---
Title: Heft IV (1878). II. Exzerpte aus Feller-Odermann: Anwendung der Procentrechnung
Description: Marx’ Exzerpte im Heft IV (August–September 1878) aus F. E. Feller und C. G. Odermann, „Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik“ (Leipzig 1859): Anwendung der Procentrechnung auf Gewinn und Verlust, Rabatt, Tara und Gutgewicht, Provision, Courtage, Assecuranz, Zinsen; mit Marx’ Bemerkungen über Profitrate, Mehrwerthrate und Umschlag.
Author: Karl Marx
Date: 1878-09
URL: https://marxismo.school/archivo/marx-engels/originales/1878%20Heft%20IV.%20II.%20Exzerpte%20aus%20Feller-Odermann.%20Anwendung%20der%20Procentrechnung
---


*Nach der Handschrift, MEGAdigital (MEGA² IV/25).[^lic] [Traducción al español](https://marxismo.school/archivo/marx-engels/1878%20Cuaderno%20IV.%20II.%20Extractos%20de%20Feller-Odermann.%20Aplicaciones%20del%20c%C3%A1lculo%20de%20porcentajes)*

### Anwendung von Procentrechnung

#### A) Berechnung v. Provision, Courtage, Assekuranzprämie u. andre Spesen.

Beim *Einkauf der Waare vermehren die Spesen den Betrag*; *Einkaufsbetrag + Spesen* = *Fakturabetrag*.

Beim *Verkauf vermindern sie den Ertrag*. *Brutto od. Rohertrag minus Spesen* = *Reinertrag*. *Procente von 100* in beiden Fällen.

#### B) Gewinn- u. Verlustrechnung:

##### 1)

a) *Wie viel gewinnt od. verliert man auf einen gegebnen Werth nach einem gegebnen Procentfuss?*

z. B. *Waare eingekauft zu 15 Thlr*; wie viel gewonnen od. verloren mit 6% Gewinn od. 6% Verlust? 15 Th. hier *reines Kapital*; also *Procente vom Kapital*. Also: *100 : 15 = 1 : x*; x =  15/100 = 0.15; 6% = 0,15 × 6 = *0,9 Rthlr*. Gewinnt od. verliert daher *Rth. 0,9*

b) *Wie viel beträgt der im Verkaufspreis von 15.9 Thlr enthaltne Gewinn* zu 6%? *15.9 Th*. hier vermehrtes Kapital, also % *auf* 100. Hence: *106 : 15.9 = 6 : x*; *= 0.9 rth*

c) *Wie viel beträgt der durch den Verkaufspreis v. 14.1 rth hervorgebrachte Verlust zu* 6%? *14.1 rth vermindertes Kapital*, also % *im* 100; hence: *94 : 14,1 = 6 : x*. *x = 0,9 rth*

* * *

##### 2) Wie ist Waare, mit 15 rth eingekauft, mit 6% Gewinn od. 6% Verlust zu verkaufen?

6% auf 15 Thlr. = 0.9. Also mit 6% Verlust 15.0 – 0.9 = 14.1 Und mit 6% Gewinn: *15.9* (*15 + 0.9*) Im vorliegenden Fall der zu 6% gemachte Gewinn od. Verlust = *0.9 rth*. Welches ist der Verkaufspreis?

*6 : 0.9 = 100 : x*; x = 0.9⨯106/6 = *15.9 = 3:2⨯106/10 =  3⨯53/10 = 15.9*

*6 : 0.9 = 94 : x*; x = 0.9⨯94/6 = 14.1 = 3⨯47/10 = *14.1*

##### 3) Wie viel beträgt das Anlagekapital? (Einkauf)

a) *Der auf Verkauf gemachte Gewinn od. Verlust zu 6%, beläuft sich auf 0,9 rth; wie viel kostet die Waare im Einkauf?*

Der *Einkaufspreis „reines“ Kapital, daher Procente vom 100*: *f. beide Fälle* a) *6 : 0.9 = 100: x* x = 0,9⨯100/6 = *15 Thlr*.

b) *Verkaufspreis 15.9 rth. enthält 6% Gewinn*. *Kaufpreis der Waare?*

*15.9 rth »vermehrtes« Kapital*; *also Procente auf 100* b) *106 : 15.9 = 100 : x*. *x = 15.9 ×  100/106 = 15 rth*

c) *Verkaufspreis, bei 6% Verlust = 14,1.* *Einkaufspreis?* *14.1 vermindertes Kapital.* *Procent im 100.* c) *94 : 14.1 = 100 : x* *x = 15 rth.*

##### 4) Wie viel % beträgt der Gewinn od. Verlust?

a) *Einkaufspreis 15 rth*; darauf *Gewinn od. Verlust 0.9 rth;* *wie viel % derselbe?*

Das Kapital in beiden Fällen *15 rth* u., da es *reines* ist, so handelt es sich um % *vom* 100: a) *15 : 100 = 0.9 : x*; =  90/15 = 6%.

b) *Verkaufspreis v. 15.9 enthält 0.9 Gewinn*; *wieviel % derselbe?* *vermehrtes Kpl. % auf 100* b) *15.9 – 0.9 : 100 = 0.9 : x = 6%* (i. e.  90/15 = 6)

c) *Verkaufspreis v. 14.1 rth bringt Verlust v. 0.9*; *wieviel % selber?* *Vermindertes Capital % im 100*. c) *14.1 + 0.9 (= 15) : 100 = 0.9 : x* = 6%.

Wäre die Frage so gestellt: Für *15 rth Einkauf* erhält man im *Verkauf resp.* 14.1; so *Procentsatz* ermittelt:

| 15 : 100 = 15.9 : x |  | 15 : 100 = 14.1 : x |
|---|---|---|
| x = 106. |  | x = 94. |

106 enthält hier 6 Einheiten mehr als 100 = 6% Gewinn; od. *6 Einheiten weniger* als 100 (i. e. 94), Verlust = 6%.

* * *

##### Beispiele.

1) a) *1 Ctr (à 100 lbs) kostet im Einkauf 30f. (1 fl. = 60 xr)*; *man verkauft 1 lb zu 24 xr*; *wie viel % Gewinn od. Verlust?*

| If 100 lbs (1 Ctr) kosten | 30f., |
|---|---|
| so 1 lb | 30/100f =  3/10 fl. = 18 kr. |
| Also 1 lb verkauft zu 24 xr, giebt 24 – 18 kr. Gewinn = 6 xr. |  |

| Hence 18 : 100 = 6 : x; x =  600/18 = 600/6⨯3 =  100/3 = 33⅓%. |
|---|
| Od. man gewinnt auf 18 – 6, also ⅓ des ausgelegten Capitals; |
| u. ⅓ × 100 = 33⅓%. |

b) Oder man verkauft 1 lb zu 24 Kr., also 100 lb zu 2400 xr u.  2400/6 xr =  240/6 = *40f*. Man gewinnt also auf 30f. 10, also ⅓.; also auf 100 – ⅓100 = 33⅓%.

Oder aber *30 : 100 = 10 : x* x =  100/3 = 33⅓%

* * *

2) *Man verkauft Waare mit 15 Rth, wobei man 10% verliert, wie ist sie zu verkaufen um 5% zu gewinnen?*

*90 : 15 = 105 : x*. x =15⨯105/90 = 3⨯105/18 =  105/6 = 17 3/6. od. 17½.

* * *

3) *Man verkauft eine Waare mit 5% Gewinn zu 17½; wie muss sie mit 8% Gewinn verkauft werden?*

*105 : 17½ = 108 : x* x = 35:2⨯108/105 = 35⨯54/105 = 7⨯54/21 =  54/3 = 18.

* * *

4) *Wie eine Waare, die bereits mit 10% Verlust à 15 Th. verkauft ward, zu verkaufen wenn man 20% daran verlieren muss?*

*90 : 15 = 80 : x*; x = 15⨯80/90 = 15⨯8/9 = 5⨯8/3 =  40/3 = 13⅓.

* * *

#### C) Rabattrechnung.

*Rabatt* streng genommen (vom italienischen rabattere) *procentweis berechneter Abzug*, welchen der Verkäufer dem Käufer bewilligt, entweder als *Vergütung für frühere Zahlung* (*Discont*, *Sconto* manchmal auch so bei Waarengeschäften genannt der Abzug; *Decort* eigentlich Abzug f. Waare, womit Käufer unzufrieden; ebenso *Refactie* Abzug für beschädigte Waare; *Bonification* *Vergütung* in gleichem Fall.) od. als *besondern Vortheil*. Ist jedoch der Rabatt in letzterem Sinn *usanzmässig*, so der Vortheil *nur scheinbar*, denn der Gewährende hat ihn früher zum betreffenden Werth geschlagen. Er wird *vom* u. *auf 100* gerechnet, je nachdem die Zurechnung desselben zu dem ursprünglichen Werth erfolgt ist. Nach dem Satz *auf 100* ward er früher berechnet z. B. in *Amsterdam* u. *Hamburg*. ⦗Eine Art *usanzmässiger Rabatt* nach dem s. g. *Gutgewicht*⦘

⦗Die *einzige Rabbattrechnung*, die anwendbar für wissenschaftliche Zwecke bei *„Capital“* ist die der Buchhändler (*Verlagsbuchhändler an den Sortimentsbuchhändler* ); er [der Rabatt] bildet nämlich den einzigen Antheil des letzteren am *Profit des Producenten*, meist (früher wenigstens) 10–33⅓%; der *Sortimentsbuchhändler* hat keinen andern Ersatz für seine *Unkosten*, so *wie für Aufwand an Zeit u. Mühe*, die ihm sein Geschäft verursacht. Der *Preis des Buchs* nach Abzug des Rabbatts ist sein *Nettopreis*. Gesetzt der *Productionspreis*, der bei gleicher Vertheilung des Mehrwerths auf jeden besondern Productionszweige per 100 (procentig) fällt, sei = *100 + 20*, so der *Productions Preis* = *120*; dies wäre der Bruttopreis des Buchs. Der Rabbatt der dem Sortimentsbuchhändler wird, sage von 33⅓% stellt dann vor den Theil des Mehrwerths, der von jenem Productionspreis abgeht u. dem *Händler* (*Kaufmann*) zufällt; ⅓ von 20 ist 6⅔. ⦗v. 25 liesse dies 18⅓ f. den Producenten⦘; lässt also für das Producentenkapital 13⅓; u. f. das Kaufmannkapital 6⅔. ⦗ *6⅔ ist die Hälfte v. 13⅓* ⦘ Wie viel diese 6⅔ per 100 betragen hängt vom *Umsatz* des Kaufmanns ab. Andrerseits die Grösse der 33⅓ auf das Buch (die mit Bezug auf den Mehrwerth (gesellschaftlichen) von 20 stets = 6⅔ auf 100 bleibt) hängt nicht nur v. der Quantität der Bücher ab, die er verkauft, sondern ditto v. deren Brutto (in unsrem Sinn = Productionspreis). Da aber kein Grund vorhanden ⦗wohl aber viele Umstände umgekehrt, die das Kaufmännische Kapital einträglicher machen als das Productive⦘, warum das *gesammte Kaufmännische Kapital* weniger einbringen soll als das productive, so unter den Voraussetzungen anzusetzen dass ⅓ gesellschaftliches Kapital im Handel u. ⅔ im productiven Geschäft steckt; ⅓ : ⅔ = *1 : 2*; also z. B. von 3000 1000 im Kaufmannspack, 2000 im productiven; der Gesammtmehrwerth zu mʹ = 20%

| liefern dem | *productiven Kapital* | 2000 Th | 400 Mehrwerth = 20% |  |  |
|---|---|---|---|---|---|
|  | *kaufmännischen Kapital* | *1000 Th.* | für Kaufmann geht ⅓ ab v. den 400 Mehrwerth = *133⅓* |  |  |
| Bleiben also für die |  | *2000 Th.* | 266⅔ | = | ⅔ v. 20% |
| *Kaufmann für* |  | *1000 Th.* | 133⅓ | = | ⅓ v. 20%. |
|  |  |  | Summe = 400 |  | 20 Mehrwerth. |

