Cuaderno «1869 I Heft». VII. Cálculo mercantil (Feller y Odermann): cambios, regla de cadena, compañía y aligación

Extractos y notas de Karl Marx escritos en Londres a comienzos de 1869 en el cuaderno que tituló «1869 I Heft» (IISG, Ámsterdam, Karl Marx and Friedrich Engels Papers, B 113 [B 105]), del manual de Friedrich Erdmann Feller y Carl Gustav Odermann Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik* («El conjunto de la aritmética mercantil», Leipzig): el cálculo de cambios hasta el arbitraje directo, un «intermedio» sobre la regla de tres, la regla múltiple y la regla de cadena, la regla de compañía y la regla de aligación; el cálculo de tantos por ciento, de intereses, de descuento y de vencimientos y el arbitraje indirecto siguen en el cuaderno. Es la séptima parte del cuaderno; la primera son los cuadros y notas sobre el Banco de Inglaterra y el mercado de dinero en 1868, y la anterior, los extractos de Goschen sobre los cambios exteriores. Marx extracta en alemán, con comentarios propios a veces groseros, que se traducen tal cual. Inéditos en vida de Marx. Transcritos del manuscrito según la edición digital de la MEGA² (IV/19) y traducidos por la Escuela de marxismo, 2026. Los subrayados de Marx van en cursiva; sus comentarios, entre ⦗ ⦘ como en el manuscrito. Las cifras y los cálculos se dan como en el manuscrito; las fracciones de las fórmulas, con barra (a/b). Abreviaturas: Th., Thl., Rth. = táleros; sgr. = groschen de plata; ngr. = nuevos groschen; gr. = groschen; pf. = pfennig; fl., f. = florines; kr. = kreuzer; nkr. = nuevos kreuzer; M.B. = marcos banco de Hamburgo; β = chelín de Hamburgo; Lth. = Loth; m. = meses; d. = días; v. c. = vista corta; «moneda del Sur» = la del sur de Alemania. Tantos por ciento «de 100», «sobre 100» y «en 100» traducen vom, auf e im Hundert. Las palabras entre corchetes son añadidos nuestros. La terminología de los cambios sigue nuestra traducción de la sección quinta del libro tercero de El capital. Las notas son nuestras.¹ Texto original*

I) El cálculo de cambios, etc.

Letras de cambio = obligaciones sobre ciertas sumas de dinero.

Base del cálculo de cambios: el curso del cambio. Curso del cambio = indicación de la suma de dinero variable que se paga por cierta suma constante en otra moneda, o al menos en otra plaza y en otro tiempo.

Los cursos del cambio los regulan las Bolsas. Se dan a conocer por los boletines de cotización.

El valor de las letras depende del tiempo de su vencimiento o de su pagabilidad. Cuanto más largo el plazo de pago, menos valen. Ese menos depende del tipo de descuento o de interés de cada momento.

Hay dos clases de cursos. Unos tienen su moneda fija en el extranjero, los otros en el país. En Hamburgo, por ej., 1 £ se cotiza = unos 13 marcos banco 4β (chelín de Hamburgo). La moneda fija, 1 £, está aquí en el extranjero. Así, 13 M.B. 5β es un curso más alto; 13 M.B. 3β, un curso más bajo (visto desde Londres). Hamburgo, en cambio, cotiza París a 190 fr. por 100 M.B. fijos. Como aquí la moneda fija está en el país, cuando se produce una subida de la cifra del curso, 190¼, es en verdad una baja, mientras que 189½ indica una subida.

Cuando 2 plazas que cambian directamente entre sí, es decir, que cotizan mutuamente cursos una sobre otra, tienen un mismo patrón monetario, la cotización se entiende por regla general por 100 (táleros, florines, francos, etc.), y entonces la moneda variable está siempre en el país, es decir, expresada en el dinero de la plaza de cuya cotización se trata. Por ej., si Leipzig está cotizado en Berlín a 99⅞, esto significa 99⅞ táleros en Berlín = 100 táleros (fijos) en Leipzig. A veces se expresa también un curso así en % de pérdida o % de ganancia; por ej., arriba, ⅛ % de pérdida. Señaladamente París cotiza de este modo sus cursos sobre las plazas del país.

El valor monetario de la moneda fija es la base más importante. Ese valor se llama par del cambio. De él no pueden alejarse a la larga los cursos del cambio; de otro modo, el envío de metálico ocuparía el lugar del pago por letras.

Cálculo de la par.

El cálculo de la par se ocupa de determinar el valor propiamente dicho de la moneda fija de un curso. La par del cambio y la par monetaria son distintas, porque en la primera la cuestión siempre ha de referirse a la moneda fija en que se basa un curso. Mientras las monedas siguen siendo las mismas y ambas monedas se acuñan del mismo metal, la par del cambio es constante. Si no es así, o si en un país hay papel moneda depreciado, la par del cambio es variable. Si en un país el oro es el principal medio de pago y en el otro la plata, entonces, si en este último país se atribuye a las monedas de oro del país un valor fijo en plata, la par del cambio solo es aproximadamente constante, pues el tráfico no se atiene a tales disposiciones legales.

Antes, hasta el 1 de nov. de 1858, el curso del cambio de Leipzig sobre Viena, en táleros por 150 fl. de moneda austríaca. Los 150 florines, la moneda fija en este cálculo.

Cálculo de la par del cambio entre Leipzig y Viena, pues 30 Th. y 45 florines = 1 libra de plata fina.

La par está sujeta a la influencia del tipo de descuento.

Por ej., 100 Th. pagaderos en Berlín son propiamente = 100 Th. pagaderos en Colonia. En papel a 2 meses solo valen, al 4 % de descuento, 99⅓; en papel a 3 meses, solo 99. Si además el papel a 3 meses sobre Hamburgo está en París a 185⅞, con un 5 % de descuento el papel corto vale 188,20. En un curso cuya moneda fija está en el extranjero, hay que sumar el descuento si el curso ha de resultar más alto, y restarlo si ha de resultar más bajo. Pero si la moneda fija está en el país, ocurre el caso inverso. Si, por ej., el Ámsterdam corto está cotizado en Hamburgo a 35,95, al 4 % de descuento hay que cotizar el papel a 2 m. a 36,19. Cuanto más tiempo tiene que correr un papel, menos vale, más florines se obtienen aquí por 40 marcos banco fijos y menos M.B. se obtienen en Ámsterdam por los florines.

