200 – 9 11/21) : 100 = 9 11/21 Discont : x |
|---|
| Tage 72 : 360 |
| x = 4%. |

* * *

##### 5) Aufsuchung der Zeit.

*Wie lange hat ein Capital v. 1200 fcs noch zu laufen, das à 4% mit 9 11/21 fcs discontirt worden ist?*

| fcs 1200 – 9 11/21 : 100 = 360 Tage : x |
|---|
| 4 fcs Discont : 9 11/21 fcs disct.; |
| x = 72. |

* * *

#### II) Einfacher Discont vom 100.

##### 1) Aufsuchung des Disconts. (Wie bei Zinsrechnung)

*x Discont v. 1200 fcs per 72 Tage à 4%?*

| 360 : 72 = 4 : x |  |
|---|---|
| 100 : 1200 |  |
| x = 72⨯1200⨯4 360⨯100 = 72⨯1200 9000 | x = fcs 9.6 |

* * *

*Ist das discontirte Capital gegeben*; z. B. *Capital f. 72 Tage à 4% discontirt wird* baar bezahlt mit *1190.4*. *Wie viel der Discont?*

Zinsen v. 100 in 72 Tagen = ⅘; als Procente *vom* 100 berechnet, machen das Capital 100 zu einem baaren Werth [von] 99⅕. *Also 99⅕ = ⅘ Discont*, wie viel *1190.4*?

*99⅕ : 1190.4 = ⅘ : x*; *x = 9.6*.

##### 2) Aufsuchung des discontirten Capitals.

*Wie viel betrug 1200 fcs nach Abzug v. 4% Discont per 72 Tage?*

*Discont durch 1) ermittelt = 9.6 giebt abgezogen v. 1200 = fcs 1190.4.*

Oder berechnet: *360 : 72 = 4 : x*; giebt ⅘% f. 72 Tage. Also v. 100 abgezogen ⅘ = 99⅕; hence: 100 : 1200 = 99⅕ : x; x = 1190.4.

*Wie viel betrug das discontirte Capital, wenn der à 4% per 72 Tage berechnete Discont = 9.6 fcs*

⅘ : 9.6 = 99⅕ : x x = 1190.4.

* * *

##### 3) Aufsuchung des zu discontierenden Capitals.

| Wie gross das Capital, das à 4% mit 9.6 fcs für 72 Tage discontirt worden? |  | Wie gross das Capital, das nach Abzug v. 4% Discont f. 72 Tage 119.4 fcs übrig gelassen hat? |
|---|---|---|
| fcs discontiert 4 : 9.6 = 100 Capital : x |  | Erst Discont per 72 Tage v. 100 Capital à 4% = ⅘ fcs. |
| Tage 72 : 360 |  | Dies v. 100 subtrahirt, lässt 99⅕ fcs u. dann: |
| x = 1200 fcs. |  | 99⅕ : 1190.4 = 100 : x. x = 1200 fcs. |

* * *

##### 4) Aufsuchung des Zinsfusses.

| Welches %, wozu 1200 fcs per 72 Tage mit 9.6 fcs discontirt wurden? |  | Wäre das discontirte Capital gegeben, statt des zu discontirenden, so: |
|---|---|---|
| Capital 1200 : 100 = Discont 9.6 : x |  | Capit. 1190.4 + 9.6 : 100 = Disc. 9.6 : x |
| Tage 72 : 360 |  | Tage 72 : 360 |
| x = 4% |  | x = 4%. |

* * *

##### 5) Aufsuchung der Zeit.

| Für x Tage ein Capital v. 1200 discontirt, wenn 9.6 fcs Discont à 4% berechnet? |  | Wäre statt 1200 das discontirte Capital 1190.4 gegeben so: |
|---|---|---|
| 1200 : 100 = 360 Tage : x |  | 1190.4 + 9.6 : 100 = 360 Tage : x |
| 4 Discont : 9.6 Discont |  | 4 dsct. : 9.6 |
| x = 72 Tage. |  | x = 72 Tage. |

* * *

#### III) Zusammengesetzter Discont.

Gemeine Arithmetik kann nur 2 Fragen lösen; Ermittlung des discontirten u. die des zu discontirenden Capitals.

Welchen *baaren Werth* hat *am 6 Mai 1855* eine am *6 August 1857 fällige Forderung* v. 2000 fcs mit 4% von Discont? *also für 2 Jahre 3 Monate*

| a) Discont auf 100: |  | [b)] Discont von 100. |
|---|---|---|
| x fcs Cap. = 2000 |  | x fcs Cap. = 2000 fcs Cap. |
| 104 = 100 f. 1 Jahr |  | 100 = 96 f. das 1ste Jahr |
| 104 = 100 f. 2 |  | 100 = 96 f. das 2te |
| 101 = 100 f. 3 Monate |  | 100 = 99 f. 3 Monat |
| x = 1830.804 |  | x = 1824.768. |

* * *

Um den *jetzigen baaren Werth eines später zahlbaren Werths unter Berechnung von Discont vom Discont zu ermitteln*, *so kann nur der zusammengesetzte Discont auf 100* in Anwendung gebracht werden, während der zusammengesetzte *Discont vom* 100 nur anwendbar, wie z. B. in folgendem Fall, wo Staatschuld v. 20 Mill. jährlich mit 1% so zu tilgen, dass sich dies eine % immer *auf den nach erfolgter Tilgung übrigbleibenden Capitalbetrag bezieht*. (Sieh p. 238)

### Terminrechnung.

Meint vom *kaufmännischen Gesichtspunkt* nichts als *für mehre zu verschiednen Zeiten fällige Kapitalien eine mittlere, gemeinschaftliche od. Durchschnittsverfallzeit aufzufinden*, zu welcher, ohne *Nachtheil für Gläubiger od. Schuldner, die Zahlung dieser Capitalien auf einmal geleistet werden kann*.

⦗Oekonomisch nur wichtig f. die *Berechnung der Umschlagszeit eines Capitals* (auch des gesellschaftlichen), dessen *verschiedne Bestandtheile verschiedne Umschlagszeiten haben*.⦘

Fälle möglich: I) *Die Kapitalien sind unverzinslich* (wobei die Kapitalien *gleich od. ungleich*); II) *Sie sind verzinslich.* (*wobei Zinsfuss gleich od. ungleich*)

#### I) Unverzinsliche Kapitalien.

##### 1) a) Die Capitalien sind gleich;

man *addirt die verschiednen Zeiten u. dividirt die Summe durch die Anzahl der Capitalien*.

*Z. B.* die *gemeinschaftliche Verfallzeit f. 6 gleiche Kapitalien von je 900 fcs*, in resp. *4, 5, 7, 9, 10, 14 Monaten zahlbar*?

Die Summe der Capitalien = *6 × 900 = 5400 fcs*. Die Durchschnittsverfallzeit derselben = 4+5+7+9+10+14 6 =  49/6 = 8⅙Monaten.

*5400 fcs in 8⅙ Monaten zu 4%* giebt 5400×8⅙ /300 = 900×49/300 =  9/3 × 49 = 3 × 49 = 147 Zinsen

Dieselbe Masse Zinsen:

| 900 fcs | in | 4 Mon. | = | 12 |
|---|---|---|---|---|
| 900 | 〃 | 5 | = | 15 |
| 900 | 〃 | 7 | = | 21 |
| 900 | 〃 | 9 | = | 27 |
| 900 | 〃 | 10 | = | 30 |
| 900 | 〃 | 14〃 | = | 42 |
| Zusammen |  |  | = | 147 fcs |

##### 1) b)

*vier Tratten, jede v. 1800 fcs am 7 April ausgestellt, 14 Tage, 1 Monat, 7 Wochen dato u. per Ende Juni* sollen in *eine gemeinschaftliche Verfallszeit gebracht werden*.

Erst *Verfallszeit jeder Tratte zu ermitteln*. Die erste fällig am *21 April*, 2te am *7ten Mai*, 3te *am 26 Mai*, 4te *am 30 Juni*. Um die *Anzahl der Tage zu finden, die jede Tratte noch zu laufen hat, kann man ausgehn*:

Erstens. Vom Tag der Ausstellung (1 Monat = 30 Tage)

| vom 7t April | bis 21 April | = | 14 Tage |
|---|---|---|---|
|  | 7 Mai | = | 30 |
|  | 26 Mai | = | 49 |
|  | 30 Juni | = | 83 |
|  |  |  | 176 Tage; dividirt durch 4 = 44 Tage vom 7 April. Also vom 7 April an gerechnet 44 Tage giebt – 21 Mai. |

Zweitens vom Tag der frühsten Verfallszeit

| von 21 April | bis 21 April | = | 0 Tage |
|---|---|---|---|
|  | 7 Mai | = | 16 |
|  | 26 Mai | = | 35 |
|  | 30 Juni | = | 69 |
|  |  |  | 120 Tage dividiert durch 4 = 30 Tage. vom 21 April = 21 Mai. |

Drittens. v. einem beliebigen Tag (der jedoch die frühste Verfallzeit nicht überschreiten darf), z. B. von Tag des Empfangs des Trattenavises, sei z. B. 15 April.

| Dann vom 15 April | bis 21 April | = | 6 Tage |
|---|---|---|---|
|  | 7 Mai | = | 22 〃 |
|  | 26 Mai | = | 41 〃 |
|  | 30 Juni | = | 75 〃 |
|  |  |  | 144 Tage 144 Tage dividirt durch 4 = 36 Tage vom 15 April – 21 Mai. |

##### 2) Die Kapitalien sind ungleich.

Die Berechnungsart gründet sich darauf, dass z. B. *100 fcs in 9 Monaten* ebenso viel Zinsen geben wie *9 × 100 fcs in 1 Monat* (*bei gegebnem Zinsfuss*).