In der That giebt das als *actuelle Profitrate* für je 100 des Kapitals, ob kaufmännisch od. productiv, dieselbe Rate v. 13⅓%.

| 13⅓ für 100, | giebt für 1000 | Profit von 130 10/3 = 133⅓, |
|---|---|---|
|  | u. für 2000 | das doppelte 266⅔ |

Bekömmt so der Kaufmann wie oben ⅓ des Mehrwerths umsonst, so damit ⅓ des Mehrproducts. So z. B., wenn der Sortimentshändler 33⅓% od. ⅓ auf den Preis eines Buchs v. 9 Th. bekommt, so auf 3 solcher Bücher eins, das ihm nichts kostet; da 3 × 3 = 9 u. er jedesmal 3 Thaler einsteckt. Dasselbe also als ob er auf je 3000 Bücher – 1000 umsonst bekäme.⦘

1) *Aufsuchung der Procente* .

*Wie viel Rabatt v. 1207 rth à 3% u. 6¼% vom u. auf 100?*

| a) *12,07 × 3 = 36,21 Th*. (*Procent von 100* ) Nämlich da hier Ansatz: *100 : 1207 = 3 : x*, so ein für allemal der gegebne Werth durch 100 zu dividiren u. mit Procentsatz zu multipliciren, etc. | b) *103 : 1207 = 3 : x*; x = 35 16/103 (*auf 100*) |
|---|---|
| c) Rabatt *von* 1207 zu 6¼%; *vom 100* 6¼% = 1⨯100/16. Also  1207/16 = 75 7/16 Th. | d) *Rabbatt v. 1207 à 6¼% auf 100* 6¼% *vom* 100 =  1/16. 6¼% *auf* 100 = 1/16+1 =  1/17. Also 1207 dividirt durch 17 = 71 Th. |

2) *Wie viel betragen 1207 Thaler nach Abzug obiger Rabattprocente?* (*Aufsuchung des rabattirten Capitals*; *das Capital, wovon der Rabatt genommen heisst das rabattirende*)

| a) | 1207 Th | b) | 103 : 1207 = 3 : x | c) | 1207 | d) | 1207 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|  | – 36.21 = 3% |  | x = 35. 16/103. |  | – 75. 7/16 =  1/16 aus 1207 |  | ÷ 71 =  1/17 aus 1207 |
|  | = 1170.79 Th. |  |  |  | = 1131. 9/16 |  | = 1136 Th. |

3) *Von welchem Capital rechnete man:* *36.21 Th. à 3%* u. *75. 7/16 Th. à 6¼% vom* 100; *35 16/103 à 3%* u. *71 Th. à 6¼% auf* 100? (*Aufsuchung des zu rabattirenden Capitals*)

| a) | 3 : 36.21 = 100 : x x = 1207 x nämlich = 36.21 × 100 : 3 = 3621 : 3 | c) | 3 : 35. 16/103 = 103 : x x = 1207. |
|---|---|---|---|
| b) | 75 7/16 à 6¼ v. 100 giebt 6¼: 75 7/16 = 100 : x Da man auf das Kapital 75 7/16 zu 6¼% rechnete u. 6¼% =  1/16 von 100, so ist 75 7/16 =  1/16 des Capitals, das Kapital also = 75 7/16 × 16 = 1207. | d) | 71 × 17 = 1207 Da 6¼% *von* 100 =  1/16 des Capitals, so 6¼ *auf* 100 =1/16+1=  1/17 davon. 71 also  1/17 eines Capitals, auf das 6¼ *auf* 100 rabattirt werden; also das Capital = 17 × 71 = 1207 |

4) *Wie viel Procent vom 100 betrug es*, wenn v. 1207 *gerechnet wurden 36,21 Thlr* od. *75 7/16 Th. Rabatt*, u. ditto wie viel Procent *auf 100*? (*Aufsuchung des Procentsatzes*)

| 1207 : 100 = 36.21 : x; x = 3% |  | (1207 – 35. 16/103) : 100 = 35 16/103 : x x = 3%. |
|---|---|---|
| 1207 : 100 = 75 7/16 : x x = 6¼%. |  | (1207 – 71) : 100 = 71 : x x = 6¼% |

5) *Welches sind die zu rabattirenden Capitalien*, *die nach Abzug v. 3% Rabatt*, *beziehungsweis*, *vom u. auf Hundert* *1170,79* u. *1171 87/103* *betrugen*?

| 97 : 1170.79 = 100 : x |  | 100 : 1171 87/103 = 103 : x |
|---|---|---|
| x = 1207 Rt. |  | x = 1207 Rt. |

6) *Rabattierte Capitalien 1170,79 Rt. u. 1171. 87/103* ; Procentsatz *3% vom* u. *3% auf 100*! *Wie viel der Rabatt?*

| 97 : 1170,79 = 3 : x |  | 100 : 1171 87/103 = 3 : x |
|---|---|---|
| x = 36.21 rt. |  | x = 35. 16/103 |

##### Die obigen auf Rabatt bezüglichen 1–6 zusammengestellt:

1) *Aufsuchung der Procente allein*; Rabatt von 1207 Rth. zu 3% und 6¼% *von* u. *auf* 100?

| 1) | a) 12,07 × 3 = 36,21 | b) 103 : 1207 = 3 : x; x = 35 16/103 Rth. |
|---|---|---|
|  | c)  1207/16 = 75 7/16 | d)  1207/17 = 71 Rth. |

2) *Aufsuchung eines nach einem gewissen Procentsatz veränderten Werths*

*Allgemeine Formel:* *100 : Werth (vermehrt od. vermindert) = 100 (vermehrt od. vermindert um %satz) : x*

*Wie viel 1207 Rth. nach Abzug obiger Rabattprocente?* *Aufsuchung des rabattirten Capitals.*

| 2) | a) 1207 – 36.21 (= 3%) = 1170.79 | b) 103 : 1207 = 100 : x; x = 1171 87/103 |
|---|---|---|
|  | c) 1207 – 75 7/16 (=  1/16 aus 1207) = 1131 9/16. | d) 1207 – 71 (=  1/17 aus 1207) = 1136. |

3) *Aufsuchung des Werths, von welchem gewisse gegebne Procente gerechnet worden sind.*

*Aufsuchung des zu rabattirenden Capitals.*

*Von welchem Capital rechnete man 36,21* rthlr à 3% und 75 7/16 Th. à 6¼% *vom* Hundert? u. *35 16/103 à 3%* u. 71 à 4% *auf* Hundert?

| 3) | a) 3 : 36,21 = 100 : x; x=1207 | b) 3 : 35 16/103 = 103 : x x=1207 |
|---|---|---|
|  | c) 75 7/16 × 16 = 1207. | d) 71 × 17 = 1207 |

4) *Aufsuchung des Procentsatzes.*

Wie viel % *vom 100*, *wenn von 1207 Rt.* gerechnet werden *36,21 rth Rabatt oder 75 7/16* u. wie *viel % auf 100*, *wenn v. demselben Betrag 35 16/103 od. 71 Th. Rabatt gerechnet*?

| 4) | a) 1207 : 100 = 36.21 : x; x = 3% | b) 1207 – 35 16/103 : 100 = 35 16/103 : x |
|---|---|---|
|  |  | x = 3% |
|  | c) 1207 : 100 = 75 7/16 : x; x = 6¼% | d) 1207 – 71 : 100 = 71 : x |
|  |  | x = 6¼% |

5) *Welches sind die zu rabattirenden Capitalien, die nach Abzug v. 3% Rabatt resp. von u. auf Hundert 1170,79 rthlr u. 1171 87/103 betragen?*

*Hier gegeben* 1) *Procentsatz*. 2) Die durch selben *von* od. *auf* 100 verminderten Capitalien oder die rabattirten Capitale.

| 5) | a) 97 : 1170,79 = 100 : x | b) 100 : 1171 87/103 = 103 : x |
|---|---|---|
|  | x = 1207 rtl. | x = 1207 Th. |

6) *Rabattirte Capitalien 1170,79 rthl u. 1171 87/103* ; *Procentsatz* 3% *von* Hundert u. *auf* 100; *wie viel beträgt der Rabatt?* *i. e. die Procente*

| a) 97 : 1170,79 = 3 : x. | [b)] 100 : 1171 87/103 = 3 : x |
|---|---|
| x = 36,21 | x = 35 16/103. |

##### Buchhändler rabatt

1) *Wie viel Rabatt v. 126 Rtl* *12 gr.* *à 8⅓%*? (*8⅓% =  1/12 aus 100*) hence 126Rth. 12gr./12 = 10 Th. 16 Gr. (15?)