Ejemplos. El papel de Augsburgo a 2 m. está en Berlín a 56.24 (56 Thl. 24 sgr. por 100 flr. de moneda del Sur); ¿cuánto se paga por papel a 3 m. con un 4 % de descuento? El descuento por 1 mes al 4 % = ⅓ %; sobre 1704 sgr. asciende a 5⅔ sgr. Como por 100 fl. en papel a 3 m. se pagan menos táleros que por 100 fl. en papel a 2 m., hay que restar el descuento, y así se tiene 56.18⅓ como curso para el papel a 3 m.

El París corto está cotizado en Hamburgo a 190½; ¿cómo queda, al 4 % de descuento, el papel a 2 m. del que han transcurrido 15 días? 60 - 15 días = 45 días. Para 45 días, el descuento de 190½ al 4 % = 0,95, o 15/16. Cuanto más largo es este papel de París, más francos se compran en Hamburgo por 100 M.B. Por tanto, hay que sumar el descuento. El curso buscado es, pues, 191 7/16.

Reducciones de cambio.

Reducción de cambio = conversión de una suma de una letra según un curso del cambio dado, ya se trate de reducir esa suma como moneda del país a moneda extranjera, ya como moneda extranjera a moneda del país. Pertenece también a las reducciones de cambio el establecimiento del curso al que ha tenido lugar tal conversión. Los cursos del cambio mismos, así como las monedas fijas a que se refieren, se expresan o en moneda efectiva o en dinero imaginario (moneda de cuenta) de las plazas respectivas. Tal moneda de cuenta es, por ej., el marco banco de Hamburgo (mero nombre de 4/111 de un marco de plata fina), el groot flamenco, etc.

a) Reducciones de cambio directas.

La reducción de cambio directa solo puede hacerse cuando la plaza que quiere reducir su moneda a la de otra plaza, o a la inversa, cambia directamente (a drittura) con esa plaza, está con ella en trato de cambio directo. Y este es el caso cuando cotiza en su Bolsa un curso sobre esa plaza. Así, Berlín y Leipzig cambian a drittura con Ámsterdam, Augsburgo, Hamburgo, Londres, etc., porque cotizan en sus boletines cursos sobre esas plazas; no así con Madrid, Génova, etc. El curso según el cual ha de hacerse una reducción se entiende o para la vista a la que está o ha de estar extendida la letra, o para otra vista, más corta o más larga. En este último caso, o bien se puede, tomando como base cierto tipo de interés, llevar el curso que se entiende para cierta vista a un curso de la vista dada para el cálculo, o bien se puede hacer la reducción según el curso dado y aumentar o disminuir el resultado hallado en los intereses de la diferencia de tiempo entre las dos vistas.

Boletín de cotización de Berlín. (Mediados de febrero de 1859)

Ejemplo.

¿Cuál es el producto de 1832.50 fl. a pagar el 7 de mayo sobre Ámsterdam, negociados el 26 de feb.: a) al curso de 142⅜ para la vista de la letra? b) al curso de 142⅝ para papel a 2 m., con un 3 % de descuento?

ad b) 1.er cálculo: reducción del curso para papel a 2 m. a un curso para papel que vence el 7 de mayo.

2 meses desde el 26 de feb. = 26 de abril; la letra vence, pues, 11 días más tarde; del curso para papel a 3 m. hay que rebajar, por tanto, el descuento de 11 días. 120 d. = 1,42625; 11 días = 0,13. Asciende, pues, a 0,13 Thl. 142,625 - 0,13 = 142,495, o 142½, curso para papel a pagar el 7 de mayo. Por consiguiente:

2.º cálculo. Se considera la letra como papel a 2 m., se calcula según el curso de esta vista y se resta el descuento de tantos días como la letra vence más tarde.

Así pues: 1044 Th. 14 sgr. Este cálculo es más exacto que el primero.

Boletín de cotización de Hamburgo. (En febrero de 1859)

Curso de Fráncfort. (Mediados de feb. de 1859).

Todos estos cursos son a la vista corta; las vistas más largas se calculan o según las cotizaciones para v. c., que con este fin se toman ⅛ o ¼ fl. más bajas, y con deducción del descuento, o el comprador y el vendedor se ponen de acuerdo sobre un curso para la vista de que se trate. En algunos boletines de cotización privados se cotiza también un curso con Nueva York, de 2 fl. 31 kr. (variable) por 1 $ fijo.

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b) Reducciones de cambio indirectas.

Hay reducción de cambio indirecta cuando una plaza ha de reducir la moneda de otra plaza a la suya, o a la inversa, y no está en trato directo con esa plaza. Por ej., Berlín ha de convertir cierta suma de piastras españolas en moneda corriente prusiana según el curso del cambio. Berlín no cotiza directamente sobre España. Tiene, pues, que servirse de una plaza intermedia que cambie con ambas plazas, por ej., Londres. La reducción que se hace mediante el curso de esa plaza es indirecta.

Hay además tal reducción cuando una plaza envía a otra, en vez de papel directo, letras sobre una tercera plaza, que se compran y aceptan a cierto curso. Por ej., Leipzig remite a Londres, en vez de papel de Londres, letras sobre París. Además, cuando se cambia una clase de letras por otra; por ej., se venden en Berlín letras sobre Londres por letras sobre París, etc. Si solo se usan los cursos de una plaza intermedia, en tal reducción de cambio no hay gastos; pero si se usa la mediación de esa plaza, es decir, si se le hace girar o remitir, en la mayoría de los casos hay gastos. Pero si la plaza de cambio no los carga, es decir, si gira o remite franco de gastos, se resarcirá en los cursos. (Comisión de cambio)

Ejemplo.

1. ¿A cuánto asciende el 1 de mayo de 1859 una letra de 964 florines 75 soldi girada de Milán sobre Leipzig, si el Milán corto está cotizado en Fráncfort a 100⅞ y el Fráncfort corto en Leipzig a 57⅛?

2. Berlín tiene un crédito de 2000 piastras de plata en Madrid y gira este importe sobre Hamburgo al curso de Madrid de allí, de 44. ¿Cuántos táleros rinde este crédito si Berlín vende el Hamburgo a 152?