*Z. B. Ein Commissionair in London hat für fremde Rechnung folgende Verkäufe gemacht:*

| £ | 250 | am 8 Mai | Ziel | 3 Monat |
|---|---|---|---|---|
| 〃 | 135 | 29 〃 | 〃 | 3 |
| 〃 | 220 | 23 Juni | 〃 | 2 |
| 〃 | 196 | 10 Juli | 〃 | 2 |
| 〃 | 104 | 21 〃 | 〃 | 8 Tage |

*Am 24 Juli will er seinen Committenten Verkaufsrechnung mit gemeinschaftlicher Verfallszeit f. die einzelnen Verkäufe ertheilen.* *Wann die gemeinschaftliche Verfallszeit?*

*Um die Zahl der Tage zu finden*, *die jeder der Posten* noch zu laufen hat, *gerechnet vom 24 Juli* (*Datum der Verkaufsrechnung*) oder vom *29 Juli* (frühste Verfallszeit)

| a) vom 24 Juli | bis 8. August | = | 14 Tage |
|---|---|---|---|
|  | 29 〃 | = | 35 〃 |
|  | 23 〃 | = | 29 |
|  | 10 Septbr | = | 46 |
|  | 29 Juli | = | 5. |

| b) vom 29 Juli | bis 8 Aug. | = | 9 Tage |
|---|---|---|---|
|  | 29 〃 | = | 30 |
|  | 23 〃 | = | 24 |
|  | 10 Sept. | = | 41 |
|  | 29 Juli | = | 0 |

* * *

Nachdem also die Zahl der Tage gefunden, die jedes der Capitalien noch zu laufen, *multiplicirt man jedes derselben mit der ihm zugehörigen Zeit*, *addirt die dadurch erhaltnen Producte* u. *dividirt ihre Summe durch die Summe der Capitalien*. Der *Quotient* giebt die *Zahl der Tage*, *nach deren Ablauf* – vom Tag an gerechnet, von welchem man ausgegangen ist – *die gemeinschaftliche Verfallzeit eintritt*. So viel wie möglich die Capitalien u. Zeiträume, für sich jedes od. untereinander, reducirt, soweit sie durch eine u. dieselbe Zahl kürzbar.

| Giebt a) | 250 | × | 14 | = | 3500 |
|---|---|---|---|---|---|
|  | 135 | × | 35 | = | 4725 |
|  | 220 | × | 29 | = | 6380 |
|  | 196 | × | 46 | = | 9016 |
|  | 104 | × | 5 | = | 520 |
|  | 905 |  | in |  | 24,241 = 26  611/905, |
|  |  |  |  | = | about 27 Tage v. 24 Juli – 21 August gemeinschaftliche Verfallzeit |

| b) | 250 | × | 9 | = | 2250 |
|---|---|---|---|---|---|
|  | 135 | × | 30 | = | 4050 |
|  | 220 | × | 24 | = | 5280 |
|  | 196 | × | 41 | = | 8036 |
|  | 104 | × | 0 | = | 0 |
|  | 905 |  | in |  | 19616 = 21 611/905 |
|  |  |  |  | = | 22 Tage ca. vom 29 Juli – 21 Aug. |

Die Summe der erhaltenen Producte bildet ein Capital das auf *einen Tag ausgeliehn ist*.

#### II) Ungleiche Capitalien, ungleicher Zinsfuss, ungleiche Verfallszeit; zu welchem mittleren Zinsfuss diese Capitalien auf einmal abtragbar?

z. B. Zu *zahlen 400 fcs in 4 Monaten*, *200 in 6 Monaten*, *400* in 8, u. *800* in 9 Monaten u. bis dahin mit *5, 4, 3½ u. 6% zu verzinsen*.

*Erst bestimmt man den mittleren Zinsfuss.*

| Da die Kapitalien hier | = | 4 × (100) |
|---|---|---|
|  |  | 2 × (100) |
|  |  | 4 × (100) |
|  |  | 8 × (100) |
| so dividiert man sie alle durch 100 u. erhält so 4, 2, 4, 8 f. die Capitalien. |  |  |

*Man multiplicirt nun jedes Capital mit dem ihm zugehörigen Zinsfuss, addirt die dadurch erhaltnen Producte u. dividirt deren Summe durch die Summe der Kapitalien.* *Der Quotient ist der mittlere Zinsfuss.*

Also:

| 4 | × | 5 | = | 20 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | × | 4 | = | 8 |
| 4 | × | 3½ | = | 14 |
| 8 | × | 6 | = | 48 |
| 18 |  | in |  | 90 |
| giebt 5% als mittleren Zinsfuss. |  |  |  |  |

Jedes der bei *Berechnung des mittleren Zinsfusses erhaltnen Producte multiplicirt man nun mit der ihm zugehörigen Zeit*, *addirt die dadurch gefundnen Producte u. dividiert sie durch die Summe der aus Capital × Zinsfuss erhaltnen Zahlen*.

Also:

| 20 | × | 4 | = | 80 |
|---|---|---|---|---|
| 8 | × | 6 | = | 48 |
| 14 | × | 8 | = | 112 |
| 48 | × | 9 | = | 432 |
| 90 |  | in |  | 672 = 7 7/15 Monat gemeinschaftliche Verfallszeit. |

⦗Kann zusammen geschehn.

| Capitalien | × | Zinsfuss | = | Product v. Capital mit Zinsfuss | × | mit Verfallszeit |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | × | 5 | = | 20 | × | in 4 | = | 80 |
| 2 | × | 4 | = | 8 | × | 6 | = | 48 |
| 4 | × | 3½ | = | 14 | × | 8 | = | 112 |
| 8 | × | 6 | = | 6 | × | 9 | = | 432 |
| Summe der Capitalien = 18 dividirt in 90 u. 90 dividirt in 672 = 7 7/15 Monate gemeinschaftl. Verfallszeit. Giebt 5% als mittleren Zinsfuss |  |  |  |  |  |  |  |  |

Man kann auch erst *die mittlere Verfallszeit* bestimmen, indem man die Capitalien

| 4 | multiplicirt mit ihren Zeiten | 4 | = | 16 |
|---|---|---|---|---|
| 2 |  | 6 | = | 12 |
| 4 |  | 8 | = | 32 |
| 8 |  | 9 | = | 72 |
| 18 |  |  | = | 132 |
| 18 in 132 giebt hier 7⅓ Mnt. mittlere Verfallszeit |  |  |  |  |

| Die Producte der Verfallszeiten mit den Capitalien | = | 16 | jetzt multiplicirt mit zugehörigem Zinsfuss | × | 5 | = | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  |  | 12 |  | × | 4 | = | 48 |
|  |  | 32 |  | × | 3½ | = | 112 |
|  |  | 72 |  | × | 6 | = | 432 |
|  |  | 132 |  |  |  |  | 672 = 5 1/11% mittleren Zinsfuss. |

Bei der 2ten Lösung ist die *Verfallszeit kürzer* (7⅓ Monate) als bei der ersten (7 7/15 Monate), dagegen der Zinsfuss (5 1/11%) grösser als bei der ersten (wo = 5%). Da aber *Zeit u. Zinsfuss* in *indirectem Verhältniss*, so richtig beides: 1) *Je grösser Zinsfuss* (5 1/11%) gegen 5%, *desto kleiner Zeit* (5 1/11 : 5 = 7 7/15 : x = 7⅓ Monat) u. 2) *je kleiner die Zeit* (7⅓ Monat) im Vergleich zu 7 7/15 Monat, *desto grösser der Zinsfuss* (7⅓ : 7 7/15 = 5% : x; x = 5 1/11) Hence Zinsen v. 1800 fcs in 7⅓ Monat à 5  1/11 % = den Zinsen v. 1800 fcs in 7  7/15 zu 5%.)

⦗Geht man davon aus, dass *jedes zu einer bestimmten Zeit zahlbare Capital*, *wenn es bis dahin nicht verzinst wird*, als ein Werth anzusehn, der *die Zinsen einschliesst*, *welche das Capital noch zu laufen* hat – worauf sich die *Berechnung des Disconts nach dem Zinsfuss auf 100* gründet – so auch die *Auffindung des mittleren Zahlungstermins für mehrere zu verschiednen Zeiten fällige*, *bis dahin aber nicht zu verzinsende Capitalien* zu modificiren wie folgt.