* * *

2) Wie viel Buchhändlerrechnung v. *432f. 48 xr* *nach Abzug v. 6¼% Rabatt*? (6¼% =  1/16 von 100)

Also *432f. 48 xr. –  1/16 (432f. 48 xr)* = 27f. 3 xr.

| hence: |  | 432f. | 48 xr |
|---|---|---|---|
|  | – | 27 | 3 |
|  | = | 405f. | 45 xr. |

* * *

3) *Wenn Buchhändlerrechnung nach Abzug v. 25% Rabatt = 148 Th. 15 gr., wie gross war sie vorher?*

*75 : 148,5 rth = 100 : x = 198 Th.*

| Oder, da *25% = ¼ des Capitals*; | so *auf 100* (d. h. *das um den Procentfuss vermehrte Capital*) | = | 1/4+1 | = | ⅕ des vermehrten Capitals; |
|---|---|---|---|---|---|
|  | u. *im Hundert* (d. h. *um den Procentfuss verminderte* Capital) | = | 1/4-1 | = | ⅓. |

Also 25% im gegebnen Fall = ⅓ des um den Procentfuss v. 25% verminderten Capitals, also nur ⅓ des Betrags zu addiren

| Rt 148. | 15 gr |  |  |
|---|---|---|---|
| + 49 | 15 | = | ⅓ aus 148 rthl. 15 gr. |
| 198 Th. |  |  |  |

4) *Wie gross ist Buchhändlerrechnung, wenn man à 33⅓% Rabatt von 64f. 12 xr gerechnet?*

*33⅓% = ⅓ des Capitals, so dies = 3 × 64f. 12xr = 192f. 36 xr*

5) Ein *Buchhändler giebt vom Thaler 5 gr Rabatt*, vom *Gulden 10 xr*, *wie viel % dies*?

| 30 gr. : 100 = 5 : x; |  | 60 xr : 100 = 10: x |
|---|---|---|
| x = 16⅔ |  | x = 16⅔. |

Oder 5 Gr. = ⅙ v. 1 Thaler, so ⅙ aus 100 = 16⅔ u. ⅙ aus 1 fl. = 10 gr., *ebenfalls* ⅙ aus 100 = 16⅔.

* * *

6) Ein Buch *kostet netto 1.2 Thaler* *(= 1 Th. 20 Gr.)*, wieviel *ordinär mit 33⅓% Rabatt*?

*Also:* *66⅔ : 50 = 100 : x*; *nämlich 33⅓% im 100 = 100 – 33⅓ = 66⅔.*

Also x = 50⨯100/200:3 = 50 ×  3/2 = 75 [gr.].

* * *

Man hätte aber auch rechnen können: 33⅓% = ⅓ des Capitals, also das rabattirte Capital 50 = ⅔ des rabattirenden Capitals; hence Hälfte von 50 = 25 das letzte Drittheil des Capitals; hence *50 + 25 = 75* das rabattierende Capital.

* * *

7) *Bei Waaren* der *Zahl nach verkauft*, *Rabatt oft gegeben durch Zugabe einer Anzahl Stücke auf gewisses Quantum*. *Z. B. eine Flasche Wein auf ein Dutzend zugegeben.* *Wie viel %* a) *von* u. b) *auf* 100.

| a) | 13 : 100 = 1 : x; | b) | 12 : 100 = 1 : x |
|---|---|---|---|
|  | x = 7 9/13% |  | x = 8⅓%. |

* * *

8) *Einem Waarenhändler wird ein u. derselbe Artikel von 4 verschiednen Fabrikanten zu folgenden Preisen angeboten:*

a) zu *16s. 8d. mit 8%*, b) zu *16s. mit 6¼%* *Discount od. Rabatt vom Hundert*; c) *zu 17s. 3d. mit 12½%*, d) zu *18s. 1d. mit 16⅔% auf Hundert*. *Welcher Preis der vortheilhafteste?* (vorausgesetzt dass *keine Modification in den 4 Preisbestimmungen eintritt durch Qualität der Waare u. Verkaufsziel.*)

Alle *Preise de prime abord vom Rabatt zu befreien*, der *dann bleibende niedrigste Preis ist der vortheilhafteste*.

a) *16⅔s. à 8%*; 16⅔s. = *⅙ aus 100*; *⅙ aus 8% = 1⅓* (6 × 1⅓ = 6 6/3 = 8) Also: *16⅔s. – 1⅓ = 15⅓s. netto*.

b) *16s. mit 6¼ per 100* 6¼% =  1/16 aus 100; also  1/16 aus 16 = 1. Also *16s. – 1* = *15s. netto*.

c) *17s. 3d. à 12½%*; *12½% =  1/9 aus 112½* (nämlich *112½* ist die *12½% auf 100*);  1/9 aus 17s. 3d. = 1s. 11d. Also: *17s. 3d – 1s. 11d = 15s. 4d. netto*.

d) *18s. 1d. à 16⅔%*; 16⅔% auf 116⅔ (*Procent auf 100*) =  1/7;  1/7 aus 18s. 1d. = *2s. 7d.* Also 18s. 1d minus 2s. 7d. = 15s. 6d.

Wir haben also die Nettopreise. *a) 15⅓s. b) 15s. c) 15s. 4d. d) 15s. 6d.*; also *b) anzunehmen*.

* * *

#### D) Zinsrechnung.

⦗*Sieh den schönen Existenzgrund des Zinses.* (p. 196)

Nämlich: der Entlehner, Schuldner *kann*, so lange es in seinem BeSitz bleibt, das »Geld zu seinem Nutzen verwenden«. »Da nun *auch der Darleiher*, der Verpumper, *dies könnte*, so hat er das Recht von seinem Entlehner *eine Entschädigung* zu fordern, welche *Zins* od. *Interesse* genannt wird. Das *dargeliehene Geld* heisst *Kapital*.«

Zum *„Nutzen verwenden“*, kann heissen, 1) das Geld „verwerthen“, i. e. *als Kapital* „verwenden“; oder aber 2) es vernutzen, i. e. *consummiren*. Es ist aber noch ein dritter Fall möglich, auf den wir schliesslich kommen werden.

Nehmen wir erst 2) *Der Anleiher verzehrt das Geld* , aber er muss andre Mittel haben um (sonst hätte er es nicht gepumpt erhalten) es nach Ablauf des Termins zu restauriren; der „Darleiher des Geldes könnte dies auch thun“, d. h. das Geld verausgaben, nicht als Kapital, sondern für Genüsse. Hätte er das gethan, so wäre dies Geld ihm ein für alle mal im Laufe des Termins (wofür er es verleiht) alle geworden ohne Rückkehr; statt dessen erhält er es jetzt unverzehrt zurück; sein Schuldner hat also das Recht eine „Entschädigung“ dafür zu verlangen, dass er sein Geld als „Kapital“ erhalten u. es vor der Fressbegier seines Eigners gerettet hat pro tanto.

Nun zu 1) Der *Pumper verwendet das Geld produktiv* u. verwendet es in diesem Sinn zu „seinem Nutzen“. Der Verleiher *„kann nicht dies selbe thun“*, wenigstens nicht während des Termins, worin er das Geld verpumpt; denn, wenn er es könnte, würde er’s nicht verpumpen. Sein Verpumpen ist der hand greifliche Beweis, dass er selbst das Geld nicht als Kapital Nutzbringend anzuwenden weiss. Erhält er es also Ende des Termins zurück, so hat er auf nichts verzichtet, er ist grade im selben Zustand wie vorher, vielleicht nur mit dem Unterschied, dass er jetzt im Stand es Nutzbringend zu verwenden. Er hat also auf keine Entschädigung irgend einer Art ein „Recht“.

Aber, sagt man vielleicht, er könnte es selbst Nutzbringend anlegen, findet es aber mit weniger Unbequemlichkeit od. weniger Risiko verknüpft, es auf *Zins* zu verleihen. Hier ist schon unterstellt als selbstverständliches Geschäft – das *Geldverleihen auf Zins*, das grade erst auf einen „Rechts“grund hin construirt werden könnte. Denn die Phrase, er, der Verleiher „könnte dasselbe“ thun, passt nicht mehr. Er *will nicht dasselbe* thun, will faullenzen. Der Rechtsgrund käme also darin hinaus, dass weil er selbst faullenzen u. doch Mehr Geld aus seinem Geld machen will, er das „Recht“ hat eine „Entschädigung“ von dem Anleiher für eigne Faulheit u. fremde Betriebsamkeit zu verlangen, od. aber, dass er ein „Recht“ hat *Zinsen v. seinem Geld* zu verlangen, weil er sein *Geld auf Zinsen* verleiht.

Aber er läuft das Risico, sein Geld zu verlieren? Entweder ist das Risico reell od. eingebildet. Wenn „eingebildet“, so verlangt er „Entschädigung“ für die Qual, die ihm seine „Einbildung“ verursacht hat; wenn reell, so erhält er sein Geld nicht zurück, trotz des ausbedungnen Zins. In dem einen Fall erhält er faktisch weder Zins noch Kapital, u. nutzen ihm alle Rechte nicht, weil er das „Unrecht“ begangen hat sein Geld zu riskiren; in dem andern Fall kann ein nur „eingebildeter“ Verlust auch nur Recht auf eine „eingebildete“ Entschädigung geben u. in der That, wenn er sich „eingebildet“ das Geld sei so gut wie verloren, ist dessen wirkliche u. nicht eingebildete Rückkehr in seine Tasche eine überraschende Freude für den eingebildeten Schreck.

3) Ein selbstarbeitender Producent pumpt, entweder weil er in der Noth, dringende Zahlung zu machen od. die Anschaffung eines Productionsingredienz dringend bedarf. Der Verleiher kann nicht „dasselbe“ thun. Er ist nicht in Noth, sonst hätte er kein Geld zu verleihn; er hat keine dringende Zahlung zu machen, sonst würde er zahlen statt zu verleihen; er braucht nicht die Anschaffung eines Productionsmittels, sonst würde er es anschaffen mit seinem Geld, statt dies zu verpumpen. Also kömmt der ganze Rechtsgrund hier darauf hinaus: Wenn er sein Geld verpumpt, so könnte er – es nicht verpumpen. Und in fact dies sein einziger Rechtsgrund. Er ist nicht gezwungen es gratis zu verpumpen. Sein Rechtsgrund Zins zu verlangen, ist, dass er es nicht ohne Zins hergeben will. Von Entschädigung u. solchem Quatsch hier keine Rede. Es ist hier die Thatsache; er *will* es auf Zins verpumpen u. er *kann* seinen Willen exequiren, weil er sich in einem Umkreis ökonomisch-gesellschaftlicher Bedingungen befindet, wo *Geld auf Zins verpumpen* ein mögliches Geschäft ist. Dass dies der Fall, ist unabhängig v. allen Raisonnements u. Rechtsbegründungen, die der Einzelne für sein faktisches Verleihn auf Zins anführen kann.⦘

*Einfache Zinsen*, zu gewissen Zeiten (*Zinsterminen*) zahlt u. in bestimmter Zeit das dargeliehne *Capital unverändert zurückzahlt*. *Zinseszinsen* (*zusammengesetzte Zinsen*), wenn er die *fällig werdenden Zinsen*, statt sie an *den bestimmten Zinsterminen* zu zahlen, sie zum *Kapital schlägt* (*kapitalisirt*), *um das dadurch vermehrte Kapital zu verzinsen*.