α) ¿Cuál es la letra que gira el berlinés sobre Hamburgo? 44β (chel.) o 2¾ M.B. × 2000 = 5500 M.B.

β) ¿Producto de esta letra a 152?

c) Reducciones de cambio con gastos.

Estas reducciones de cambio con gastos se dan cuando una plaza (un comisionista) gira o remite cierta suma por cuenta de otra plaza (un comitente), o hace ambas cosas a la vez, y pueden ser directas o indirectas.

Los gastos que intervienen son proporcionales o no, es decir, o bien suben o bajan con el capital, por estar expresados en tantos por ciento, como, por ej., la comisión y el corretaje —y entonces la reducción de cambio puede hacerse entera con una regla de cadena—, o bien el capital no influye en su importe, como, por ej., el porte de las cartas. Al remitir (compra) los gastos actúan aumentando, al girar (venta) disminuyendo el importe o producto buscado.

Pero si esta alteración ha de calcularse en tantos por ciento de, sobre o en cien, solo puede juzgarse por la naturaleza del valor que se da para su cálculo.

Como los gastos solo pueden calcularse sobre el importe de la compra o de la venta efectiva,

hay que calcular tantos por ciento de 100 —(100 = %)— siempre que el importe dado constituya efectivamente la compra o la venta encargada;

tantos por ciento en 100 —(100 ÷ % = %)— cuando los gastos se producen por el importe que hay que aumentar con los gastos;

tantos por ciento sobre 100 —(100 + % = %)— cuando el importe dado es tal que los gastos solo se ganan con el importe que queda después de deducirlos. En los casos ordinarios, en que se trata de tantos por ciento e importes pequeños, todo se calcula de 100.

Ejemplos.

1. Hamburgo compra por cuenta ajena 1800 fl. sobre Fráncfort del Meno a 89 y carga ½ % de gastos. ¿Cuántos marcos banco hace esto en total?

Los gastos hay que calcularlos aquí de 100, pues el importe del Fráncfort es efectivamente la suma con que Hamburgo gana sus gastos.

2. Augsburgo recibe 2560 liras sobre Génova para venderlas. ¿Cuál es el producto neto de esta remesa si Augsburgo la vende a 93 (fl. de moneda del Sur = 200 liras) y carga ½ % de gastos?

Del producto bruto Augsburgo resta sus gastos al ½ de cien, pues también aquí el producto bruto (1190.24 fl.) constituye el valor efectivo del negocio.

3. Fráncfort del Meno recibe el 2 de nov. 974 luises rβ (táleros oro) a pagar el 17 de dic. sobre Bremen, con el encargo de negociarlos e invertir el producto neto en papel de Londres a 3 m. Fráncfort hace la negociación el mismo día a 95⅞ para la vista corta con un 3 % de descuento, carga por ello ⅓ % de comisión y ½ % de corretaje, y compra, cargando ½ ‰ de corretaje, papel de Londres a 3 m. a 116⅞ para la vista corta con un 3 % de descuento. ¿Cómo queda este negocio?

La comisión y el corretaje hay que calcularlos de 100, o de 1000, pues se ganan con el producto dado (1860 fl. 39). En cambio, el corretaje de la compra del papel de Londres hay que calcularlo sobre 1000, pues no se gana con el importe dado para su cálculo (1853 fl. 31), sino con ese importe menos el corretaje; aquí se da, pues, un valor aumentado.

4. México tiene que enviar por cuenta de Hamburgo 2625 $ a Nueva York, pero deduciendo antes sus gastos. Si estos ascienden al 5 %, Nueva York vende las piastras con un 3¾ % de prima, carga un 1 % por recibir y otro 1 % por remitir, y los demás gastos en Nueva York ascienden a 33 $ 6 c., ¿cuántos marcos banco hay que remitir por este envío de metálico, al curso de 35?

El importe de 2625 $ incluye los gastos que hay que cargar por la remesa en metálico; es, pues, un valor aumentado. Por eso los gastos hay que calcularlos sobre 100. La comisión por recibir hay que tomarla de 100, pues se gana efectivamente con el importe dado. Como la comisión por remitir solo puede tomarse del importe que hay que remitir, pero el importe dado incluye aún la comisión, hay que calcularla sobre 100. Lo correcto de este procedimiento se ve por las notas que han de dar México y Nueva York.

Nota de México.

Nota de Nueva York.

En estas notas aparecen de nuevo todos los gastos calculados de cien, porque los importes dados son aquellos con que se ganan los gastos. Si la casa de México y la de Nueva York lo hubieran calculado todo de 100, el canalla de Hamburgo solo habría recibido 7151 M. 10β en vez de 7170.7.

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3) El cálculo de arbitraje.

De lo anterior resulta que las letras sirven de medio:

a) Como remesas, para pagar deudas en otras plazas de cambio.

b) Como giros (girar), para cobrar dinero pendiente.

c) Pero pueden servir también como objetos de comercio independientes, cuando se las compra y se las vende, o se las hace comprar y vender, para ganar con las diferencias de curso que resultan.

El remitir y el girar pueden hacerse directa o indirectamente, a vista corta o a vista larga.

Para pagar deudas se pueden hacer remesas o dejar que se gire (libre) sobre uno.

Para cobrar créditos se puede girar o hacerse hacer remesas.

En el lenguaje del negocio de cambio tiene lugar, por tanto, esta dialéctica: el girar y el remitir aparecen cada uno como una forma de su propio contrario.

Remitir = por tanto, comprar letras, dejar que se gire sobre uno, pagar una deuda.

Girar = vender letras, hacerse hacer remesas, cobrar un crédito.

Pregunta: ¿de qué modo se puede operar con ventaja al girar o al remitir?

Como para responder a esta importante pregunta hace falta un arbitrium (dictamen) —la única clase de arbitrium que conoce el ganado comercial: cómo sacar su gananciita—, esta espantosa investigación se llama arbitraje.

Tal arbitraje, sin embargo, solo es necesario cuando la deuda o el crédito están expresados en moneda extranjera. Si, por ej., Leipzig tiene que pagar a Hamburgo 3000 Rth., Leipzig no tiene que hacer ningún arbitraje. O el hamburgués acepta remesas —entonces Leipzig compra tantos marcos banco como pueda obtener por 3000 Th.—, o el hamburgués da preferencia al giro sobre el de Leipzig —entonces tiene que tomar 3000 Th. sobre Leipzig—. Leipzig paga por ambos caminos siempre solo 3000 Th., ni plus, ni moins. El hamburgués, en cambio, desarrolla su arbitrium: ¿por qué camino obtiene más marcos banco por 3000 Th.?