Z. B. *824 fcs fällig* in *6 Monaten*, *860* in *15 Monaten*, *648* in *16 Monaten* wenn Zinsfuss angenommen = 6%; diese sollen auf einmal abgetragen werden:

*Man ermittelt zuerst den baaren Werth der einzelnen Capitalien.*

| Die *Summe der Capitalien* = *824 + 860 + 648* = 2332 fcs |
|---|
| Davon abgezogen ihr nebenstehend berechneter Baarwerth = 2200 |
| *Bleiben 132 f. Zinsen.* |

| xxxx xxxx |  |
|---|---|
| (12 : 6 = 6% : x; x = 3%) |  |
| (103 : 824 = 100 : x =) | 800 fcs |
| (12 : 15 = 6 : x; x = 7½%) |  |
| (107 : 860 = 100 : x) x =) | 800 fcs |
| (12 : 16 = 6 : x; x = 8%) |  |
| (108 : 648 = 100 : x) = | 600 fcs |
|  | zus. = 2200 fcs |

*Wie viel Zeit gehört dazu, um diese Zinsen mit 2200 Th. à 6% zu gewinnen?*

| 2200 Capital : 100 Capital = 12 Monate : x |
|---|
| 6% : 132 fcs Zinsen |
| x = 12 Monat; *welches die mittlere Verfallszeit* |

*Nach der kaufmänn. Rechnung dagegen.*

| 824 | × | 6 | = | 4944 |
|---|---|---|---|---|
| 860 | × | 15 | = | 12900 |
| 648 | × | 16 | = | 10368 |
| 2332 |  | in |  | 28212 = 12 57/583 Mt |

Zeit hier länger; weil Kaufmann nach Satz *vom* 100 rechnet, also jedes später fällige, bis zum Eintritt der Verfallszeit aber nicht zu verzinsende Kapital nicht als einen *Werth ansieht*, *der die Zinsen einschliesst*, sondern als *solchen mit welchem erst die Zinsen verdient werden sollen von da ab, wo derselbe fällig wird*. Der Discontsatz *vom 100* giebt grösseren Discont, also auch, um ihn zu verdienen, mehr Zeit erforderlich.

Der Discont auf die oben angegebnen Capitalien, zu 6% nach dem Satz vom 100: giebt auf deren Summe (2332) 141.06 Discont; wie lange nun 2332 fcs noch zu laufen, wenn der à 6% berechnete Discont = 141,06?

| 2332 | : | 100 | = | 12 Mt. | : | x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 6 | : | 141.06 |  | Discont |  |  |
| x =  28212/2332 = 12 57/583 Mt. |  |  |  |  |  |  |

### Wechselrechnung.

Zwei *Preiscolumnen* (continentale Courszettel): *Geld od. Gesucht* („Argent“ od. *„demandé“*), und *„Briefe“* oder *„Angeboten“* (*„Lettres“* or *„Offert“* )

#### I) Einfluss von discont auf Wechselpari.

Wenn 2 Plätze, die mit einander *direct wechseln*, d. h. gegenseitige Course auf einander notiren, *einen u. denselben Münzfuss* haben, so die Coursnotirung in der Regel für 100 (Gulden, Thaler, fcs etc) u. die *veränderliche Valuta* dann stets *im Geld desjenigen Platzes* ausgedrückt, um dessen Coursnotirung es sich handelt. Z. B. Leipzig ist *in Berlin* mit 99⅞ Th. notirt, so heisst dies *99⅞ Th. in Berlin* = *100 Th.* (fest) in Leipzig. Also ⅛% Verlust. Mit % *Verlust* od. *Gewinn* notirt z. B. Paris seine Course auf die inneren Plätze.

a) *Ist feste Valuta im Ausland, so Discont zu addiren, wenn Cours höher, zu subtrahiren wenn er niedriger werden soll.*

*3 Monat Papier auf Paris in Leipzig notirt 79½; wie viel kostet 14 Tage Papier bei 5% Discont?* (*Feste Valuta im Ausland = 300 fcs*)

*Tage* 90 – 14 = *76 Tage*; *76 Tage à 5% = 0.838 od. ⅚ about*; der Cours *also = 79½ + ⅚ = 80⅓* ; *Discount addirt*, denn *für 300 fcs in 14 Tage Papier* *mehr* Thaler gezahlt als f. *300 fcs in 3 Monat Papier*.

Wäre umgekehrt 14 Tag Papier = 80⅓, so how much für 3 Monat Papier zu 5% Discont? *14 Tage + 76 = 90*. Also Discont f. 76 zu berechnen, i. e. about ⅚; abzuziehn 80⅓ – ⅚ = *79½* , da für *300 fcs in 3 Monats* Papier *weniger* gezahlt wird als f. *300 fcs in 14 Tagen*.

b) *Ist feste Valuta im Inland*, so *umgekehrt*; Discont zu *subtrahiren*, wenn *Curs erhöht*, zu *addiren* wenn Curs *erniedrigt* werden soll. Z. B. wenn *kurz Amsterdam* in *Hamburg* notirt *35,95* (fl.) (berechnet auf *40 M.Bo. fest*), so, bei 4% Discount, *2 Monat Papier* zu notiren: *36,19*; (je länger das *Papier zu laufen*, desto *weniger ist es werth*; desto *mehr florins also in Hamburg zu zahlen für 40 M.Bo fest*)

*Beispiele:* 1) *Augsburger 2 Mt. Papier* in Berlin *56.24* (i. e. *56 Th. 24 Sgr. für 100* f.S.W.) Wie viel bezahlt für *3 Monat* Papier mit 4% Discount? (*Feste Valuta hier* im Ausland (Augsburg) *Zeitdifferenz* der Sichten = 1 Monat; Discont f. 1 Monat = 5⅔ sgr. Dieser Discont abzuziehn; also Curs = *56.24 – 5⅔ = 56,18⅓ als Curs f. 3 Monate*. (da man weniger Thaler für 100 fl. [zahlt] die 3 Monate zu laufen)

a) +2) *2 Mt. Papier auf Berlin* steht in *Bremen* 110½, welchen *Curs giebt dies für kurze Sicht bei 4½% Discont*? Zeitdifferenz hier = 60 Tage (2 Monate) (*100 Thlr Gold* in Bremen *feste* Valuta) hier im *Inland* (*Bremen*, gegen *Berlin Ausland*) Bei Discont v. 4½% auf 60 Tage = *0.83 od. ca ⅚%*. Man kauft mit 100 Gold fest um so *weniger* Berliner *Thaler*, je *kürzer das Papier*, so Discont abzu*ziehn*. Also *Cours der kurzen Sicht = 110½ – ⅚ = 106⅔* .

b) +3) Kurz *Pariser Papier in Hamburg notirt 190½* ; *wie bei 4% Discont 2 Monat Papier*, wovon *15 Tage* verflossen? (*Feste Valuta* im Inland *Hamburg* = *100 Bo Mark*)

Differenz des Termins 60 – 15 = *45 Tage*; dafür *Discont* à 4% = 0.95 od.  15/16. Je länger das Pariser Papier, desto mehr fcs gekauft mit 100 Bo Mark; also Discont zu addiren; der gesuchte Curs daher = 190½ + 0.95 fcs = *fcs 191.45*

4) *In London kurz Amsterdam* notirt f. 11.15 (*11 florin, 15 Stüber*) (*20 Stüber = 1 fc.*), *3 Monat* mit *11.17½* Sterling; *wie 1 Monat zu berechnen*? für 11.15 St. = *f. 11.75*; f. 11. u. 17½ Stüber = *f. 11.875*) ⦗feste Valuta in *London* = 1£⦘ Differenz zwischen *kurzem Kurs* u. *3 monatlichen* = 11.875 – 11.75 = *12½ centimes*. Dies die Differenz *für 3 Monate u. Kurz*; *also für 3 Monate = 4⅙* . Dieser Discount *zu addiren*, denn je länger das Papier, desto mehr florins gekauft mit £1.

| Also | 11.75 |  |  |
|---|---|---|---|
|  | + 4⅙ |  |  |
|  | f. 11.79.⅙ | = | f. 11.15⅚ St. |

5) In Bremen ist *2 Mt Londoner mit 612*, *kurze Sicht* mit *617* (*Th. Gold für 100£*) notirt; *welcher Discontfuss ergiebt sich daraus*? (feste Valuta hier im Ausland London = 100£.)

| Differenz: | kurze Sicht | = | 617 |
|---|---|---|---|
|  | 2 Monat | = | 612 |
|  |  |  | 5 |

= 5 Discont auf 617 per 2 Monat; Macht auf 12 Monat = 30 Th. auf 617 Th. (p. Jahr) 30 : 617 = x : 100; x =  3000/617, *circa* (nicht ganz) *5% Discountfuss* .

6) *Gesetzliche Pari zwischen Hamburg u. Petersburg 34.17β* ; wie stellt sich *3 Monat Cours auf Petersburg* mit *6%*?