##### A) Berechnung der einfachen Zinsen

##### Fragen:

I) *wie viel betragen die Zinsen v. gewissem Kapital in gewisser Zeit nach gegebnem Zinsfuss?*

II) *Wie gross ist das Kapital wovon gewisse Zinsen in gewisser Zeit nach gegebnem Zinsfuss gerechnet wurden?*

III) *Welches is der Zinsfuss, wozu ein gewisses Kapital ausgeliehen ist, das in einer gegebnen Zeit gewisse Zinsen geliefert hat?*

IV) *Welches ist die Zeit, während derer ein gewisses Kapital ausgestanden hat, wenn es nach einem gegebnen Zinsfuss gewisse Zinsen brachte?*

V) *Ermittlung des um die Zinsen vermehrten Kapitals*

VI) *Ermittlung des Kapitals od. der Zinsen, die in einem Capital u. Zinsen einschliessenden Werth enthalten*

VII) *Auffindung eines mittleren Zinsfusses.*

Berechnung in diesen Fällen durch *Regel de Tri od. Regel Multiplex*, *entweder mit directen od. indirecten Verhältnissen*.

##### I) Aufsuchung der Zinsen eines Kapitals;

versteht sich bei *Discontogeschäften in der Regel für 1 Jahr*, manchmal f. den *Monat*. Ueberhaupt aber lassen sich Zinsen eines gegebnen Kapitals *berechnen*: *1) nach Jahren, 2) Monaten, 3) Wochen, 4) Tagen.*

##### 1) Zinsen nach Jahren.

a) Wenn *für 1 Jahr* die *Zinsen* zu berechnen, u. *Zinsfuss* sich auch für *1 Jahr* versteht, so kommt *die Zeit nicht weiter in Betracht*. Wäre *der Zinsfuss ein monatlicher*, so durch *Multiplication mit 12 auf jährlichen* zu bringen.

*Wie viel die jährlichen Zinsen v. 834 rth zu 3%*? *100 : 834 = 3 : x* x = 8.34 × 3 = *Th. 25.02* od. 1% = 8.34 Th. *3% = 25.02*

b) *Sind die Zinsen eines Kapitals für mehre Jahre zu berechnen*, so *für 1 Jahr berechnet × mit Anzahl der Jahre*.

Z. B. Zinsen *v. 834 rth zu 3% in 7 Jahren*: In *1 Jahr* = Th. 8.34 in *7 Jahren = 58.38*

*Vereinfachung geschieht dadurch, dass man Zinsfuss mit Anzahl der Jahre multiplicirt*; so z. B. *4½% in 2 Jahren* = *4½ × 2 = 9% in 1 Jahr* = *1% in 9 Jahren* etc.

*Fcs 485.50 à 3½% in 4 Jahren*; 3½% in 4 Jahren = 14% in 1 Jahr,

| 1% = 4.855 |  |
|---|---|
| × 14 |  |
| Fcs 67.970 | = 67 Fcs. 97 ct. |

c) *Bestehn Kapital, Zinsrate u. Zeit aus unbestimmten Zahlen*, *so Ansatz zu machen* u. *zwar nach Regel multiplex*, da *2 Verhältnisse*, *Capital u. Zeit*, *auf die Zinsen einwirken*. (verte)

| *Wie viel die Zinsen v. 819 Rt. à 4⅔% in 1¾ Jahr?* | *Wie viel die Zinsen von 56f. à 6½% in ¾ Jahren?* |
|---|---|
| 100 : 819 = 4⅔% : x | 100 : 56 = 6½ : x |
| 1 : 1¾ = | 1 : ¾ |
| x = 819 ⨯  14/3 ⨯  7/4 = 273⨯7⨯7/100⨯2 | 56⨯ 13/2⨯¾ /100 = 14⨯13:2⨯3/100 = 7⨯13⨯3/100 |
| x = 66.885 Th. | x = 7⨯13⨯3/100 = 2.73 fl. |

* * *

##### 2) Zinsen nach Monaten.

*Man berechnet erst für Jahr, u. dann den so vielten Theil als die Monate aus einem Jahr bilden.*

a) *964 Th. zu 5% in 5 Monaten?*

- *9,64 × 5 = 48.20 Th. = 5% in 1 Jahr*
- *16.066 = 5% in 4 Monaten* (= ⅓ Jahr.)
- *4.017 = 5% in 1 Monat*
- *20.085* zu 5% in 5 Monaten.

* * *

*Zinsen v. 520 Th. zu 3% in 4 Monaten*?

*4 Monate = ⅓ Jahr*; ⅓ × 3% = 1%; also den 100sten Theil von 520 = *5.20 Th.*

* * *

b) *Sind Capital, Zins u. Zinsfuss unbequem so Regel multiplex*

*Wie viel Zinsen von 429 Th. à 3½% in Monat?*

- *Capital* 100 : 429 = 3½ : x
- *Monate* 12 : 19
- x = etc

* * *

*1236 fcs zu 4½% v. 16 Jan. 1854 bis 16 Dec. 1855* (*11 Monate*)

- *fcs 1236* in 1 Jahr à 4½% geben: 1236⨯9/2 : 100; also in 2 Jahr *12.36 × 9*
- *12.36 × 9 in 2 Jahren*
- *111.24* = *4½% in 2 Jahren* ; davon der 24 Theil = 1 Monat, giebt:
- *4.635* = 4½% in 1 Monat. (=  1/24 v. 2 Jahr.)
- 1/24 v. 2 Jahren =  1/12 v. 1 Jahr.
- Geben  1/24 v. 1 Jahr 4.635, so 24 Monat 4.635 u. 23 Monat. = *4.635 ⨯ 23* = *fcs. 106.605*

* * *

Die *Zinsfüsse im Handel* bestehn meist aus Zahlen wie *2, 3, 4, 5, 6*, so:

*Allgemeiner Ansatz:*

- *100 Capital : gegebnem Capital* = *Zinsfuss : x*
- *12 Monate : gegebnen Monaten*

* * *

Ohne Ansatz dividirt man durch *mit Zinsfuss in 12 × 100* od. *1200*; so *Quotient* erhalten, womit man in das *Product* von *Capital × Monaten* dividirt, wenn vorher keine Abkürzungen zu machen

| So | 1% =  1200/1 = 1200; | für | 1½% = 1200/1½  = 800 |
|---|---|---|---|
| für | 2% =  1200/2 = 600; |  | 3% =  1200/3 = 400; |
|  | 4% =  1200/4 = 300; |  | 5% =  1200/5 = 240; |
|  | 6% =  1200/6 = 200. |  |  |

*Wie viel die Zinsen*

von 968 Th. à 4% in 7 Monaten?

- x = 968⨯7/300; nämlich f. 12 Monate:  1200/4 = 300; u. 968 × 7 (Capital mit Monaten) dividirt durch diesen Quotient
- *x =  6776/300 = 22.59 Th.*

Hätte man anders gerechnet:

- so: *100 : 968 = 4 : x* = *38.72* in 12 Monaten.
- hence: in 1 Monat = 3.22⅔
- in 7 Monaten = *22.58⅔* = *22.59 Th.*

* * *

*Wie viel 862f. in 9½ Monaten à 3%?*

- 1200/3 = 400; nämlich f. 1 Jahr od. 12 Monate dies.
- Hence: 862⨯9½ /400 = 862⨯ 19/2 /400 = 431⨯19/400 = 20.47f.

* * *

*Kommt das Kapital dem Divisor gleich*, *so die Zinsen = der Anzahl der Monaten*

| *Z. B. 240 Rt. zu 5% in 11 Monaten.*; | ebenso *900 Th. zu 3% in 4 Monaten*? |  |  |
|---|---|---|---|
| 1200/5 = 240; also 240⨯11/240 = 11 | 1200/3 = 400; 4⨯900/400 = 400⨯9/400 = *9 Thlr.* |  |  |
|  | Oder hier in andern Worten |  | 900 Th. zu 3% in 4 Monaten |
|  | ist | = | 400 Th. zu 3% in 9 Monaten. |
|  | Da stets Procentsatz zu multipliciren mit dem gegebnen Capital, wie hier 900 Th. × 4 M., so dasselbe Product *wenn der eine factor wie 400 Th. × 9 Monate* . |  |  |

* * *

##### 3) Zinsen nach Wochen

Bis zum *1 Januar 1851*, wo die *allgemeine deutsche Wechselordnung eingeführt*, *nur unter den Augsburger Banquiers üblich*; diese rechneten nur einmal (*Mittwochs*, seit 1 Jan. 1871 dagegen 2 ×, Montag u. Donnerstag ab) in der Woche ab od. *scontrirten* (*scontrare* antreffen, *scontrarsi con uno* einen antreffen; *scontrare* aber auch gegen etwas andres halten, damit vergleichen, Rechnung oder sonst was; *scontro* Begegnung), theilten das Jahr daher in *52 Wochen ab*, die sie *scontri nannten*.

##### 4) Zinsen nach Tagen.

*Im kaufmännischen Verkehr meist nach Tagen gerechnet*, aber in *England u. America* Jahr = *365* Tage gerechnet, daher auch *jeden Monat zu den Tagen*, die er wirklich hat.

Sonst *Jahr* = *360 Tagen* genommen; auch wenn die Zinsen zu ebensoviel Tagen per Monat berechnet werden *als der Monat wirklich hat*, so versteht sich doch *der Zinsfuss* immer für *360 Tage*.

Von *7 Februar bis 11 Sept. 1855 sind 216* Tage; wird das *Jahr zu 360 Tagen* u. *der Monat zu 30 Tagen* gerechnet, so sinds *213 Tage*; sind nämlich 7 Monate + 3 Tage; also 7 Monate zu 30 Tagen = *210; + 3 = 213*

*So 3 Methoden möglich*, z. B. Wieviel die Zinsen v. *1832 Th zu 4% v. 7 Feb. – 11 Sept. 1855*?

| a) Zinsfuss f. 365 Tage. | b) Zinsfuss für 360 Tage. | c) Zinsfuss f. 360 Tage |
|---|---|---|
| 1 Monat = so viel Tagen als er hat. | 1 Mnt = so viel Tagen als er hat. | 1 Monat = 30 Tage |
| *Thlr* 100 : 1832 = 4% : x | *Thlr.* 100 : 1832 = 4% : x | *Thl.* 100 : 1832 = 4% : x |
| *Tage* 365 : 216 | *Tage* 360 : 216 | *Tage:* 360 : 213. |
| *x = 43 Th. 11 gr.* | *x = 43 Th. 29 Sgr.* | *x = Th. 43. 16 gr. 8 Pf.* |

Da sub c): *100 Capital : gegebnem Capital = Zinsfuss : x* *= 360 Tage: gegebnen Tagen*, so erhält man: gegebenes Capital ⨯ gegebnen Tagen ⨯ Zinsfuss 36000 .