Arbitraje directo: el pago de la deuda o el cobro del crédito puede hacerse por remesa del deudor o por giro del acreedor. El vencimiento de tal remesa o giro o, según las circunstancias, el momento en que se remite o se gira, tienen que corresponder al vencimiento de la deuda o del crédito. Si no, entran el interés o el descuento. Pero siempre se trata de letras pagaderas en la plaza del acreedor o del deudor, o sea, de papel directo.

Arbitraje indirecto: en cuanto se investiga si para pagar o cobrar una deuda se puede usar el papel o la mediación de plazas extrañas.

Igualmente, cuando se investiga qué clases de letras hacer objeto de especulación, o en qué plaza comprar o vender ciertos papeles, para ganar con las diferencias de curso.

I) Arbitraje directo.

a) Elección entre el giro directo y la remesa directa.

¿Ha de saldarse una deuda pagadera en otra plaza con remesas directas que se hacen allí, o con giros que se deja librar sobre uno?

¿O ha de cobrarse un crédito pendiente en otro lugar con giros que se libran sobre él, o con remesas (directas) que se hace hacer a uno desde allí? ¿Cuál es el camino más ventajoso para el que tiene que pagar o cobrar?

En la medida en que se añade una diferencia con el vencimiento dado, hay que atender a la compensación por descuento o intereses.

Respecto de los cursos de ambas partes que hay que comparar (los cursos de ida y de vuelta) se dan 2 casos.

O bien ambas plazas tienen la misma moneda fija para su cotización recíproca, por ej., 300 M. B. en el curso de Leipzig sobre Hamburgo y de Hamburgo sobre Leipzig.

O bien las monedas fijas son distintas. Por ej., en el curso de Fráncfort del Meno, 60 Th. fijos por 105 fl. + ÷; en el curso de Berlín sobre Fráncfort del Meno, 100 fl. fijos por 57 Th. + ÷. Antes de poder comparar los cursos en este último caso, hay que reducirlos a una y la misma moneda fija, y lo mejor es reducir la cotización de la plaza extranjera a la moneda fija de la propia.

Por ej., en un arbitraje que Berlín hace con Fráncfort, la cotización de Fráncfort sobre Berlín, 104¾ fl. v. c., a la moneda fija (100 fl.) en que se basa el curso de Berlín sobre Fráncfort.

Si Fráncfort estuviera cotizado en Berlín a 57 fl. v. c., para Berlín su propio curso (57) sería bueno para remitir; es decir, si tuviera que pagar a Fráncfort, pagaría con letras de Fráncfort, que puede comprar a 57 Th. por 100 fl. En cambio, para Berlín el curso de Fráncfort sobre Berlín (104¾) es apropiado para girar, es decir, se haría hacer remesas desde Fráncfort a 104¾. Esto sería lo mismo que si hubiera girado él mismo a 57,3, y este camino le reportaría 0,3 Th. más por cada 100 fl. que si hubiera girado él mismo a 57.

Sin cálculo se ve, por:

Pero tal comparación simple de los cursos de ambas partes no basta cuando el crédito o la deuda vencen a otra vista que no sea la corta. Entra entonces el cálculo de intereses.

Ejemplos.

1.er ejemplo.

1. Berlín debe a Hamburgo, a 2 m. fecha, 6000 M. B., y puede comprar papel de Hamburgo a 2 m. a 150; según esto, el pago de su deuda por remesa le cuesta 3000 Th.

El papel de Berlín a 2 m. se puede negociar en Hamburgo a 152; un giro del hamburgués sobre Berlín, a 2 m. fecha, costaría, pues, 3040 Th.

Según este cálculo, Berlín, si remitiera él mismo, tendría 40 Th. de beneficio.

Pero el giro del hamburgués solo es pagadero a los 2 m.

Berlín, en cambio, ha pagado al contado 3000 Th. por su remesa. Esto, al 5 % anual (calculado por el berlinés), haría sobre 3000 Th. por 2 m. 25 Th.

La remesa le cuesta, pues, al berlinés, en el momento en que vence el giro del hamburgués, 3025 táleros.

En cambio, el hamburgués recibe al contado, por la venta de su giro, el crédito que solo le llegaría a los 2 m. por remesa del berlinés, y que no ha de llegarle antes, y tiene, por tanto, que compensar al berlinés los intereses de 2 m. Tomados también al 5 %, y calculados para abreviar sobre el importe del giro, 3040, los intereses ascienden a 25⅓ Th., de modo que el giro solo ha de ser por 3040 ÷ 25⅓ = 3014⅔ Th.

Así pues, el pago de la deuda no tiene que hacerse por remesa (a 150), sino por giro del hamburgués (a 152), con lo que el berlinés gana 10⅓ Th. = 775/2261 %.

La comparación de los cursos 150 y 152 tiene que hacerse, por tanto, del modo siguiente:

151 ¼ ÷ 150 11/15: esta diferencia, que Berlín tiene que pagar de menos por cada 300 M.B., asciende sobre 6000 M.B. a 10⅓ Th. y da para Berlín una ganancia de 775/2261 %. La comparación de estos casos muestra que ambos cursos se han reducido a cursos para la vista corta, y que solo ha tenido lugar una comparación simple de los cursos cuando el crédito o la deuda vencen al contado.

Que los intereses había que sumarlos al curso Berlín-Hamburgo está claro, pues los 150 Th. gastados al contado por 300 M. B. resultan, al cabo de 2 m., más caros en los intereses de ese tiempo.

Del curso Hamburgo-Berlín, en cambio, había que restarlos, pues el hamburgués, para compensar al berlinés los intereses, no tiene que girar 152 Th. por 300 M. B., sino tanto menos como asciendan los intereses de 2 m., y reducir a táleros la suma disminuida en los intereses.

Se ve más claro si se calculan los intereses sobre el importe del crédito y se calcula en táleros la suma disminuida en los intereses.

Los intereses de 6000 M.B. por 2 m. al 5 % ascienden a 50 M. B. Quedan, pues, por girar 5950 M.B., y estos, a 152, = 3014.20 Th.