6% p. Jahr für 3 Monat = *1½%*; beträgt auf 34.17 = *0.51*. Die feste *Valuta hier 1 Rubel im Ausland* (für Hamburg); *Discont zu subtrahiren*; man *giebt um so weniger Schilling f. 1 SilberRubel*, je *länger das Papier* ist. Der 3 Monat Cours sollte also sein: 34.17β – *0.51 = 33.66* od. *33⅔β*. Steht aber (*a. 1859*) *= 31⅛* ; also mehr als 8% zu niedrig. Diese Differenz kann ihren Grund z. Th. in *höherem als dem benutzten Zinsfuss* haben, rührt aber hauptsächlich aus der russischen Depreciation her.

* * *

Ist *die feste Valuta* im *Ausland*, so *Discount* zu *addiren*, wenn *Curs höher sein soll* ⦗u. er muss höher sein, wenn das Papier kurz als wenn lang; es ist mehr werth, wenn *kurz als wenn lang*⦘, zu *subtrahiren*, wenn er niedriger werden soll (man giebt weniger f. langes als kurzes Papier.)

Ist die *feste Valuta im Inland*, so zu *subtrahiren* wenn Curs *höher* sein soll, zu *addiren*, wenn *niedriger*. Man erhält weniger, wenn Papier kurz, man erhält mehr, wenn Papier lang.⦘

##### 1) Feste Valuta im Ausland.

a) *Kürzere Sicht zu berechnen wenn längere gegeben*; *man hat mehr inländisches Geld zu zahlen f. gegebne auswärtige Valuta wenn die Sicht kürzer als wenn sie länger*. *Also der Discount zu addiren zu den längeren Sicht paper.* *Der höhere Kurs hier der ungünstige für die Inländer.*

*3 Monat Papier zu Paris in Leipzig notirt 79½* Thaler für *300 fcs* (*feste Valuta in Paris, Ausland f. Leipzig*); *wie viel für 14 Tage Pariser Papier bei 5% Discont?*

*Differenz der Fristen* = *Tage 90 – 14* = 76; Discont dafür zu 5% = 0.838 od. ⅚ about. Dieser Discont *zu addiren zu der längeren Frist*; *für 14tägiges Pariser Papier mehr Thaler gezahlt als f. 3 monatliches*. Als 79½ Th. + ⅚ = *80⅓* Th. Dies der *Kurs für die kürzere Frist*.

b) *Längere Sicht zu berechnen*. Man hat *weniger inländisches Geld zu geben f. die längere Frist f. die gegebne ausländische Valuta*. *Also Discont zu subtrahiren* v. *der kürzerern Frist*. *Der niedrigere Kurs hier der günstige f. die Inländer.*

*Gesetzliches Pari zwischen Hamburg u. Petersburg 34.17β* (*β = Hamburger Schillinge*) *f. 1 SilberRubel* ⦗die *feste Valuta in Petersburgh, dem Ausland*⦘. Zu berechnen f. 3 monatlich Papier *zu 6% Discont*?

6% p. Jahr giebt f. 3 Monate = 1½%; beträgt auf 34.17β = 0.51. Also – unterstellt dass keine Depreciation des russ. Papiergelds – der *3 Monat Curs* = 34.17 – 0.51 = *33⅔β*.

Man *giebt um so weniger Schilling für 1 Rubel*, je *länger das Papier ist*. *Discont wird daher subtrahirt* v. *dem Wechselpari im gegebnen Fall*.

Ad 1) a) *Aus der Differenz zwischen kurzer Sicht u. Langer kann der Discontfuss berechnet werden*.

Z. B.) *Im Wechselkurs für Bremen mit London* ist *die feste Valuta im Ausland (England) = 100£*; das *Wechselpari (Kurze Sicht)* = *617 (bremische) Thaler Gold*; *2 Monatl. Papier auf London sei notirt mit 612*; *welchen Discontfuss ergiebt dies?*

| Differenz: | Kurze Sicht | 617 |
|---|---|---|
|  | 2 monatl. Papier | 612 |
|  |  | 5; |

also *5 Thaler Differenz*. 5 Thaler Discont auf 617 f. 2 Monat; dies macht auf Jahr (12 Monat) = 6 × 5 Th. und *30 : 617 = x : 100*; x =  3000/617 = about 5% *discontfuss*.

##### 2) Feste Valuta im Inland:

a) *Kürzere Sicht zu berechnen, wenn längere gegeben*; *man kauft für gegebne inländische Valuta um so weniger auswärtiges Geld*, je *kürzer das Papier*; also *der Discont zu subtrahiren von der kürzeren Sicht*.

*2 Monat Papier auf Berlin steht in Bremen 110½* ; *welchen Curs giebt dies f. kurze Sicht bei 4½% Discount?*

*100 Thaler Gold (in Bremen, Inland) feste Valuta.* Die Zeitdifferenz = 60 Tage. 4½% Discont für 60 Tage = 0.83 od. ca ⅚. Dieser Discont *abzuziehn* von der *langen Frist* 110½ – ⅚ = *109⅔ (pr.) Thaler* für die kurze Sicht.

b) *Längere Sicht zu berechnen* . Man *erhält für gegebne inländische Valuta mehr ausländisches Geld* je länger *die Sicht*. *Also Discount zu addiren zu der kürzeren Frist.*

Im *Wechselkurs v. Hamburg mit Paris feste Valuta in Hamburg = 100 Bo Mark*; *Kurz Papier auf Paris sei notirt 190½* ; *wie, bei 4% Discont, zu notiren 2 Monate Papier, wovon 15 Tage verflossen?*

Differenz der Tage: 60 – 15 = *45* T.; dafür Discont à 4% = *0.95* od.  15/16. Je länger das Papier, je mehr fcs gekauft mit *100 Mk Bo* ; also *Discont zu addiren*; fcs 190½ + 0.95 = *fcs 191.45 ct*. Dies der gesuchte Kurs *für 45 Tage*.

*In Wechselkurs v. London mit Amsterdam feste Valuta in London = 1£*; *kurz Amsterdam notirt mit fl. 11.15 Stüber*, *wie viel f. 1 monatliches Papier zu berechnen*, wenn *3 Monat notirt* mit *11.17½ St.* (20 Stüber = 1 fc); 11 fl. 15 Stüber = *fl. 11.75*; fl. *11.17½ Stüber* = *fl. 11.875*.

Die Differenz zwischen 3 monatl. Papier u. kurzem = 11.875 – 11.75 = *12½ centimes*.

12½ centimes f. 3 Monate macht Discont für *einen* Monat v. 4⅙ ct. Diese zu addiren zu der kurzen Sicht; je länger das Papier auf Holland, desto mehr florins gekauft mit 1£; also fl 11.75 + 4⅙ ct. = 11.79⅙ = fl.11, Stüber 15⅚.

* * *

Vergleichen wir nun die Fälle sub 1) u. 2)

*1) a) u. 2) a)* *Kürzere Sicht zu berechnen, wenn längere gegeben.* Die *kürzere Sicht ist mehr werth u. kostet daher mehr als die* längere. Dass ein Wechsel mehr od. weniger kostet, da hier Geld mit Geld verglichen, kann nur in der Geldsorte ausgedrückt werden, die als *variable Valuta* gilt. Ist die *feste Valuta im Ausland*, die *variable* im Inland, so drückt sich das *mehr Kosten* darin aus, dass für *gegebne Summe ausländischen Geldes, z. B. 100 fcs* mehr *inländisches Geld* gezahlt werden muss. Der *Discount daher zu der längeren Sicht zu addiren*. (1, a). Ist die *feste Valuta im Inland*, die *variable im Ausland* , so drückt sich das *Mehr kosten* darin aus, dass f. je *100£* z. B. *weniger auswärtiges Geld* erhalten wird, der *Discont ist daher von der längeren Sicht abzuziehn, um die kürzere zu finden*.

*1b) u. 2b)* *Kürzere Sicht gegeben, längere zu berechnen.* Die *längere Sicht minder werth u. kostet daher weniger als die kürzere*. Ist die *feste Valuta im Ausland*, so drückt sich das Weniger Kosten darin aus, dass *weniger inländisches Geld* f. die auswärtige feste Valuta gegeben wird; also *Discount abzuziehn* v. *der kurzen Frist*. (1, b) Ist die *feste Valuta im Inland*, so drückt sich dasselbe fact umgekehrt darin aus, dass mehr *ausländisches Geld* für die feste innere Valuta gegeben wird. Also Discont zu addiren zu kurzer Frist.

#### II) Wechselreductionen.

*Verwandlung einer Wechselsumme nach einem gegebnen Wechselkurs*, sei es dass die *Wechselsumme* als einheimische Valuta in fremde od. als fremde Valuta in einheimische zu verwandeln ist. Zu den Wechselreductionen gehört auch die Aufsuchung des Courses, zu welchem eine solche Umwandlung stattgefunden hat.

##### A) Directe Wechselreductionen.

(findet nur statt f. Orte, die *in directem Wechselverkehr mit einander stehn* (a drittura), d. h. die ihre Course an ihren wechselseitigen Börsen notiren.)

Der folgende *Berliner Courszettel* gilt auch für *Leipzig*; der *Cours v. Leipzig auf Berlin* ist 100 Thaler ± f. *100 Th. fest in Berlin*.