Nun sind die meisten der im Handel gebräuchlichen Zinsfüsse ohne Rest in 36 000 dividirbar; z. B.  36000/4 = 9000,  36000/5 = 7200,  36000/3 = 12 000,  36000/6 = 6000, 36000/1½  = 24 000. *Man erhält also die Zinsen*, indem das gegebne *Capital mit den Tagen multiplicirt* u. dividirt das Product [durch] den Quotient (36 000) dividiert durch Zinsfuss giebt.

| 1% =  36000/1 = 36 000; | 4½% = 36,000/4½  = 8000; | 3% =  36000/3 = 12 000 |
|---|---|---|
| 1½% = 36000/1½  = 24 000; | 6% =  36000/6 = 6000; | 4% =  36000/4 = 9000 |
| 2½% = 36000/2½  = 14 400; | 1¼% = 36000/1¼  = 28 800; | 5% =  36000/5 = 7200; |
| 3¾% = 36000/3¾  = 9600; | 2% =  36000/2 = 18 000; | 6¼% = 36000/6¼  = 5760. |

* * *

So z. B. *Zinsen v. 948 Rth. à 4% in 148 Tagen*?

- 948⨯148/9000 = 316⨯148/3000 =  46768/3000
- = *15 Th. 18 gr.*

Dies Verfahren auch anwendbar, wenn der Zinsfuss nicht in 36 000 ohne Rest aufgeht.

*Z. B.* wie viel die *Zinsen v. 1212 Th. à 3½%* in *164 Tagen*?

| 3½% = 3% + ½%.; hence = 4% – ½%; hence: |  |  |  |
|---|---|---|---|
| für 3% = 1212⨯164/12000 = 101⨯164/1000 =  16564/1000 | = | 16 Th. | 17 Gr. |
| + ½% = ⅙ aus 3% | = | 2 | 23 |
| Summe: |  | 19 Th. | 10 |

* * *

Ist *das Capital = dem zum Zinsfuss gehörigen Divisor*, so *Zinsen = Anzahl der gegebnen Tage*.

Z. B. 12 000 Th. zu 3% für 86 Tage hat dieser:  36000/3 = 12 000, also *x = 12000⨯86/12000* ; *hence = 86*. Ist nun das Capital nicht ganz so gross, so die Rechnung leicht durch Zerlegung zu machen, *z. B. von 6000 fcs à 5% in 180 Tagen*?

| 5% giebt Divisor 7200; | also 7200 giebt | 180 Zinsen. |
|---|---|---|
| 7200 – 6000 = 1200; | minus 1200 | = 30 Zinsen |
|  | Summa | 150 fcs Zinsen |

*Eine Anzahl v. Tagen = dem 100sten Theil des zu dem Zinsfuss gehörigen Divisors, giebt den 100sten Theil des Kapitals an Zinsen.*

*z. B.* Capit. ⨯ 72 Tage/7200 (wo Zinsfuss = 5%) giebt als *Zinsen*: *Capital* ⨯  1/100 = Capital/100. *f. Zinsen*

Ebenso: Capit. ⨯ 60 Tage/6000 (wo Zinsfuss = 6%) giebt Capit. ×  1/100 = Capital/100 f. Zinsen.

Demnach sind die Zinsen irgend eines Capitals

| à | 1% in 360 | Tagen =  1/100 des gegebenen Kapitals od. 1%. |
|---|---|---|
|  | 1¼〃 in 288 |  |
|  | 1½〃 in 240 |  |
|  | 2〃 in 180 |  |
|  | 2½〃 in 144 |  |
|  | 3〃 in 120 |  |
|  | 3¾〃 in 96 |  |
|  | 4〃 in 90 |  |
|  | 4½〃 in 80 |  |
|  | 5〃 in 72 |  |
|  | 6〃 in 60 |  |

Dies auch so sich ergebend: Giebt *100 in 360 Tagen 5 Zins*, so in *72 Tagen*, i. e. in  360/5 =  5/5 = 1%, *also 1% des gegebnen Capitals*. Dividirt man also die Zahl *der Tage eines Jahrs (360) durch die gegebnen Tage*, so erhält *man eine Anzahl v. Tagen*, wo der *Zins des gegebnen Capitals* =  1/100 derselben = 1% sind.

Ist *die Anzahl der Tage > < als der Zinsfuss fordert*, so *geschieht die Berechnung durch Zerlegung*. *Z. B.* *x Zinsen für 835 fcs à 4% in 108 Tagen?*

| für 90 Tage (=  360/4) | = | 1/100 des Capitals | = | 8.35 fcs |
|---|---|---|---|---|
| f. 19 Tage | = | about ⅕ aus 90 | = | 1.67 |
|  |  |  |  | 10.02 Zinsen |

*Versteht sich Zinsfuss für 365 Tage*, so *diese Methode nur bei Zinsfuss v. 5% anwendbar*, da nur *5 aufgeht in 36 000*.  36000/5 = *7200*.

*Hat man Zinsen nach Jahren, Monaten, Tagen zugleich zu berechnen, so Regel multiplex od. Zerfällungsmethode.*

Z. B. *x Zinsen v. 1980 à 5% in 3 Jahren, 5 Mt. 9 Tagen*

| a) | Th. 100 : 1980 = 5% : x | oder b) | 19.80 × 5 |
|---|---|---|---|
|  | 1 Jahr zu 3 53/120 |  | 99,00 = 5% in 1 Jahr |
|  | x = 1980⨯5/3 53/120⨯100 = 198/3 53/120⨯2 |  | 297,00 = ditto in 3 J. |
|  | = 99/3 53/120  = 340.725 Th. |  | 33.00 = 4 Monate |
|  |  |  | 8,25 = 1 Mt |
|  |  |  | 1.65 = 6 Tage. |
|  |  |  | 0.825 = 3 Tage |
|  |  |  | 340.725 Thl. |

* * *

*Wenn die Zinsen mehrerer Kapitalien zu berechnen*, *so die eines jeden einzeln berechnet u. dann die Summe gefunden*; oder aber *die Zinsen von dem Gesammtbetrag* der *Capitalien berechnet*, wobei folgende Fälle zu unterscheiden:

a) *Gleicher Zinsfuss u. gleiche Zeit*; b) *Ungleicher Zinsfuss u. gleiche Zeit*; c) *Gleicher Zinsfuss u. ungleiche Zeit*; d) *Ungleiche Zeit u. ungleicher Zinsfuss*

##### a) Gleicher Zinsfuss u. gleiche Zeit.

*Hier nur die Capitalien zu addiren u. der Zinsfuss auf gewöhnliche Art zu suchen.* Z. B. *x Zinsen v. 960 fcs, [430,] 500, u. 1250 à 9 Monaten à 4%*.

| 960 [+ 430] + 500 + 1250 = 3140. |  |
|---|---|
| Hence: | 3140⨯270 Tage (= 9⨯30 Tage od. 9 Monate 9000 |
|  | = 94.2. |

* * *

##### b) Ungleicher Zinsfuss u. gleiche Zeit.

Selber Grundsatz angewandt wie in der Gesellschaftsrechnung; nämlich:

| Die *Zinsen von 100 fcs* à 5% od. 100 fcs à 5% = 500 fc. à 1%.; | dazu | 100 fcs | geben 5 à 5%. | =  1/20 [v.] 100f. |
|---|---|---|---|---|
|  |  | 500 | à 1% geben ditto 5 | =  1/20 v. 100%. |

Oder aber  100/5 =  500/1 ; die Zinsen so in 1%ige verwandelt.

Eben so die *Zinsen v. 100 fcs in 4 Monaten = den Zinsen v. 400 fcs in 1 Monaten*.

Also die *Zinsen* v. *100 fcs à 4% in 3 Jahren* = den Zinsen von *4 × 3 × 100 fs à 1% in 1 Jahre*.

Man *multiplicirt also jedes Kapital mit dem ihm zugehörigen Zinsfuss*, *wodurch Capitalien entstehn die zum selben Zinsfuss v. 1% ausgeliehn sind u. berechnet v. deren Summe die Zinsen f. die gegebne Zeit*.

*x Zinsen von 920 fcs à 4%, 760 fcs à 3%, 184 fcs à 3½ in 1½ Jahren?*

| 920 à 4% = | 3680 fcs | à 1% |  |
|---|---|---|---|
| 760 à 3% = | 2280 ditto |  |  |
| 184 à 3½ | 644 dto |  |  |
|  | 6604 fcs | à 1% | in 1½ Jahren = 6604⨯1½ /100 = *99.06 Zinsen* |

Berechnet man einzeln, so:

| 920 | à | 4% | in | 1½ Jahren | = | 55.2 fcs Zinsen |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 760 |  | 3 |  | 1½ |  | 34.2 |
| 184 |  | 3½ |  | 1½ |  | 9.66 |
|  |  |  |  |  |  | 99.06 fcs wie oben |

* * *

##### c) Gleicher Zinsfuss u. ungleiche Zeit.

*Haben die gegebenen Zeiten nicht dieselbe Benennung, so sind sie d’abord darauf zu reduciren*; *dann jedes Kapital multiplicirt mit der ihm zugehörigen Zeit*, *wodurch Kapitalien entstehen*, *wofür* die Zinsen bei gleicher Zeit *1 Jahr* , *1 Monat* etc zu berechnen.

*x Zinsen f. 900 fcs.* *in 7 Monaten*, *840 in 6½ Monaten* , *650 in ¾ Jahren* u. *1245 in 20 Tagen* *à 5%*?

| 900 in 7 Monaten | = | 6300 in 1 Monat. |  |  |
|---|---|---|---|---|
| 840 in 6½ | = | 5460 |  |  |
| 650 in 9 | = | 5850 |  |  |
| 1245 in ⅔ Monaten (= 20 Tagen) | = | 830 |  |  |
|  |  | 18 440f. in 1 Monat à 5% |  |  |
|  |  | x = 18440f.⨯1/240 = *76.50*; |  | nämlich: 100 : 18 440f. = 5 : x |
|  |  |  |  | 360 : 30 od. 12 : 1 |
|  |  |  |  | 18440⨯5/1200 =  18440/240. |

* * *

##### d) Ungleicher Zinsfuss u. ungleiche Zeit;

*Erst die ungleichartig ausgedrückten Zeiten auf selbe Benennung gebracht, multiplicirt man jedes Kapital mit Zeit u. Zinsfuss die ihm zugehört.* *Man erhält so verschiedne Capitalien (durch diese Producte) zum selben Zinsfuss à 1% auf 1 Zeit, also von selbem Zinsfuss u. selber Zeit.* *Die Summe der Producte giebt daher Zinsen bei gleichem Zinsfuss u. gleicher Zeit.*

*x Zinsen von 490 Mark Banco à 3% in 9 Monaten*, *von 860 à 4[%] in 1¼ Jahren* , *642 à 6% in 65 Tagen* u. *2000 zu ⅜% per Monat in 10 Monaten*?

Zunächst alles auf Monate zu reduciren; also *1¼ Jahr = 12 + 3 Monate = 15 Monate*; *65 Tage* = 2 Monate (60) u. ⅙ Monate =  30/6 (5 Tage), also 2⅙ Monat; ferner ⅜% per Monat für 10 Monate = 4½% im Jahr.