2.º ejemplo.

Hamburgo tiene un crédito de 10500 fr. contra París, a 3 m. fecha. Los giros sobre París, a 3 m. fecha, se pueden negociar a 189; París haría remesas en papel a 3 m. a 186. París calcula los intereses en cuenta corriente al 6 %; Hamburgo, por ahora, solo puede ganar con su dinero un 4 %. ¿Cómo ha de cobrarse el crédito?

a) Comparación de los cursos.

Así pues, Hamburgo, si gira, da 187,11 fr. para recibir por ellos 100 M.B., mientras que, con una remesa por parte del parisino, tiene que dar 188,79 fr. para poder cobrar 100 M.B. Es preferible, por tanto, cobrar el crédito por giro sobre París.

Para poder determinar en tantos por ciento la ganancia que el hamburgués obtiene por este camino, redúzcanse ambos cursos a la moneda fija de 100 fr. 187,11 da entonces 53,44 M. B.; 188,79 = 52,97 M.B. Hamburgo recibe, pues, por 100 fr. por el 2.º camino 0,47 M.B. más, lo que da una ganancia del 0,85 %.

b) Cálculo de las sumas dadas.

Esto hace un 0,91 %, lo que no coincide con el resultado de arriba (0,85 %). La razón está en el cálculo inexacto de los intereses. En la práctica, sin importancia. En este ejemplo Hamburgo, es decir, la plaza que hace el arbitraje, tiene la moneda fija.

Sobre el curso Hamburgo-París, 189, hay que tomar en cuenta la ganancia de intereses de 3 m. al 4 %. Esta ganancia mejora el curso, y, como aquí se trata de una venta, de tal modo que el hamburgués tiene que dar menos de 189 fr. por 100 M. Así pues, hay que deducir los intereses de la cifra del curso, pero no, como se hizo arriba en el cálculo de la suma (p. 115), en tantos por ciento de cien, sino sobre 100, pues 189 = un valor aumentado en los intereses. Así:

Al curso Hamburgo-París hay que sumarle los intereses, pues el curso empeora para el hamburgués a causa de los intereses que hay que compensar al parisino. Pero hay que calcularlos en tantos por ciento en 100, porque el curso 186 representa un valor disminuido en los intereses. Por consiguiente:

Si, para determinar en tantos por ciento la ganancia del hamburgués, se reducen los cursos así hallados a una moneda fija de 100 fr., como arriba, 53,439 M. y 52,957 M., resulta igualmente un 0,91 % de ganancia.

3.er ejemplo.

Augsburgo debe a Liorna 2400 £, a 3 m. fecha. Los giros sobre Augsburgo, a 3 m. fecha, se pueden negociar en Liorna a 249½; intereses en cuenta corriente, 5 %. Augsburgo puede comprar papel de Liorna a 1 m. a 98⅞, y se calcula igualmente un 5 % de intereses. ¿Cómo debe pagar Augsburgo su deuda?

De aquí resulta que para Augsburgo es más ventajoso dejar que giren sobre él, porque por este camino solo paga 98,931 fl. por 300 £, mientras que, si remite, tiene que comprar cada 250 £ con 99,275 fl. Diferencia del 0,33 %.

Cálculo de la suma.

4.º ejemplo.

Ámsterdam debe a París 6000 fr., a 2 m. fecha, y puede comprar papel a 2 m. a 56½. El descuento está en Ámsterdam al 2½ %. El Ámsterdam a 2 m. se puede negociar en París a 209,15, y París abona en cuenta corriente un 4 % de intereses. ¿De qué modo pagará Ámsterdam su deuda?

Primero hay que llevar el curso París-Ámsterdam a la moneda fija del Ámsterdam-París.

Es, por tanto, más ventajoso para el de Ámsterdam cubrir su deuda con remesas. Ganancia = 0,45 %.

b) Elección entre vista corta y vista larga.

En cuanto una plaza A tiene que pagar a una plaza B x dinero a vista corta,

para A) la cuestión es si no es ventajoso cubrir la deuda con papel a vista larga, ya sea que este se descuente en el lugar del pago, ya que el acreedor cargue intereses por su cobro más tardío;

o A) tiene que cubrir la deuda en papel a vista larga; la cuestión para A es si no puede pagarla en papel a vista corta, suponiendo que el acreedor compense intereses.

Además, cabe preguntar si un crédito a vista corta no puede cobrarse con giros a vista larga, y a la inversa, teniendo en cuenta los intereses que el deudor abona o carga al acreedor, lo que ocurre sobre todo cuando acreedor y deudor están en cuenta corriente.

En todos estos casos hay que investigar si la diferencia entre vista corta y vista larga en la compra o la venta con deducción del descuento, o de los intereses, o con el abono de intereses en la otra plaza, coincide o no.

I) Ejemplo.

Berlín debe 8500 fl. de moneda del Sur en Fráncfort del Meno a vista corta. Puede remitir a 57 a vista corta o a 56¼ en papel a 2 meses; ¿qué es más ventajoso, si el descuento en Fráncfort es del 4 %?

Comparación de los cursos. (Primera solución) N.º 1.

Las letras a vista larga son más baratas que las cortas, y, si no actúan otras causas, en tanto como importan los intereses de la diferencia de tiempo.

Si el Fráncfort corto está a 57, el papel a 2 meses, con un descuento del 4 %, debería valer 56,62, o 56⅝. Los intereses de 57 Th. en 2 meses al 4 % ascienden a 0,38 Th. y, como aquí la moneda fija está en el extranjero, hay que restarlos.

Pero el curso efectivo del papel a 2 meses es 56¼, más bajo, por tanto; por eso Berlín hace mejor en remitir [en papel largo].

Comparación en tantos por ciento. (Segunda solución) N.º 2.

Si x florines de Fráncfort, invertidos a vista corta, cuestan 100 Th., ¿cuánto cuesta la misma suma, teniendo en cuenta este descuento, a vista larga, o a la inversa?

Descuento por 2 m. al 4 % anual = ⅔ %.

El primer planteamiento muestra que una remesa que a vista corta cuesta 100 Th. cuesta en papel a 2 m. solo 99,34 Th.; el segundo, que por una remesa que en papel a 2 m. se tiene por 100 Th. hay que pagar a vista corta 100,66 Th. En ambos casos, ganancia de 0,66, o ⅔ %, a favor del papel a 2 meses.