Berliner Courszettel. (Mitte Febr. 1859)

| Plätze womit Berlin direct wechselt. | Sicht. | Cours. | [Erklärung der Course] |  |
|---|---|---|---|---|
| Amsterdam | Kurze Sicht | 142⅜ | Thaler für 250 f. holländ. fest |  |
| do | 2 Mnt. | 142⅛ |  |  |
| Augsburg | 2 Mnt. | 56.26 |  | Th. u. Silbergrosch. für 100 florins Süddeutsche Währung fest |
| Bremen | 8 Tage | 109¼ | Th. f. 100 Th. Gold or Louisd’or à 5 rthlr fest |  |
| Breslau | 2 Mnt. | 99⅓ | Th. in Berlin für 100 rth. in Breslau fest. |  |
| Frankfurt a. M. | 2 Mnt. | 56.26 | Th. u. Silbgr. f. 100 fl. S. W. fest |  |
| Hamburg | K. S. | 151⅞ | Th. für 300 Mk Bo fest. |  |
| do | 2 Mnt. | 151¼ |  |  |
| Leipzig | 8 Tage | 99¾ | Th. für 100 Th. in Leipzig fest |  |
| do | 2 Mnt. | 99⅓ |  |  |
| London | 3 Mnt. | 6.21 |  | Th. u. Sgr. für 1£ fest. |
| Paris | 2 Mnt. | 79⅜ | Th. für 300 Fs fest |  |
| Petersburg | 3 Wochen | 99⅝ | f. 100 Silber Rubel fest. |  |
| Wien | 8 Tage | 93½ | Th. f. 150 fl. Oesterr. W. fest. |  |
| do | 2 Monate | 92½ |  |  |

1) *Wie gross ist der Ertrag* v. *fl. 1832.50 per 7. Mai auf Amsterdam*, *am 26 Feb. begeben*; a) zum *Cours* v. *142⅜ für die Sicht des Wechsels*? b) zum *Cours v. 142⅝ für 2 Monat Papier mit 3% Discount*?

a) *250 fl. : 1832.50 fl. = 142⅜ Th. : x*; *x = Th. 1043.6087 (= 18 Sgr.)*

b) *Erste Berechnung:* *Reduction des Curses für 2 Monat Papier* *für Papier am 7. Mai fällig*.

*2 Monate vom 26 Feb. = 26 April*; der Wechsel fällig 11 Tage später; vom *Course für 3 Monate* ist daher Discont per 11 Tage zu kürzen (Discont à 3 of. *120 Tage* = 1.42625; f. *11 Tage* = *0.13*; *Discont* also *0.13 Th*. *142.625* – *0.13* = *142½* *Cours für Papier* per 7 Mai. *250 f. : 1832.50 f.* = *142½ : x*; x = Th. *1044.525* (*15 Sgr.*)

* * *

*Zweite Berechnung.* *Man betrachtet den Wechsel als 2 Monat Papier, berechnet ihn nach dem Cours dieser Sicht u. zieht den Discount f. so viel Tage ab als der Wechsel später fällig wird.* Dies die exactere Methode.

*250 fl. : 1832.5 = 142⅝* (?) *: x*; *x = 1045 Th. 13 Sgr*. *Ab Discont per 11 Tage à 3%* = *29 sgr.*; lässt *1044 Th. 14 sgr*.

* * *

2) *Wie viel Gulden in kurzer Sicht trassirt auf Amsterdam* für *950 Th. 20 Groschen à 142⅜ (ist k. S.)*? *Th. 142⅜ : 950⅔ Th* = *250 f* : x; *x = f. 1669.30 (cts)*

* * *

3) *Man erhielt f. 1669 fl. 30 cts holländisch in Leipzig 950 Th. 20 gr.*; *zu welchem Cours wurden sie begeben?* *fl. 1669.30 : 250 fl. = 950⅔ Th.: x*; *x = 142⅜* .

## Zusammengesetzte Zinsrechnung.

### Procentrechnung. (Allgemeine Formel)

#### I) Einfache Aufsuchung der Procente.

*Gegeben Procentsatz = %* *Gegeben Werth*; je nachdem er *rein*, *vermehrt* od. *vermindert*

| Procent | 1) *von* Hundert. |  | 1) 100 : Capital = Procentsatz : x |  |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|
|  | 2) *auf* |  | 2) 100 + Procentsatz : Capital = Procentsatz : x |  |  |  |
|  | 3) *im* |  | 3) 100 – Procentsatz : Capital = Procentsatz : x |  |  |  |

in 2) *das Capital*, bien entendu = *Capital + Procentsatz* in 3) das Capital vermindert um den Procentsatz.

* * *

#### II) Aufsuchung eines nach gewissem Procentsatz veränderten Werths.

*Gegeben ein Werth u. Procentsatz, wonach er verändert.*

3 Fragen:

1) *Wie viel der gegebne Werth, wenn um gewissen % vermehrt od. vermindert?* 2) *Wie viel ein Werth, bevor er um gewissen % vermehrt wurde?* 3) *Wie viel ein Werth, bevor er um gewissen % vermindert?*

1) 100 : Werth = 100 (+ oder – %) : x 2) 100 + % : Werth = 100 : x 3) 100 – % : Werth = 100 : x

* * *

#### III) Aufsuchung des Werths wovon gewisse gegebne Procente gerechnet worden sind.

*Hier muss ausser den Procenten auch der Procentsatz gegeben sein.*

Wenn der Procentsatz des Grundkapital 100, reines Kapital, od. 100 + m vermehrtes Kapital (*Procente auf* 100) od. 100 – m (*Procente im* 100) erfordert, *welchen Werth erfordern die gegebnen Procente*. Je nach den 3 Fällen *Procente von, auf od. im 100*.

In diesem Fall also.

1) *Procente von 100 : gegebnen Procenten = 100 : x* Z. B. *6 : 75 = 100 : x = 1250*

2) *Procente v. 100 : gegebnen Procenten = 100 + Procents. : x* Z. B. *6 : 75 = 106 : x = 1325*

3) *Procente im 100 : gegebnen Procenten = 100 – Procentsatz : x* Z. B. *6 : 75 = 94 : x* [; x] = 1175.

* * *

#### IV) Aufsuchung des Procentsatzes.

*Ob auf reines Kapital*, *vermehrtes*, od. *vermindertes gerechnet*, *Procentsatz bleibt immer derselbe*, *da die Vermehrung od. Verminderung stets um eben diesen Procentsatz gerechnet*; *also stets Procent von 100*. *Bei vermehrtem Kapital beim Ansatz dies daher auf reines Kapital zu reduciren durch Subtraction der in ihm enthaltnen Vermehrung, bei vermindertem Kapital durch Addition der in ihm enthaltnen Verminderung.* *Jedesmal die Frage*, *wie viel giebt 100*, *i. e. was ist der Procentsatz*, *wenn das gegebne Capital die berechneten Procente giebt*?

1) *Dem gegebnen Capital : 100 = wie die gegebnen Procente : x* *der Procentsatz = x, derselbe ob Verlust od. Gewinn*.

2) *Das gegebne Capital hier vermehrtes Capital um die gegebnen Procente*. Also: *Das Capital – den gegebnen Procenten : 100 = die gegebnen Procente : x*

3) *Das gegebne Capital hier vermindert um die gegebenen Procente* *Also:* *Capital + gegebnen Procente : 100 = gegebne Procente : x*

* * *

Im Folgenden zusammengestellt die allgemeine Form des Ansatzes in Beispielen:

(*Dies auf vorhergehender Seite*)

I) *Einfache Aufsuchung der Procente.* 1) 100 : 62½ = 7 : x; 2) 107 : 62½ = 7 : x; 3) 93 : 62½ = 7 : x

* * *

II) *Aufsuchung eines nach gewissem Procentsatz veränderten Werths.* 1) *100 : 62½ = 107 : x*; 2) 107 : 62½ = 100 : x; 3) 93 : 62½ = 100 : x

* * *

III) *Aufsuchung des Werths von welchem gegebne Procente bei gegebnem Procentsatz* gerechnet worden. 1) 7 : 62½ = 100 : x; 2) 7 : 62½ = 107 : x; 3) 7 : 62½ = 93 : x

* * *

IV) *Aufsuchung des Procentsatzes* 1) 62½ : 100 = 7 : x; 3) 69½ – 7 : 100 = 7 : x; 3) 55½ + 7 : 100 = 7 : x.

* * *

#### Allgemeine Formel für die verschiednen allgemeinen casus der Procentrechnung.

*Der Procentfuss (rate) heisse pʹ*; z. B. pʹ = m/100 = m%; da aber die im Zähler ausgedrückte absolute Grösse oder Anzahl der Procente, in den Ansätzen, von 100 getrennt erscheint (wie z. B. in 100 : 80 = 10 : x; 10, wodurch die Höhe des Procentfusses ausgedrückt, der Zähler von  10/100, von 100 getrennt auftritt), so nennen wir *p* den Zähler der Procentrate, aber *P* die *Anzahl Procente, die ein gegebnes Kapital liefert* (ein von 100 also verschiednes Kapital); den in Rechnung kommenden Werth od. Capital *C*.