Also:

| 490 fcs à 3% in 9 Monaten | = | 13 230 fcs |
|---|---|---|
| 860 〃 à 4 〃 in 15 〃 | = | 51 600 |
| 642 à 6 〃 in 2⅙ 〃 | = | 8346 |
| 2000 à 4½ 〃 in 10 | = | 90 000 |
| Summe | = | 163 176 zu 1% in 1 Monat |
| x =  163176/12000 = *Mark Banco 135.15β* |  |  |

| Nämlich | 100 : 163 176 = 1% : 1 Monat. |
|---|---|
|  | (360 : 30) |
|  | od. 12 : 1 |
|  | Also  163176/1200 |

* * *

⦗*Bei Berechnung der Profitrate*, *die das Gesellschaftliche Kapital ergiebt wurde angenommen*, 1) *dass die Rate des Mehrwerths dieselbe f. die verschiednen Kapitalmassen* in *den verschiednen Industriezweigen*, 2) und vom Umschlag *abgesehn*, *i. e. der Umschlag des Gesellschaftskapital im Jahr = 1 gesetzt*.

In der That für die verschiednen Kapitalmassen *verschiedne Raten des Mehrwerths u. verschiedne Umlaufszeiten*. Zunächst sind die *verschiednen Umlaufszeiten* *auf gleiche* Benennung zu reduciren, z. B. Monate. Der Bequemlichkeit wegen Jahr = 360 Tagen u. Monat = 30 Tagen anzunehmen.

*Hierauf multiplicirt man jedes Kapital mit der Umlaufszeit* u. *der Profitrate* die *ihm angehört* (diese ja procentig ausgedrückt, also wie Zins); diese Producte jedes dann gleich Kapital zum Zinsfuss von 1% u. selbe Zeit z. B. 1 Monat. Man *berechnet* *dann von deren Summe* die *Zinsen* *für 1 Zeit*, *d. h. für 1 Jahr, 1 Monat, etc*

Es sind dies nur aus den rein ökonomischen Bedingungen hervorgehnde Differenzen, nämlich verschiedne *Grössen der in jeden Geschäftszweigen angelegten Kapitalmassen*, *verschiedne Exploitationsraten der Arbeitskraft*, *verschiedne Umlaufszeiten*. Aber andre Gesichtspunkte der Ausgleichung, wie Unannehmlichkeit des Geschäfts, Gefährlichkeit, Respectabilität desselben etc.

Bei *Geschäftszweigen*, *die natürliche Monopole* in *der kapitalistischen Wirthschaft* bilden, bewährt sich dies dadurch, dass *ihre Profitrate* nicht ganz in die gleiche Theilung eingeht, also ein *Surplusprofit* an den Fingern hängen bleibt.

Hier nun 2erlei; entweder ist dies *Monopol nur temporär* u. durch Entwicklung der Kapitalanlagen in besagten Geschäften brechbar, also durch die gewöhnliche kapitalistische Concurrenz; dann befestigt sich der Surplusprofit nicht zur Rente.

Oder das Gegentheil ist der Fall; dann befestigt er sich zur Rente; die aber wieder grossen Wechseln in ihrer Quantität unterworfen, z. B. die Grundrente.

Andrerseits Geschäftszweige, die natürliche Monopole bilden, wie z. B. Eisenbahnen, da ihr Profit nicht eingeht in die Reglung der allgemeinen Profitrate, d. h. nicht durch die Concurrenz zum Niveau damit deprimirt werden kann, so andrerseits können sie, bei gelegentlichen mishaps, xxxxxxx constituirt, auch unter die allgemeine Profitrate fallen; das enorme fixe Capital, das darin angelegt, schwer u. zum Theil ganz unentziehbar; u. nur durch Expansion od. Contraction des in jedem bes. Geschäftszweig angelegten Theil des gesellschaftlichen Capitals kann die Ausgleichung v. stattengehn. – Bei Berechnung der allgemeinen Profitrate, so weit in Betracht kommen solche Surplusprofite, ist Rechnung wie bei Gesellschaftsrechnung, wo einzelne der Associés besondre Prämie neben dem mit den andern gleichen Antheil erhalten.⦘

* * *

##### II) Aufsuchung des Kapitals

*Bei Aufsuchung der Zinsen eines Kapitals nur directe Verhältnisse:*

- *Je mehr Capital*, *desto mehr Zinsen*; *je weniger Capital desto weniger Zinsen*
- *Je mehr Zeit*, *desto mehr Zinsen*; *je weniger Zeit*, *desto weniger Zinsen*

*Dagegen bei Aufsuchung des Kapitals, des Zinsfusses u. der Zeit*, wechseln *directe u. indirecte Verhältnisse mit einander ab*.

Hier zunächst zu Bemerken mit Bezug *auf Aufsuchung des Capitals*

1) *Das Capital steht zu den Zinsen in einem directen Verhältniss*; d. h. *je mehr Zinsen*, *desto mehr Capital*. *Hier ist aber gegebner Zinsfuss vorausgesetzt* ⦗*bei gegebnem Zinsfuss daher u. gegebnem Capital:* *Je grösser das Kapital, desto mehr Zinsen*⦘

- Z. B. *x Kapital*, *dessen jährliche Zinsen à 5% = 165 fs.*? *5 : 165 = 100 : x*; x = 165⨯100/5 = *3300*;
- War auch direct zu erhalten. * 165/5 = 33*; *also x = 3300* (*100 ist 33 × in x enthalten wie 5 in 165.*)

2) *Das Capital steht zu Zinsfuss in indirectem Verhältniss*; d. h. *je grösser der Zinsfuss*, *desto kleiner kann das Capital sein*; *je kleiner der Zinsfuss*, *desto grösser muss das Capital sein*.

- Z. B. *x Kapital giebt à 5% dieselben Zinsen*, wie *3200 fs à 4%*? *5% à 4% = 3200 : x* *= 2560*
- Das *kleinere Kapital 2560 zum grösseren Zinsfuss 5%*, *giebt ebenso viel Zinsen wie das grössere Kapital 3200 zum kleineren Zinsfuss 4%*

3) *Das Kapital steht zu der Zeit in einem indirecten Verhältniss*, d. h. *je grösser die Zeitlänge*, *desto kleiner das Capital*, *je kürzer die Zeitlänge desto grösser das Capital*.

- *x Kapital bringt in 4 Jahren dieselben Zinsen, wie 1680 fcs in 3 Jahren?*
- *4 J. : 3 Jahre = 1680 fs : x*; x = *1260 fcs.*
- *Je mehr Zeit, desto weniger Kapital*; 1260, *das kleinre Kapital* musste sich 1 Jahr länger verzinsen als das *grössere Capital*, um dieselben Zinsen zu liefern, wie dies in der kürzern Zeit

4) *Welches Capital brachte in 4 Monaten à 5% + 64 fs Zinsen?*

- 4 Mt. : 12 Monate = 100 fcs. : x (Je *weniger Zeit*, *desto mehr Capital*)
- *5 fcs Zins : 64 fcs Zins = x* (Je mehr *Zinsen*, *desto mehr Capital*)
- x = 1200⨯64/20 =  120/2 × 64 = 60 × 64 = 640 × 6 = *3840 fcs*
- *Ohne Ansatz:* *in 4 Monaten 64 fcs Zinsen*
- In 12 Monaten (*der zu 100 gehörigen Zeit*) *192 fs.*
- *Zu 5[%] Zinsen braucht man 100 Capital*
- *Zu 192 ebensoviel × 100, als 5 in 192 enthalten;* *i. e. 38⅖ × 100 = 3840 fcs*

5) *x Capital gab in 1¼ Jahren 48 Th. Zinsen , wenn man v. 1840 fs Capital in 3½ Jahren 257 Th. 6 erhob*?

- 1¼ Jahr : 3½ Jahr = 1840 : x (*Je weniger Zeit, desto mehr Capital*)
- 257.6 : 48 (*je weniger Zinsen, desto kleiner das Capital*)
- x = 960.

* * *

6) *x Kapital ergab in 5 Jahren à 4% dieselben Zinsen (hier also die Zinsen gleich), die man à 3% in 6 Jahren v. 1800 erhielt?*

- 5 J. : 6 Jahre = 1800 Kapit. : x (*je weniger Zeit, desto mehr Capital*)
- 4% : 3% (*je grösser der Zinsfuss, desto kleiner das Capital*)
- 6⨯1800⨯3/5⨯4 = 6⨯360⨯3/4 = 6 ⨯ 90 ⨯ 3 = 1620.

* * *

##### III) Aufsuchung des Zinsfusses.

1) *x Zinsfuss wozu Capital v. 450f. ausgeliehn, dessen jährliche Zinsen = 18f.*

α)

| 450 : 100 = 18 : x |
|---|
| x = 4%. |

Betrachten wir hier *den Zinsfuss*, als den *Massstab*, wozu *ein Capital (450) für eine gewisse Zeit (hier Jahr) ausgeliehn war*, so das *Verhältniss indirect*; 450 > 100; x daher kleiner als *18*; je *grösser das Capital* als 100 (450), desto *kleiner der Zinsfuss*, erheischt, damit es gewisses Quantum Zinsen (18) in gegebner Zeit liefre.

Betrachten wir dagegen den Zinsfuss als die *Zinsen von 100*, so das Verhältniss *direct*.

Und obige Proportion = Je *kleiner 100 als 450* (je kleiner das Kapital 100 als das gegebne Kapital 450, das 18 in einem Jahr liefert) um so weniger Zinsen liefert 100, also um *so kleiner der Zinsfuss blos als die Zinsen des Capital 100 betrachtet*.

β)

| 75 : 100 = 20 : x |
|---|
| x = 26.66. |

Hier mit Bezug auf *das gegebne Kapital 75*, wo gefragt nach welchem *Zinsfuss* (*Massstab* seiner Verzinsung es für bestimmte Zeit ausgeliehn war) das *Verhältniss indirect*. Je *kleiner das Capital* (75) verglichen mit 100, desto grösser muss der *Zinsfuss* sein, damit es in gegebner Zeit 20 Zinsen liefere. Dagegen der Zinsfuss als Zinsen von 100 betrachtet, wie vorher, das Verhältniss *direct*. Um *so grösser das Kapital 100 als 75*, *um so mehr Zinsen liefert es in derselben Zeit*.

γ)

| 450 : 100 = 18 : x; | x = 8% |
|---|---|
| ½ J. : 1 |  |
| x = 100⨯18/  450/2  = 100⨯18/225 |  |
| x = 8% |  |

In γ) angenommen dass [Kapital von] 450 *in ½ Jahr* 18 Zinsen liefert, während der *Zinsfuss aufs Jahr* zu berechnen.