Cálculo de toda la suma que hay que remitir. (Tercera solución) N.º 3

Si Berlín remite a vista corta, los 8500 fl. de moneda del Sur que debe le cuestan

Si elige, en cambio, papel a 2 m., tiene que dar tanto más como importe la deducción del descuento en Fráncfort.

Pues si Fráncfort del Meno hace descontar esta letra al 4 %, le quedan justamente los 8500 fl. que le corresponden.

Esta remesa le costaría al berlinés, a 56¼ (100 : 8557,05 = 56¼ : x), 4813 Th. 10 sgr., lo que, comparado con 4845 Th., ofrece de nuevo una diferencia de casi ⅔ % a favor de la remesa a vista larga.

Comparación del tipo de descuento. (Cuarto modo de resolver el problema) N.º 4

Si de 57 (curso de la v. c.) se resta el curso del papel a 2 m., 56¼, se encuentran ¾ Th. de intereses por 2 m. sobre 57; por 12 m. = ¾ × 6 = 4½ sobre 57; o sea, 57 : 100 = 4½ : x = 7 17/19 %.

Berlín gana, pues, un 7 17/19 % anual, mientras que en Fráncfort solo pierde un 4 % por el descuento. Por consiguiente, la remesa a vista larga es ventajosa.

En las letras a vista larga remitidas para saldar una deuda, si el acreedor ha de hacerlas descontar, por regla general no se carga comisión, pero sí corretaje. Si se lo toma en el caso de arriba al 1 ‰, resulta solo una ganancia de 17/30 %.

De estos 4 modos de cálculo, el N.º 1 es el más sencillo, y por eso el más usado en la práctica. Es el único que se aplica en los ejemplos siguientes.

II Ejemplo.

París tiene un crédito contra Hamburgo a v. corta y puede girar a esa vista a 189½. (Moneda fija: 100 M.B.) Los giros a 3 m. fecha se pueden colocar a 187¼, y la compensación de intereses por ello en cuenta corriente es del 4 %. ¿Cómo girará París?

III Ejemplo.

Hamburgo tiene que pagar a Augsburgo en papel a 2 m. (moneda fija en Hamburgo, 100 M.B.) y puede comprar papel de Augsburgo a 2 m. a 88¾. La vista corta se puede tener a 88¼. Augsburgo abona en cuenta corriente un 4 % de intereses. ¿Qué clase de remesas debe elegir Hamburgo?

IV Ejemplo.

Hamburgo tiene un crédito contra Ámsterdam a 3 m. fecha (moneda fija, 40 marcos banco en Hamburgo) y puede negociar giros a esa vista a 36.05. Pero también podría girar a v. c. a 35.60, lo que le costaría un 6 % de interés. ¿Cómo debe cobrar su crédito?

Así pues, es mejor girar a 3 m., porque por este camino Hamburgo obtiene el importe de 40 M.B. por 36,05 fl., mientras que con giros a v. corta hay que «negociar» 36,13 por 40 M.B. (Véase la continuación, p. 135.)²

Antes de pasar ahora al arbitraje por vía indirecta,

Intermedio. (Regla de cadena y cálculo de tantos por ciento)

Regla de cadena.

En primer lugar,³ esta mierda nace simplemente de una serie de reglas de tres sueltas, y se obtiene suprimiendo lo inútil de ese método.

Por ej., ¿cuánto cuestan 2500 libras de mercancía en federicos de oro a 5⅔ Th., si 1 Loth cuesta 3 Pfennig en Berlín?

Si ahora se convierte, o más bien se abrevia, esta mierda en regla de cadena, el planteamiento, partiendo de la x (de la denominación de la x), que constituye la pregunta principal, queda así:

Así pues, la cadena empieza siempre por la denominación para la que se busca el número que falta en la ecuación o, en otras palabras, por aquella a la que se dirige la pregunta principal de la ecuación.

La denominación con que se ha cerrado a la derecha tiene que volver a empezar a la izquierda en la ecuación siguiente.

La cadena se cierra con la denominación que se busca en general, de modo que la clase de moneda, medida, peso, etc., que hay que hallar por el cálculo aparece a la izquierda de la primera ecuación y a la derecha de la última.

El cálculo se hace del mismo modo que en la regla múltiple. La regla múltiple es una regla de tres compuesta, y lo siguiente son las recetas mercantiles sobre toda esta mierda.

1) Regla de tres simple.

Proporción ascendente o descendente: 8 : 56 = 3 : 21, proporción ascendente. 56 : 8 = 21 : 3, proporción descendente.

La regla de tres, es decir, la proporción por la que se halla x, puede ser directa o inversa.

Directa: por ej., número menor a : al número mayor b = número menor c : al número mayor x.

O: número mayor b : número menor a = x : número menor c.

Inversa: número menor a : número mayor b = número mayor c : x (número menor)

O: número mayor c : número menor b = número menor d : x (número mayor.)

Según haya de salir más o menos, la primera razón tiene que plantearse ascendente o descendente.

El 4.º término, x, se halla multiplicando el 3.º término por el exponente de la primera razón.

La multiplicación del término 4 × exponente de la primera razón = división del producto resultante de multiplicar el 2.º y el 3.er término por el primer término.

Por ej., 8 : 56 = 3 : x. x = 3 × 56/8 = 3 × 7. Lo mismo que x = (3×56)/8.

En los problemas de regla de tres, uno de los términos es a menudo = 1. En este caso el cálculo es una división o una multiplicación. Si no, cuando ningún término es = 1, consta de ambas.

De ahí: problemas de multiplicación; problemas de división, o, en tercer lugar, problemas mixtos. Estos 3 casos tienen que ver todos con razones directas o inversas.

a) Regla de tres simple con razones directas.

1. Problemas de multiplicación: como para el producto es indiferente la denominación de los factores, se los puede intercambiar si es ventajoso.

Por ej., ¿cuánto cuestan 120 libras a 57 kr.? Lo mismo que 57 libras a 120 kr., o 2 fl.

Igualmente se pueden trasladar ceros. ¿Cuánto cuestan 1500 libras a 19 ngr.? Lo mismo que 1900 libras a 15 ngr., o a ½ Rth.

2. Problemas de división: aquí se pasa de un valor > < 1 al valor de la unidad.

Por ej., ¿cuánto cuesta 1 quintal si 17 quintales cuestan 70 Thl.? 1 quintal = 70/17.