* * *

##### I) Aufsuchung der Procente (P);

gegeben pʹ in C (*resp. C vermehrt um P oder vermindert um P*)

| 1) | 100 : C = p : x; |  | 2) | 100 + p : C = p : x |  | 3) | 100 – p : C = p : x |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | x = pC/100; |  |  | x = pC/100+p |  |  | x = pC/100–p |

* * *

##### II) Aufsuchung eines nach gegebnem pʹ veränderten Werths.

1) *Wieviel beträgt C wenn pʹ vermehrt od. vermindert?* 2) *Wie gross war C, bevor um pʹ vermehrt?* 3) *Wie gross war C, bevor um pʹ vermindert?*

| 1) | 100 : C = 100 + p : x; |  | 2) | 100 + p : C = 100 : x; |  | 3) | 100 – p : C = 100 : x |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | x = C×100+p/100 |  | 2) | x = C×100/100+p |  | 3) | x = C×100/100–p |

Das x sub 1) kann sowohl + als –, Gewinn od. Verlust ausdrücken, nämlich *100 : C = 100 + p : x*; *100 : C = 100 – p : x*; das x bleibt dasselbe.

C soll berechnet werden, je nachdem es vermehrt od. vermindert z. B. um 3%. Kann daher auch *direct* berechnet werden: *C + pʹ*; *C – pʹ*, ohne Ansatz.

* * *

##### III) Aufsuchung des Werths wovon gegebne P gerechnet zu gegebnem pʹ.

In 1) berechnet zu % *von*, in 2) *auf*, in 3) *im* 100 der *Betrag*, *wovon P die gegebnen Procente*.

| 1) | p : P = 100 : x; |  | 2) | p : P = 100 + p : x; |  | 3) | p : P = 100 – p : x |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | x = P×100/p; |  |  | x = P×100+p/p; |  |  | x = P×100–p/p. |

* * *

##### IV) Aufsuch der Procentrate.

In 1) Ist *das Kapital rein*, *in 2) vermehrt*, *in 3) vermindert um den Procentsatz der gesucht wird*. *Gegeben P*; *gesucht pʹ*. In 2) wird das um P vermehrte Kapital auf reines Kapital reducirt, indem P davon subtrahirt, in 3) indem P dazu addirt wird.

| 1) | C : 100 = P : x; |  | 2) | C – P : 100 = P : x; |  | 3) | C + P : 100 = P : x. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | x od. pʹ = 100×P/C; |  |  | pʹ = 100×P/C–P. |  |  | pʹ = 100×P/C+P. |

Soweit C als veränderter Werth erscheint sub II) heisse es Cd.

* * *

Also. I)

|  | 1) 100 : C = p : x; |  | 2) 100 + p : C = p : x; |  | 3) 100 – p : C = p : x; |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x oder P = | 1) pC/100; |  | 2) P = pC/100+p; |  | 3) P = pC/100–p |  | x = P |

* * *

II)

| 1) 100 : C = 100 ± p : x; |  | 2) 100 + p : C = 100 : x; |  | 3) 100 – p : C = 100 : x |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1) x = C×100+p/100; |  | 2) = C×100/100 + p; |  | 3) = C×100/100–p; |  | x = Cd |

* * *

III)

| 1) p : P = 100 : x; |  | 2) p : P = 100 + p : x; |  | 3) p : P = 100 – p : x. |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1) x = P×100/p; |  | 2) = P×100+p/p; |  | 3) = P×100–p/p; |  | x = C |

* * *

IV)

| 1) C : 100 = P : x; |  | 2) C – P : 100 = P : x; |  | 3) C + P : 100 = P : x. |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1) x = 100×P/C; |  | 2) x = 100×P/C–P; |  | 3) x = 100×P/C+P; |  | x = pʹ. |

* * *

I) *Aufsuchung der Procente*.

| 1) | 100 : 1500 = 5 : x, | 2) | 105 : 1500 = 5 : x | 3) | 95 : 1500 = 5 : x |
|---|---|---|---|---|---|
|  | p = x = 1500 × 5/100 = *75* |  | x = 1500×5/105 = 71 9/21 |  | x = 1500×5/95 |
|  |  |  |  |  | x = 78 18/19 |

II) *C = 1500* Cd = *1500* *verändert* *Aufsuchung eines nach gegebnem Procentfuss veränderten Werths*.

| 1) | 100 : 1500 = 105 : x |  | 2) | 105 : 1575 = 100 : x |  | 3) | 95 : 1425 = 100 : x |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | Cd = x = 1500×105/100 |  |  | x = 1575×100/105 |  |  | x = 1425×100/95 |
|  | x = 1575, wenn 1500 um 5% vermehrt. |  |  | 1575/105 = 15; 15 × 100 = 1500. |  |  |  |
|  | x = 1425, wenn 1500 um 5% vermindert. |  |  | x = 1500 |  |  | x = 1500 |

III) *Gegeben P u. pʹ* *x = C* *Aufsuchung des Werths wenn gegebne Procente zu gegebnem Procentfuss gerechnet werden*.

| 1) | 5 : 75 = 100 : x |  | 2) | 5 : 75 = 105 : x |  | 3) | 5 : 75 = 95 : x |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | x = 75×100/5 |  |  | x = 75×105/5 |  |  | x = 75×95/5 |
|  | x = 1500 |  |  | x = 1575 |  |  | x = 1425 |

IV) *x = pʹ* *gegeben C u. P.* *Aufsuchung des Procentfusses*.

| 1) | 1500 : 100 = 75 : x |  | 2) | 1575 – 75 : 100 = 75 : x |  | 3) | 1425 + 75 : 100 = 75 : x |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | pʹ = x = 100×75/1500 |  |  | x = 100×75/1575–75 |  |  | x = 100×75/1425+75 |
|  | ( 100/1500=  1/15; *hence*  1/15 × 75 = 5.) |  |  | x = 5 |  |  | x = 5 |
|  | =  75/15 = 5% |  |  |  |  |  |  |
| IV: 1) | 1500 : 100 = 75 : x. |  | 2) | 1575 – 75 : 100 = 75 : x |  | 3) | x = 1425 + 75 : 100 = 75 : x |
|  | x = pʹ; pʹ = 5% |  |  | x = pʹ = 5% |  |  | x = pʹ = 5% |

### Procentrechnung.

#### I)

1) *Procent vom Hundert*. Wie viel betragen *7% von f. 62.30 xr* (Kreuzer)?

*f. 62½ = f. 62.30 xr.* *100 : 62½ = 7 : x*.

x = *den gegebnen Werth × mit Procentsatz dividirt durch 100* *x = 62½f.×7/100 = 100 × ⅝* ; also Procentsatz *7×5/8 = 4⅜*

Procentsatz hier so oft genommen als 100 in 62½ (dem Capital) enthalten ist.

* * *

2) *Procent auf Hundert*. fcs *1920.72* schliesst 6% ein; *wie viel % auf 100* od. *um wie viel per 100 vermehrt*?

*100 ist vermehrt um 6, also = 106.* Hence proportion: *106 : 1920.72 = 6 : x*; x = 1920.72×6/106 = fc. 108.72.

100 vermehrt mit Procentsatz : Kapital, wie der Procentsatz zu x. x = Kapital ⨯ mit Procentzahl dividirt durch 100 + Procentzahl .

War also vor Vermehrung:

|  | 1920.72 |
|---|---|
| minus | 108.72 |
|  | fc. 1812.00 |

* * *

3) *Procent im Hundert*. *fcs 239.32* ist *vermindert durch Abrechnung v. 3½%*; *um wie viel vermindert*?

Die Procent stehen im Hundert, also davon abzuziehn. 100 – 3½ = 96½. *hence:* *96½ : 239.32 = 3½ : x* x = 239.32×3½ /96½  = *fc. 8.68*

*100 vermindert um Procentzahl : Kapital = Procentzahl : x* x + Kapital ⨯ mit Procentzahl 100 minus Procentzahl

*War also vor Verminderung*

|  | 239.32 |
|---|---|
| plus | 8.68 |
|  | 248.00 |

* * *

*Note ad I 1)*

Wie viel *4⅙ %* v. *928 fcs*? 4⅙ = 100 ×  1/24, ist also nur der  1/24 Theil aus *928 fcs* zu berechnen = *f. 928* *16⅔% v. 1215 Th. 18 ngr?* 16⅔ = ⅙ × 100; also *6 in 1215 Th. 18 ngr* = 202 rthlr 18 ngr. *18¾% v. 217f. 20 xr?* 18¾ =  3/16 × 100; also wird erst der *16t Theil* aus f. 217 etc genommen u. dann mit 3 multiplicirt. *37½% v. £814 12s 6d*; 37½% = ⅜ × 100; also £814 etc *erst durch 8* zu dividiren u. dann mit 3 zu multiplicirn.