Hier *Zinsfuss als Massstab* betrachtet, wozu 450 verzinst, ist das Verhältniss *indirect*. Um so *kleiner die Zeit*, *worin das Kapital 450 ein gegebnes Quantum Zinsen* liefert, um so *grösser der Zinsfuss*.

Dagegen *Zinsfuss als Zinsen des Capitals 100* betrachtet, das *Verhältniss direct*. Je *länger die Zeit*, worin das Capital 100 aussteht, desto *mehr Zinsen liefert es*.

2) *x Zinsfuss, wozu ein Capital ausgeliehn werden muss, das in 9 Monaten dieselben Zinsen geben soll, die es in 1¼ Jahr zu 3% gab?*

| 9 Monat : 15 Monat = 3% : x; |
|---|
| x = 5% |

*9 Monat : 15 = 3 : 5*; also *umgekehrt der Zinsfuss = 5 : 3*. *Indirect:* *je weniger Zeit, desto grösser der Zinsfuss.*

* * *

3) *x Procent, wozu 960f. ausgeliehn werden muss, wenn es in derselben Zeit die nämlichen Zinsen geben soll wie 840f. à 6%?*

| f960 : f840 = 6% : x |
|---|
| x = 5¼%. |

*Indirect:* *Je größer das Kapital, desto kleiner der Zinsfuss (um gewisses Quantum Zinsen zu geben)*

* * *

4) *x Procent, wozu ein Capital ausgeliehn, das jetzt 120rth. Zinsen bringt, während es früher à 5% Zinsenertrag v. 133⅓ gab?*

| α) | 133⅓ : 120 = 5 : x |
|---|---|
|  | x = 4½%. |

*Direct:* *je weniger Zinsen, desto kleiner der Zinsfuss*.

| β) | 120 : 133⅓ = 5 : x |
|---|---|
|  | x = 5 5/9% |

Gäbe es dagegen *jetzt 133⅓* , *während es früher à 5% 120rth. gab*, *so wäre x* *(der Zinsfuss)* *jetzt = 5 5/9* : *Direct:* *je mehr Zinsen, desto grösser der Zinsfuss*

* * *

5) *Zu x% ward ausgeliehn, wenn in 4½ Jahren 850f Capital 153f. Zinsen gab.*

| 850f : 153f. = 100 : x |
|---|
| 4½ Jahr : 1 |
| x = 4% |

*Indirect:* *je grösser Capital (850), desto kleiner kann der Zinsfuss sein.*

*Indirect:* *je mehr Zeit (1½) Jahr desto kleiner kann der Zinsfuss sein.*

* * *

6) *Wenn v. 450 fs Capital in 1½ Jahren dieselben Zinsen erhoben, die ein Capital v. 765 fcs in 9 Monaten erhoben zu 6%, zu x% ersteres Kapital ausgeliehn?*

| fcs. 450 : fs 765 = 6% : x |
|---|
| Monate 18 : 9 |
| x = 5 1/10% |

*Indirect:* Je *kleiner das Kapital 450 (vgl. mit dem Capital 765), desto grösser muss der Zinsfuss sein damit es dieselben Zinsen zahle.* *Indirectes Verhältniss.*

*Indirect:* *je mehr Zeit (18 Monat) desto kleiner kann der Zinsfuss sein.*

* * *

⦗Sind 2 Capitalien gegeben, z. B. 1600 u. 400, die zur selben Rate des Mehrwerths od. auch zur selben Profitrate sage v. 10% verwerthet werden, wovon aber 400 viermal im Jahr umschlägt, so:

| 1600 : 400 = 160 : x |
|---|
| 1 : 4 |
| x = 160% |

Je *kleiner das Capital* (400) desto weniger Procent giebt es bei derselben Profitrate

(Je *kürzer die Umschlagszeit* v. (*400*) *desto mehr Procente* giebt)

(In fact 4 × Umschlagszeit giebt *1600 umgeschlagnes* Capital)

* * *

Wenn nun 1600 zu grössrer Profitrate, 15% verwerthet würde u. 400 nur zu 10, letztes aber 4 × im Jahr umschlüge u. ersteres nur einmal, so Ansatz:

| 1600 : 400 = 240 : x |
|---|
| 1 : 4 |
| 15 : 10 |

*x nach wie vor = 160* ; wäre aber das schneller umschlagende Kapital zu 15% verwerthet u. das einmal umschlagende zu 10%, so x = 400⨯160⨯4⨯15 1600⨯10 *= 240%*

##### IV) Aufsuchung der Zeit.

1) *Wie lange stand ein Kapital aus, das 54 fcs Zinsen gab, wenn ein andres gleich grosses Kapital in 3¼ Jahren 52 fcs Zinsen brachte?*

| fcs 52 : 54 = 3¼ J. : x |
|---|
| x = 3⅜ Jahre |

*Direct:* je *mehr Zinsen*, *desto mehr Zeit*; *je weniger Zinsen, desto weniger Zeit*. *Die Zeit steht also zu den Zinsen in einem directen Verhältniss.*

2) *Welcher Zeitlänge bedarf es, um, bei gleichem Zinsfuss, mit 364f. Capital ebenso viel Zinsen zu gewinnen, als mit 390f. in 9⅓ Monaten?*

| 364f. : 390f = 9⅓ Monat : x |
|---|
| x = 10 Monat |

*Indirect:* *je weniger Kapital, desto mehr Zeit* . *die Zeit steht zu dem Kapital in einem indirecten Verhältniss*; *d. h. je grösser das Capital, desto weniger Zeit*; *je kleiner das Kapital, desto mehr Zeit.*

*Also:* Das *grössere Kapital accumulirt rascher als das kleinere*, bei *derselben Profitrate*. Es accumulirt auch rascher (bei gleichem Umschlag), wenn seine Profitrate < als die des kleineren Kapitals; aber nicht mit *kleinerer Profitrate in derselben Proportion worin es grösser ist*.

Z. B. 10 000£ Capital 10 × grösser als 1000 Capital.; wäre die Profitrate nur 1% aber 10% für das kleinere Kapital, so gäbe

| *10 000£* jährlich 100; | 1/100 × 10 000 = 100. |
|---|---|
| u. *1000£* zu 10% ditto 100; | 1/10 × 1000 = 100. |

So lange aber die Profitrate v. 10 000 im gegebnen Fall grösser als 1%, d. h. grösser als die Proportion, worin es > 1000 od. worin 1000 < als 10 000, giebt es grössern Profit; u. kann daher rascher accumuliren.

* * *

3) *Wie viel Jahre müssen 1000f. ausstehn, um à 4% ebenso viel Zinsen zu geben, als sie à 4½% in 2 Jahren 8 Monaten gebracht haben?*

| 4% : 4½% = 2⅔ Jahre : x |
|---|
| x = 3 Jahre. |

*Indirect:* *Je kleiner der Zinsfuss, desto mehr Zeit.* *Die Zeit steht zum Zinsfuss in indirectem Verhältniss*; *je grösser der Zinsfuss, desto weniger Zeit*, je kleiner der Zinsfuss, desto mehr Zeit.

* * *

4) *x Zeit haben 2650 fcs ausgestanden, wenn die Zinsen davon à 4½% … 397½ fcs betragen?*

| fs 2650 Kapital : 100 Kap. = 1 Jahr : x |
|---|
| 4½ Zins : 397½ Zins |

| Indirect: | Je mehr Kapital, desto weniger Zeit |
|---|---|
| Direct: | je mehr Zinsen, desto mehr Zeit |

* * *

5) *x Zeit müssen 1960 fscs ausstehen, ehe sie à 3% dieselben Zinsen bringen, wie 1260 fcs Capital à 3½% in 9⅓ Monat?*

| 1960 fcs : 1260 = 9⅓ : x |
|---|
| 3% : 3½% |
| x = 7 Monat. |

(*Je mehr Capital desto weniger Zeit.* *Indirect*)

(*Indirect:* *je kleiner der Zinsfuss, desto länger die Zeit*)

6) *Capital v. 1780f.* gab in *225 Tagen 44 Mk. 8β Zinsen*; x Zeit müssen *1125 Mark ausstehn um 36½ Mark Zinsen zu geben*?

| Mk 1125 : 1780 Capit. = 225 Tage : x |  | (*Indirect:* je *weniger Kapital, desto mehr Zeit*) |
|---|---|---|
| 44½ Zins : 36½ Zins |  | (*Direct*; *je weniger Zinsen, desto weniger Zeit*) |
| x = 292 Tage. |  |  |

* * *

##### V) Aufsuchung eines um die Zinsen vermehrten Kapitals.

1) *x betragen 1260 fcs in 6½ Monaten an Capital u. Zinsen à 4%?*

a) *Erste Lösung.*; Nach der früher entwickelten Formel:

| 100 : gegebnem Capital = Zinsfuss : x |  |
|---|---|
| 12 Monate : n Monaten, |  |

weshalb: gegeb. Cap.⨯Zinsfuss⨯n 1200 hat man: 1260⨯6½⨯4/1200 = 1260⨯6½ /300 =  21/5 ⨯ 6½ = 21⨯13/10 = *27.3*

Also *27.3 Zinsen* für 6½ Monaten. Dies addirt zu Kapital v. 1260 [+] 27.3 [=] 1287.3 *Capital u. Zinsen*.

b) *Zweite Lösung*. In der ersten *Lösung erst die Zinsen des Capitals 1260 f. 6½ Monate gesucht*; diese dann zum *Kapital addirt*. Aber man kann auch berechnen erst *die Zinsen, die 100 in 6½ Monaten geben*, wenn in 12 Monaten (i. e. 1 Jahr) 4[%].

| 12 : 6½ = 4 : x |
|---|
| x = 2⅙; |

also zu 4% Kapital (i. e.) 100 + Zinsen f. 6½ Monate *= 102⅙* ; danach nun die Sache *für 1260 zu berechnen*.

| 100 : 1260 = 102⅙ : x |
|---|
| x = 1287.3. |

* * *

2) *x werth 980f.* *Capital à 5% an Capital u. Zinsen nach 186 Tagen?*

| α) | 360 Tage : 186 = 5 : x |
|---|---|
|  | x = 2 7/12 |
|  | + 100 = 102 7/12 |

| β) | 100 : 980 = 102 7/12 : x |
|---|---|
|  | x = 1005.66 |

* * *

*Daraus*, u. dies der *Schluss der Discontorechnung*, *dass 980f. zu 5% p. Jahr an Capital u. Zinsen* nach *186 Tagen* werth sind *f.1005.66* folgt umgekehrt, dass *f.1005.66* *, die erst fällig sind nach 186 Tagen* einen *jetzigen baaren Werth* von *980 haben* (1005.66 – f.25.66 = 980)

##### VI) Aufsuchung der Zinsen od. des Kapitals, die in einem Zinsen u. Capital darstellenden Werth enthalten sind.

1) *Nach 7 Monaten erhält man an Capital u. Zinsen für ein à 5% ausgeliehnes Kapital 967 Th. 12 Gr. 5 Pf.* zurück, *wie viel betragen die in dieser Summe enthaltnen Zinsen*?