O: por 17 Thl. se obtienen 119 piezas. ¿Cuántas por 1 Th.? = 119/17.

O: ¿cuánto se paga por 10 piezas si por 17 piezas se paga 1 Th.? 1/17 Th. × 10.

3. Problemas mixtos: se multiplica el 3.er término por el exponente de la primera razón, o se multiplica el 3.er término × el 2.º y se divide por el 1.º.

b) Regla de tres simple con razones inversas.

12 obreros necesitan 90 días; ¿cuántos 100 obreros (menos)? 100 ob. : 12 = 90 d. : x. x = 10⅘ d.

1 máquina de vapor de 24 caballos de fuerza necesita para cierto trabajo 4 días; ¿cuántos una de 16 caballos? (más) 16 : 24 = 4 : x. x = 6 días.

Con 8 arados, 1 campo requiere 17 días; ¿cuántos con 12 arados (menos)? 12 : 8 = 17 : x. x = 11⅓ días.

¿Cuánto necesita uno que hace 6 millas diarias, si otro, a 7 millas diarias, necesita 12 días? (Más) 6 : 7 = 12 : x. x = 14 d.

2) Regla de tres compuesta.

Tiene que ver con más de 4 términos. Si se dan razones, regla múltiple; si se dan ecuaciones, regla de cadena.

Regla múltiple.

Se quiere saber, por ej., ¿cuánto salario reciben 10 obreros que trabajan 8 días, si 15 obreros que solo trabajan 6 días reciben 7 táleros?

Tales problemas pueden resolverse primero con tantas reglas de tres como razones se dan.

Por ej., en el caso de arriba. Primero se calcula el salario según el número de obreros. 15 : 10 = 7 : x. x = 4⅔ Th.

Pero ahora los 10 obreros trabajan 8 días en vez de 6. Así: 6 : 8 = 4⅔ Th. : x. x = 6 2/9 Th. El salario de 7 Th. se ha alterado primero según la razón 15 : 10, y el resultado así hallado, 4⅔ Th., según la razón 6 : 8.

Así pues, ambas razones han actuado sobre los 7 Th. Pero esta acción puede representarse además del modo siguiente:

De la primera ecuación resultaría x = (7×10)/15, y de la segunda x = (8×7)/6. Así pues, x = (7×10×8)/(15×6). = (el producto de todos los términos segundos y terceros)/(producto de los primeros términos)

El procedimiento detallado es ahora este: a) se convierten los números mixtos en enteros y se ponen los denominadores en el lado opuesto. Las fracciones decimales se convierten en enteros suprimiendo la coma. Los denominadores (10, 100, etc.) hay que llevarlos, como los denominadores de las fracciones comunes, al lado opuesto.

b) Reducir en lo posible los términos de ambos lados, o simplificarlos unos con otros; c) el producto de todos los términos de la derecha, dividido por el producto de los términos de la izquierda.

Si 15 hombres hacen 100 piezas en 30 días, ¿cuántas piezas harán 18 hombres en 45 días?

Una máquina de vapor de 30 caballos de fuerza mueve en 3 semanas de 6 días de 12 horas una masa de tierra de 4° de largo, 2½° de ancho y 2½° de alto.

¿En cuántas semanas de trabajo ininterrumpido moverá una máquina de vapor de 25 caballos de fuerza una masa de tierra de 10° de largo, 3½° de ancho y 2° de alto?

Volvamos ahora a la regla de cadena. (Véase la página anterior)⁴

¿Cuánto cuesta 1 libra de Viena en nuevos kreuzer, si 100 nuevas libras de Hamburgo se pagaron con 36¼ marcos banco? 25 libras de Viena = 28 libras de Hamburgo, y 21 fl. austríacos = 27¾ marcos banco.

o ( (28×21×100)/(25 × 100) ) × 145/4/111/4 = 145/111. Así pues, el denominador 4 puede no tenerse en cuenta. Se tiene, por tanto: x = (28×145×21×100)/(25×100×111) = (28×145×21)/(25×111) = (28×29×21)/(5×111) = (28×29×7)/(5×37) = 5684/185 = 30,71 nkr.

¿Cuánto cuesta un pliego de papel de imprenta en céntimos franceses si la bala cuesta 30 Th. en Berlín? (1 fr. = 28 kr. de moneda del Sur; 7 fl. de moneda del Sur = 4 Th.) 1 bala = 10 resmas, 1 resma = 20 manos, 1 mano = 25 pliegos.) (1 fl. = 60 kr. de moneda del Sur)

¿Cuántos nuevos groschen cuesta 1 vara ((nueva) sajona), si 1 pieza de 24⅜ yardas cuesta 1 £ 5 chel., 21 nuevas varas sajonas = 13 yardas, 1 £ = 6¾ Th.?

Si convertimos las fracciones en impropias, tenemos:

Así pues, cuando hay denominadores distintos a la izquierda y a la derecha, se dejan sin considerar dichos denominadores, × el divisor por el denominador del dividendo y el dividendo por el denominador del divisor.

¿Cuánto cuesta 1 pieza en Inglaterra si 32 gruesas cuestan en Leipzig 130 14/25 Th.? (1 £ = 25 fr. 50 c.; 5 fr. = 2⅓ fl.) 1 gruesa = 144 piezas.

En cuanto en el problema aparecen tantos por ciento, por ej., gastos, hay que preguntarse si con esos tantos por ciento se busca un aumento o una disminución del resultado. En el primer caso, los tantos por ciento tienen que calcularse ascendentes (por ej., 100 = 110); en el segundo, descendentes (por ej., 100 = 90).

Si el número de la pregunta es un valor ya aumentado en los tantos por ciento y se busca un resultado libre de ese valor porcentual, entonces 110 = 100.

Si el número de la pregunta es un valor ya disminuido en los tantos por ciento y se busca el valor existente antes de la disminución, entonces 90 = 100.

Si se dan distintos tantos por ciento para incluir en el cálculo, solo pueden reunirse en una sola partida si se refieren todos a un mismo valor. Tampoco pueden unirse por suma o resta tantos por ciento sueltos que actúan en parte aumentando y en parte disminuyendo el resultado (como 5 % de más, 3 % de menos = 2 %), salvo que se refieran todos a un mismo valor.