*ad I. 2)*

Alle *Procentsätze vom 100* (1) die bequemen Theil aus 100 geben, bilden auch Theil aus *100 + Procentsatz*; man findet diesen Theil wenn man zu *dem Nenner des Bruchtheils*, *der den Procentsatz vom* 100 *bildet*, den *Zähler desselben Bruchs addirt*. Z. B. 6¼% *vom* 100 =  1/16; auf 100 = 1/16+1 =  1/17; 8⅓% *vom* 100 =  1/12, auf 100 = 1/12+1 =  1/13; 37½% *vom* 100 = ⅜, *auf* 100 =  3/11 etc.

*ad I 3)*

Alle *Procentsätze, die sub 1) u. 2)* bequemen Theil aus dem Capital bilden, eben so benutzbar hier sub 3) Nur ist vom *Nenner des Bruchs*, den die Procente vom 100 bilden, *der Zähler desselben Bruchs abzuziehn*. So: 8⅓% =  1/12 vom 100; 1/12–1 od.  1/11 = 8⅓% *im* Hundert; 37½% = ⅜ vom 100; 3/8–3 = ⅗ = ⅜% im 100.

#### II) Aufsuchung eines nach gewissem Procentsatz veränderten Werths.

II) 1) *Der reine Werth ist gegeben:* Wie viel *978 Thlr* um 3% *vermehrt* oder *vermindert*?

| 100 : 978 = 103 : x |  | 100 : 978 = 97 : x |
|---|---|---|
| x = 1007 Thlr. 10 gr. |  | x = 948 Th. 20 |

Kann ohne Regel de Tri gemacht werden direct.

| 978 + 3% | = Th. 978 + 29.34 |
|---|---|
|  | = Th. 1007.34 rth (=  34/100 = 10 ngr.) |

| Ebenso: Th. 978 – 3% | = 978 – 29.34 |
|---|---|
|  | Th. 948.66 ( 66/100 = 20 gr.) |

* * *

*fcs 1745.50* vermindert *um 37½%*? (37½% = ⅜ aus 100)

|  | 1745.50 |
|---|---|
| – ⅜ aus 1745.50 = | 654.56 |
|  | fs 1090.94 |

* * *

II) 2) *Der vermehrte Werth ist gegeben*

Wie gross war *Fs 1920.72* *bevor um 6% vermehrt*?

| 106 : 1920,72 = 100 : x |  |
|---|---|
| x = 1812 fcs. | (*cf vorgehende Seite*) |

* * *

II 3.) *Der verminderte Werth gegeben.*

Wie gross war *fs 239.32*, *ehe vermindert um 3½%*?

| 96½ : 239.32 = 100 : x |  |
|---|---|
| x = fs 248 | (*cf. vorhergehende Seite*) |

* * *

#### III) Aufsuchung des Werths, von welchem gewisse gegebne Procente gerechnet worden sind.

*Neben den Procenten muss hier der Procentsatz gegeben sein*, dann zu beantworten: Wenn der *Procentsatz das ihm entsprechende Grundkapital erfordert* (100 od. 100+% od. 100–%), *welchen Werth erfordern* die *gegebnen Procente*?

III 1) Von *Welchem Betrag gerechnet worden Th.75 à 6%*?

|  | 6 : 75 = 100 : x; x =  7500/6 = 1250 Th. |
|---|---|
| od. | 6 : 100 = 75 : x |

* * *

III 2) *Von welchem Betrag gerechnet 78f zu 3% auf 100?*

|  | 3 : 78 = 103 : x. x = 2678f. |
|---|---|
| od. | 3 : 103 = 78 : x |

* * *

III 3) *Von welchem Betrag gerechnet Fs. 8.68* zu 3½% *im 100*?

| 3½ : 8.68 = 96½ : x |  | x = 8.68×96/3½ |  | = f239.32. |
|---|---|---|---|---|

Da in *III 1, 2 u. 3*) 100 od. 100+% od. 100–% stets das 3te Glied des Regeldetrisatzes bildet, so lässt sich die Rechnung auch direct so machen: So oft der Procentsatz (z. B. 6 in 1) in den gegebnen Procenten enthalten ist (75 in 1), so viel mal ist die Zahl 100 (so in 1.); ⦗in 2) 100+%; in 3) 100–%⦘ zu nehmen.

Also in 1) 6 enthalten in 75 = *12½* ; also 12½ × 100 zu nehmen = 1200 + ½ [×] 100 = *1250*.

#### IV) Aufsuchung des Procentsatzes

Obgleich hier ein *reines* od. ein *vermehrtes* od. ein *vermindertes Kapital* gegeben sein kann, also Procentsatz *vom, auf od. im 100* aufzusuchen, fallen doch die beiden letztren Aufgaben mit der erstren zusammen. Denn *Procentsatz vom Hundert* wird nur dadurch einer *auf* od. *im* Hundert, dass er sich auf einen *nach demselben Procentsatz vermehrten od. verminderten Werth* bezieht. Also *bleibt der Procentsatz überall derselbe* u. *nur die Beschaffenheit des Kapitals* bewirkt den Unterschied.

Z. b. *175 Th.* sei Betrag einer eingekauften Waare. Wir können beim Kauf z. B. 4% gewinnen od. verlieren. Der Gewinn od. Verlust beträgt aber: *100 : 175 = 4 : x*; x jedesmal = 4×175/100 =  1/25 × 175 = *7*. 175 hier *reines* Kapital, also nur die Rede von % *vom* 100. Durch den Gewinn erhalten wir 175 [+] 7 = *182* Th., ein um 7 vermehrtes Capital; durch den Verlust 175 – 7 = *168*, ein um 7 vermindertes Kapital.

Frägt man weiter: Wie viel beträgt der im *Verkaufspreis von 182 Th.* enthaltne Gewinn zu 4%? so ist hier v. einem *vermehrten Kapital* die Rede; der Procentsatz einer *auf* 100 u. der Ansatz daher: *104 : 182 = 4 : x* = 7;

Ebenso wie viel *Verlust* beim Verkaufspreis v. *168*; hier *vermindertes Kapital*; also Procentsatz im 100; giebt Ansatz: *96 : 168 = 4 : x = 7*. Ein u. *derselbe Procentsatz* bringt hier also überall *dieselben Procente* u. nur die *Beschaffenheit des Kapitals* bedingt die Eintheilung der Procentsätze in: *von, auf, im 100*.

Also bei allen 3 Arten v. Procentsätzen nur die Frage: *Wie viel giebt 100, wenn das gegebne Capital die berechneten Procente giebt?* Da nun *100* ein *reiner Kapitalwerth* ist, so muss *vor Bildung des Ansatzes* bei *Procenten auf 100* das Capital von *der in ihm enthaltnen Vermehrung durch Subtraction* befreit werden, bei *Procenten im 100 durch Addition von der in ihm enthaltnen Verminderung*.

IV 1) *Wenn man an Thlr 175 Gewinn od. Verlust von 7 Thaler, wie viel % beträgt dies?*

Das reine Capital 175 gegeben, also Procente vom 100. Hence: *175 : 100 = 7 : x* *x =  700/175 = 4%*

IV) 2) Wenn v. *B. M. 126.12* abgezogen werden *B. M.* 24.9, *wieviel % auf 100 beträgt dies*?

*Das vermehrte Kapital* gegeben. Also: wie viel giebt wenn ( *126.12 – 24.9*) = *M. B. 102.3 geben 24.9*? M. B. 126.12 – M. B. 24.9 sch. : 100 = 24 M. B. 9 sch. : 100 oder: *102 3/16 : 100 = 24 9/16 : x* *x = 24%.*

*Wenn in 182 Th ein Gewinn von 7 Th. enthalten*, wie viel % beträgt dies? *182 – 7 : 100 = 7 : x* *x = 4%*.

IV) 3) *Wenn ein Capital durch Verlust von 7 Th. auf 168 Th. gebracht, wie viel % Verlust?* *(168 + 7) : 100 = 7 : x* *x = 4%.*

IV 4) *Oft sind die Procente nicht gradezu gegeben, müssen erst aus den gegebnen Werthen gefunden werden.*

a) *Wenn statt 950 Th. bezahlt werden 988 od. 912, wie viel % mehr od. weniger beträgt dies?*

Im ersten Fall sind die *Procente* *988 – 950* = 38; im 2ten Fall *950 – 912* = 38; also in beiden Fällen 38. Hence: *950 : 100 = 38 : x*; *x = 4%.*

b) Wenn man statt *B. M. 3463. 1β* nur *B. M. 3186. 14β bezahlt* (β = schilling, 16β = 1 B. Mark Hamburg.) *wieviel % auf 100 beträgt der Abzug*?

Der Abzug = (3463.1 – 3186.14 = M. B. 276.3β). Also Ansatz: *3186⅞ : 100 = 276. 3/16 : x.* *x = 8⅔%*

c) *Wieviel Procent im Hundert beträgt es, wenn statt 1875f. berechnet werden 2000?*

Die *im 100* erfolgte Vermehrung = 2000 – 1875 = 125f. u. Ansatz zur Auffindung des Procentfusses: *2000 : 100 = 125 : x*. *x = 6¼%.*

Die *pro mille* Rechnung ( 0/00) natürlich selbe wie % Rechnung.