*Zuerst zu berechnen, wie viel à 5% die Zinsen für 100 während 7 Monaten*

| Mte 12 : 7 = 5% : x. |
|---|
| x = 2 11/12% |
| + 100 |
| 102 11/12 nach 7 Monaten. Capital (v. 100) + Zinsen. |
| 102 11/12 : 967. 5/12 = 2 11/12 : x |
| x = 27  5/12 Th. |
| Das in 967 5/12 steckende Kapital daher = 967 5/12 – 27  5/12 = *940* . |
| Sollte das ursprüngliche Kapital gefunden werden, so. |
| 102  11/12 : 967 5/12 = 100 : x |
| x = 940 |

Wenn aber das nach 7 Monate returnirte Kapital (zu 5% ausgeliehn) von 967 5/12 Th. enthält *940 ausgeliehnes Capital* + 27  5/12 Zinsen, so folgt umgekehrt, dass zur selben Rate der Verzinsung, ein erst nach 7 Monaten fälliger Werth von 967 5/12 Th. *jetzigen baaren Werth hat von 940* (*Discontrechnung*)

* * *

##### VII) Aufsuchung eines mittleren Zinsfusses.

1) *Gleiche Capitalien u. gleiche Zeiten*. Man addirt *die verschiednen Zinsfüsse u. dividirt ihre Summe durch die Anzahl der gleichen Capitalien*.

| Z. B. | 1) Capital 360 | à 3% |
|---|---|---|
|  | 2) Capital 360 | à 3½% |
|  | 3) Capital 360 | à 4% |
|  | 4) Capital 360 | à 5%; |
| dann hat man 4 × 360 à 3 + 3½ + 4 + 5% |  |  |
| hence mittlerer Zinsfuss v. 360 = 3+3½+4+5%/4 = 3⅞%. |  |  |

* * *

2) *Ungleiche Kapitalien u. gleiche Zeiten.*

*Jedes Kapital mit dem ihm zugehörigen Zinsfuss zu multipliciren* ⦗z. B. 2000 Rth. à 3% fürs Jahr geben 60 Zinsen; u. 6000 à 1% geben ebenfalls 60; eben so geben 2000 Rt. à 3% f. 3 Monate  60/4 = 15, u. 6000 zu 1 Monat ebenfalls 15.⦘ *u. die Summe der dadurch erhaltnen Producte durch die Summe der Capitalien zu dividiren*.

*Welches ist der mittlere Zinsfuss folgender auf 3 Monate ausgeliehner Capitalien, 2000 à 3%, 4000 à 4%, 6000 à 4⅓% u. 1500 à 6%?* Indem man jedes dieser Capitalien mit seinem Zinsfuss multiplicirt, erhält man 4 Capitalien, die alle à 1% u. für 1 Monat ausgeliehn sind;

| 2000 × 3 | = | 6 000 |
|---|---|---|
| 4000 × 4 | = | 16 000 |
| 6000 × 4⅓ | = | 26 000 |
| 1500 × 6 | = | 9 000 |
| 13 500 |  | 57 000 |

Man hat also jetzt *13500 : 57000 = 1% : x%*; x =  57000/13500 *= 4 2/9%*.

Also die Zinsen von 13 500 à 4 2/9% in 3 Monaten = 142½ Th.

* * *

3) *Ungleiche Zeiten u. gleiche Capitalien.*

*Alle Zeiten auf selbe Benennung zu reduciren*, i. e. *gleichnamig zu machen, wenn sie es nicht schon sind*; *jedes Kapital wird mit der ihm zugehörigen Zeit multiplicirt u. dividirt die Summe der Producte durch die Summe der Zeiten*

⦗Z. B. *2000 Thaler zu 3% geben in 3 Monaten 15* Thaler; u. 6000 *od. 2000 Thaler × 3* (den Coefficient der Monate) zu 3% geben in  3/3 = 1 Monat ebenfalls 15 Th.⦘

Von 4 gleichen Kapitalien (z. B. 600 × 4 = 2400) ist *1ste* s zu 6 Monaten à 4%, *2tes* auf 5 Monate à 3%, *3tes* auf *4 Monate* à 4½% u. *4tes auf ¼ Jahr*, also *3 Monate zu 5% ausgeliehn*. *Welches der mittlere Zinsfuss dieser Capitalien?*

| 6 Monate | à 4% | = | 1 Monate | à 4 × 6 | = 24% |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | à 3% | = | 1 Mt | à 3 × 5 | = 15% |
| 4 | à 4½ | = | 1 Mt | à 4 × 4½ | = 18% |
| 3 | à 5 | = | 1 Monat | à 3 × 5 | = 15% |
| 18 Monate |  |  |  |  | 72.% |
| Hence: 18 M. : 1 = 72% : x. x =  72/18 = 4% |  |  |  |  |  |

* * *

| Z. B. Jedes der gleichen Capitalien = 600 fcs. |  |  |  | Zum mittleren Zinsfuss à 4% aber geben: |  |
|---|---|---|---|---|---|
| 600 à 4% | in 6 Monaten | = 12 |  | 600 in 6 Monaten | 12 (per Monat 2) |
| 600 à 3 | 5 M. | = 7.5 |  | 600 in 5 Monaten | 10 |
| 600 à 4½ | 4 M. | = 9 |  | 600 in 4 Monaten | 8 |
| 600 à 5 | 3 M. | = 7.5 |  | 600 in 3 Monaten | 6 |
| 2400 |  | 36 Zinsen |  | 2400 | 36 Zinsen |

Für die Berechnung von Fall 4) *Ungleiche Zeiten u. ungleiche Capitalien*, *ist ausser dem mittleren Zinsfuss die mittlere Verfallszeit zu berechnen*, *gehört in die Terminrechnung*

*Diese also sowohl bei Berechnung der mittleren Profitrate für gesellschaftliches Kapital*, *wo die einzelnen Kapitalien ungleich gross u. ungleiche Umlaufszeit haben anzuwenden*.⦘

##### B) Zusammengesetzte Zinsrechnung od. Zinseszinsrechnung.

Wenn *Schuldner die Zinsen nicht vom Capital zur Verfallzeit bezahlt*, *sondern zum Capital geschlagen u. in darauf folgendem Zeitraum mit verzinst werden*. Z. B. entlehnt 100 zu 4%; macht *Ende des Jahrs an Kapital u. Zinsen* = *104*, u. *es sind also f. das 2te Jahr* *104*% zu verzinsen.

Die gewöhnliche Arithmetik – u. dies nur schwerfällig – kann von den hier vorkommenden 4 Fragen nur 3 lösen.

Vorher noch: Zinseszinsen vermehren sich sehr rasch; z. B. ein *Capital zu 3%* in *23.45* Jahren *verdoppelt* sich, *zu 4% in 17.673 Jahren*; *verdreifacht* sich in *37.161 Jahren* etc. *Erfolgt der Zinszuschlag halbjährlich* etc, so natürlich viel rascher.

I) *Wie gross wird nach Ablauf einer gewissen Zeit, ein gegebnes Kapital mit seinen Zinsen u. Zinseszinsen?* (*Verwerthetes od. accumulirtes od. angewachsnes Kapital*)

Die *Ermittlung der Zinseszinsen für sich allein* – statt der Aufsuchung der Zinsen in der einfachen Zinsrechnung – nicht findbar weder vermittelst gewöhnlicher Arithmetik noch Algebra durch besondre Rechnung; man muss *vielmehr das angewachsne Capital* suchen *u. die Differenz zwischen diesem u. dem Stammkapital bildet die Zinseszinsen*.

* * *

1) *Wie gross wird ein Kapital von 850 Th. bei jährlicher Zinsenzuschreibung mit Zinseszinsen à 5% nach 5 Jahren?*

| a) | Erste Lösung durch Kettenregel. |  |  | b) | 2te Lösung; durch Regel de Tri. |  |
|---|---|---|---|---|---|---|
|  | x Th. | = | 850 Th. Capital |  | 100 : 850 = 105 : x. | x = 892.5 Ende des 1t Jahrs. |
|  | 100 | = | 105 nach 1sten Jahr |  | 100 : 892.5 = 105 : x; | x = 937.125 Ende des 2ten Jahrs. |
|  | 100 | = | 105 nach 2t 〃 |  | 100 : 937.125 = 105 : x; | x = 983.9813 Ende des 3 Jahrs. |
|  | 100 | = | 105 nach 3t 〃 |  | 100 : 983.9813 = 105 : x; | x = 1033.1804 Ende des 4 J. |
|  | 100 | = | 105 nach 4t 〃 |  | 100 : 1033.1804 = 105 : x; | x = 1084.8394 Ende des 5 Jahrs. |
|  | 100 | = | 105 nach 5t |  |  |  |
|  | x | = | 1084.8393 |  |  |  |

*Geschähe die Zinsenzuschreibung halbjährlich*, so, nach 5 Jahren:

| x Thl = 850 Capital |
|---|
| 100 = 102.5 nach 1stem Halbjahr |
| 100 = 102.5 nach 2. |
| 100 = 102.5 nach 3 |
| bis 100 = 102.5 nach 10t; |
| Man hätte statt wie sub a) f. 5 Jahre, f. 10 Halbjahre zu rechnen u. fände x = 1088.0718 Th. |

* * *

2) *Wie gross das Stammkapital, das nach 5 Jahren mit jährlicher Zinseszinsenrechnung à 5% auf 1084.8394 Th. anwuchs?*

| a) | durch Regel de Tri: |  |  |  |
|---|---|---|---|---|
|  | 105 : 1084.8393 = 100 : x | x = 1033.1803 | Ende des 5ten Jahrs war Grundkapital: | 1033.1803. |
|  | 105 : 1033.1803 = 100 : x; | x = 983.9812 | Ende des 4t Jahrs | 983.9812. |
|  | 105 : 983.9812 = 100 : x; | x = 937.125. | Ende des 3 Jahrs | 937.125. |
|  | 105 : 937.125 = 100 : x; | x = 892.5 | Ende des 2 Jahrs | 892.5. |
|  | 105 : 892.5 = 100 : x; | x = 850; | also Anfang des 1 Jahrs Stammkapital = | 850. |

| b) | Durch Kettenrechnung: |  |
|---|---|---|
|  | x = 1084.8394 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | 105 : 100 |  |
|  | x = 1084⨯1005 /1055 | = 850 Thl. |

* * *

## Zwischenschub

---

[^lic]: Text nach MEGAdigital (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften), MEGA² IV/25, Lizenz CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/); der editorische Apparat der MEGA ist nicht wiedergegeben.