* * *

#### V) Verwandlung eines Procentsatzes in den andern.

1) Wie viel % *vom* 100 betragen *12% auf 100*? *112 : 100 = 12 : x* x =  1200/112 *= 10 5/7* .

* * *

2) Wie viel % *auf* 100 betragen *5% vom 100*? *95 : 100 = 5 : x*. x =  500/95 = 5 5/19%.

* * *

3) Wie viel % *vom* 100 betragen 4% im 100? 96 : 100 = 4 : x. x =  400/96 = 4⅙ %.

* * *

ad 1) Ob man z. B. von *f.364* % 12 *auf* 100 od. 10 5/7 *vom* 100 nimmt, dasselbe. = *39*.

ad 2) *100 : 120 fs = 5 : x. = 6f*; *105 5/19 : 120 = 5 5/19 : x* = 6f.

ad 3) *96 : 144f. = 4 : x* = *6 fs.*; *100 : 144 = 4⅙ : x*; = 6 fcs.

* * *

4) Wie *viel % im 100* betragen *4% vom 100*? *104 : 100 = 4 : x* *x = 3 11/13%*.

*100 : 250 f. = 4 : x* = *4⨯250/100 =  250/25 = 10f*; *96 2/13 : 250 = 3 11/13 : x* = 10f.

* * *

Wo die *Procentzahl gemischte Zahl* ist, die einen *Theil aus der Zahl 100* bildet, lässt sich die Rechnung abkürzen.

z. B. zu *nehmen 33⅓% von 1000\999*?

| 1/x × 100 = 33⅓ | 100 = (33⅓) x. x = 3. | Also *⅓ × 100 = 33⅓* . | *= ⅓ × 1000 = 333*. |
|---|---|---|---|

Ebenso z. B. 27 3/11% zu nehmen; 1/x × 100 = 27 3/11; 100 = 27 3/11 x. x = 100/27 3/11  = 100/ 300/11 =  11/3. x =  11/3. Also 1/x100 = 27 3/11 = 1/ 11/3100 = 27 3/11; also  3/11 × 100 = *27 3/11*

Derartige Abkürzungen unter anderm:

| 33⅓ = ⅓ × 100. |  | 11 1/9 =  1/9 × 100 |  | 6⅔ =  1/15 × 100 |  | Allgemeine Formel |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 66⅔ = ⅔ × 100 |  | 22 2/9 =  2/9 × 100 |  | 13⅓ =  2/15 × 100 |  | Z. B. |
| 16⅔ = ⅙ × 100 |  | 44 4/9 =  4/9 × 100 |  | 26⅔ =  4/15 × 100 |  | 18¾ = n. |
| 83⅓ = ⅚ × 100 |  | u. s. w. |  | u. s. w. |  | die gegebne Zahl Procent. |
| 14 2/7 =  1/7 × 100 |  | 9 1/11 =  1/11 × 100 |  | 6¼ =  1/16 × 100 |  | 1/x × 100 = n. |
| 28 4/7 =  1/7 × 100 |  | 18 2/11 =  2/11 × 100 |  | 18¾ =  3/16 × 100 |  | 100. = nx. |
| 42 6/7 =  3/7 × 100 |  | 27 3/11 =  3/11 × 100 |  | 31¼ =  5/16 × 100 |  | x = 100/n. 1 |
| u. s. w. |  | u. s. w. |  | u. s. w. |  | 00/n = d. |
| 12½ = ⅛ × 100 |  | 8⅓ =  1/12 × 100 |  | 5 5/9 =  1/18 × 100. |  | So x = 100/n = d. |
| 37½ = ⅜ × 100 |  | 41⅔ =  5/12 × 100 |  | 27 7/9 =  5/18 × 100 |  | Hence: 1/x100 = 1/d × 100 |
| 62½ = ⅝ × 100 |  | 58⅓ =  7/12 × 100 |  | 38 8/9 =  7/18 × 100 |  | Wenn z. B. gewisser Theil aus 100 = m/n × 100, wie z. B. ⅔ etc, so immer ⅓ × 200 etc; also stets Formel 1/x |
| 87½ = ⅞ × 100 |  | 91⅔ =  11/12 × 100 |  | 61 1/9 =  11/18 × 100 |  |  |
| 3⅓ =  1/30 × 100 |  | 3⅛ =  1/32 × 100 |  | 2½ =  1/40 × 100 |  |  |

* * *

#### Die verschiednen casus der Procentrechnung zusammen.

##### I)

1) Procent vom 100. Z. B. wie viel 7% von f.62.50: 100 : 62½ = 7 : x = 4⅜ fl.

2) 〃 auf 100 Z. B. fs 1920.72 schliesst 6% ein: 106 : 1920.72 = 6 : x = fs 108.72

3) 〃 im 100. Z. B. fs 239.32 vermindert durch Abrechnung v. 3½% : 96½ : 239.32 = 3½ : x = fs 8.68

* * *

##### II) Aufsuchung eines nach gewissem Procentsatz vermehrten od. verminderten Werths.

1) *Wie viel 978 Th. um 3% vermehrt od. vermindert?*: 100 : 978 = 103 : x = Th. 1007.10 gr. 100 : 978 = 97 : x = Th. 948.20

*Oder ohne Ansatz:* 978 + 3% = etc 978 – 3% = etc

* * *

*Vermehrte Werth gegeben* 2) wie gross *fs 1920.72 bevor um 6% vermehrt*: 106 : 1920.72 = 100 : x = fs 1812.

Verminderter Werth gegeben 3) 〃 〃 〃 239.32 〃 um 3½ vermindert 96½ : 239.32 = 100 : x; x = 〃 248

* * *

##### III) Aufsuchung des Werths, wovon gegebne Procente gerechnet worden sind.

1) Von welchem Betrag gerechnet Th. 75 à 6%? 6 : 75 = 100 : x = Th. 1250

2) Von welchem Betrag gerechnet 78f. *auf 100* (zu 3%)? 3 : 78 = 103 : x = f. 2678

3) Von welchem Betrag gerechnet fs. 8.68 zu 3½% *im* 100? 3½ : 8.68 = 96½ : x = f. 239.32

* * *

##### IV Aufsuchung des Procentsatzes.

1) Wenn man an Th. 175 Gewinn od. Verlust v. 7 Th. hat, wie viel % das? 175 : 100 = 7 : x = 4%

2) Wenn von B. M. 126.12β abgezogen werden B. M. 24.9β, wie viel % *auf* 100? 102 3/16 : 100 = 24 9/16 : x = 24%

Hier das *vermehrte Kapital* gegeben: Wenn also 126.12 – 24.9 od. M. B. 102.3 geben 24M. 9β, wie viel geben 100?

Wenn in 182 Th. ein Gewinn v. 7 Th. enthalten, wie viel % giebt das? 182 – 7 : 100 = 7 : x = 4%

3) Wenn ein Kapital durch Verlust v. 7 Th. auf 168 gebracht, wie viel % Verlust? 168 + 7 : 100 = 7 : x = 4%

Wenn die % nicht gradezu gegeben, sondern erst aus den gegebnen Werthen zu bestimmen,

1) Wenn statt 950 Th. gezahlt werden 988 od. 912, wie viel % mehr od. weniger gezahlt? 988 – 950 = 38 u. 950 – 912 = 38. Also: 950 : 100 = 38 : x. x = 4%

2) Statt 3463.1β nur gezahlt 3186.14β, wie viel % auf 100? Abzug = 3463.1 – 3186.14 = 276.3β. Also: 3186⅞ : 100 = 276 3/16 : x = 8⅔%

3) Statt 1875 gezahlt 2000. Wie viel % *im* 100? 2000 – 1875 = 125. Also: *2000 : 100 = 125 : x*, x = 6¼%

Procentsätze die bequemen Theil v. 100 bilden. Vgl. mit Tabelle v. vorstehender Seite.

| ½% =  1/200. |  | 3⅓% =  1/30 |  | 6¼ % =  1/16 |  | 16⅔% = ⅙ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ⅓% =  1/300 |  | 3⅛% =  1/32 |  | 6⅔% =  1/15 |  | 18¾% =  3/16 |
| ⅚% =  1/120 |  | 4% =  1/25 |  | 8⅓% =  1/12 |  | 20% = ⅕ |
| 1¼% =  1/80 |  | 4⅙% =  1/24 |  | 10% =  1/10 |  | 25% = ¼ |
| 2½% =  1/40 |  | 5% =  1/20 |  | 11 1/9% =  1/9 |  | 33⅓% = ⅓ |
|  |  |  |  | 12½% = ⅛ |  | 37½% = ⅜ |
|  |  |  |  |  |  | 62½% = ⅝. etc |

Alle diese Procentzahlen bilden zur Rechnung bequemen Theil aus 100; *dann sind die v. einem gegebnen Werth zu berechnenden Procente* demselben Theil dieses Werths gleich, den der Procentfuss aus 100 bildet. Z. B. 7% von 62.½f. Da 62½ = ⅝ × 100, so die Procente 7 so oft zu nehmen als 62½ so gross ist als 100, also ⅝ × u. ⅝ × 7 =  35/8 = 4⅜.

* * *

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