El orden de los tantos por ciento en la cadena es indiferente. Pero se evitan más los errores al plantear los tantos por ciento si se introducen en el orden que resulta de la clase de los tantos por ciento. (Vuélvase la hoja)

1. ¿A cuánto salen en Colonia, sin gastos de transporte, 7500 kg brutos de aceite de trementina francés de Rotterdam, si en esa plaza se abonan un 1½ % de merma, un 1 % de buen peso y un 22 % de tara, si el precio es de 23 fl. por 50 kg netos, con un 1 % de descuento, los gastos de la plaza ascienden al 1¼ % y se carga una comisión del 1½ %; y si además 250 fl. holandeses = 142½ Th.?

Las deducciones de peso del 1½, el 1 y el 22 % no podían sumarse en un 24½ %, pues, según el uso de la plaza, el buen peso se descuenta del peso que queda tras deducir la merma, y de este la tara. Los tantos por ciento 1¼ y 1½ %, que aumentan, y el 1 %, que disminuye, no podían reunirse en 100 = 101¾, pues no se refieren al mismo valor. La deducción del 1 % se hace del importe de la mercancía a 23 fl. Al resto así obtenido se refieren los gastos de la plaza; pero la comisión se toma del importe aumentado en esos gastos.

2. ¿Qué producto neto en piastras turcas dan 500 rotoli netos de seda persa vendidos en Marsella a 16 fr. por ½ kg y con un 1 % de descuento? Los gastos ascienden al 5 %. 100 rotoli = 44 okkas de 400 dracmas; 32 teffé de 610 dracmas = 61 kg; 1 fr. = 180 paras. 40 paras = 1 piastra.

3. 1260 libras de una mercancía costaron, con un 12½ % de gastos, 248 1/16 Th.; ¿cuánto ha costado 1 libra en chelines corrientes de Hamburgo, de los que 40 = 1 Rth.?

4. En Berlín se calcularon 400 libras (peso nuevo) de una mercancía comprada en El Havre con un 2½ % de descuento, sin contar los gastos, en 109 Th. 6 sgr.; ¿cuánto costaba originalmente el ½ kg en El Havre, contando el franco a 8 sgr.? (50 kg = 100 libras.)

Regla de compañía. (Cálculo de distribución o de repartición)

Todo se basa en la proposición: sea S la suma de los números proporcionales a, b, c; sea R la magnitud que hay que repartir. S.:

O bien: la suma de los números proporcionales es a cada número proporcional como la magnitud que hay que repartir a cada parte.

O bien: si a la suma de los números proporcionales le corresponde toda la magnitud que hay que repartir, ¿cuánto le corresponde a cada número proporcional?

Por ej., hay que dividir 320 Th. en 3 partes según la proporción 4, 7, 9, o sea, si A recibe 4 Th., B recibe 7 y C 9. ¿Cuánto corresponde a cada parte?

En este caso, 320/20, o (magnitud que hay que repartir)/(suma de los números proporcionales) = 16. Si se multiplica este cociente respectivamente por 4, 7, 9, se obtienen dichos 64, 144, 320.

También puede considerarse cada número proporcional como una fracción cuyo numerador es el número proporcional mismo y cuyo denominador es la suma de los números proporcionales. Por cada una de estas fracciones se multiplica entonces la magnitud que hay que dividir; los productos que resultan forman las partes individuales.

Por ej., la parte de A en el caso de arriba, 4/20; la de B, 7/20; la de C, 9/20; y A = 320 × 4/20 = 64, B = 320 × 7/20 = 112, etc.

Hay que repartir 2000 Th. de ganancia según 5 aportaciones de capital de 1200, 1500, 2100, 3000 y 2700. Se puede primero dividir cada uno de estos números proporcionales por 300, y se obtienen 4, 5, 7, 10 y 9, cuya suma = 35. Luego se calcula: A recibe 4/35 × 2000 = 228 Th. 4/7, etc., etc.

Las proporciones de la división pueden expresarse también en fracciones.

O bien las fracciones dadas expresan directamente qué parte o qué fracción del todo ha de corresponder a cada parte individual;

o bien estas fracciones, como los números enteros, solo expresan la proporción en que están entre sí las partes individuales.

Por ej., ¿hay que dividir 180 Th. de modo que A reciba ⅓, B ¼ y C el resto de la suma?

O bien: hay que dividir 1320 Th. entre 4 personas de modo que A reciba ¼, B ⅔, C ½ y D 5/12; es decir, que estas no son las fracciones del todo, sino las expresiones de la proporción en que están entre sí las partes individuales, de modo que B recibe ⅔ tantas veces como A ¼, etc.

Así como antes se dividían los números proporcionales por el mismo número, cuando los números proporcionales son fracciones se los puede convertir en enteros por multiplicación por el número más pequeño posible.

Por ej., ¼, ⅔, ½, 5/12. Si se multiplican todos × 12, se obtienen 3, 8, 6, 5, y la suma de estos números proporcionales = 22. (¼ : ⅔ = 3 : 8, etc., etc.)

La magnitud que hay que repartir = 1320; la suma de los números proporcionales = 22. Así, una parte = 1320/22 (a 22 partes les corresponden 1320) = 660/11 = 60; así pues, A = 60 × 3 = 180, B = 60 × 8 = 480, C = 60 × 6 = 360 y D = 60 × 5 = 300 = 1320.

Ejemplo. En un pueblo, 4 propietarios de casas han perdido en un incendio parte de sus bienes: A, 640 Th.; B, 520; C, 800; D, todo. Si para estas 4 personas se han recibido 987 Th. 14 gr. de donativos caritativos, ¿cómo hay que repartirlos, si sus bienes están tasados como sigue: A.) 2000 Th., B.) 1800 Th., C) 2400 Th. y D) 1200 Th.?

Hay que averiguar qué parte de sus bienes ha perdido cada uno.

Pérdida de los bienes (proporción): A.) 640/2000 = 8/25; B.) 520/1800 = 13/45; C.) 800/2400 = ⅓; D = 1200/1200 = 1.

Los números proporcionales en que estos tipos han perdido, y según los cuales hay que calcular su parte del «donativo caritativo», son, pues, 8/25, 13/45, ⅓ y 1. Multiplicando por 225 para obtener enteros, se obtiene: 72, 65, 75, 225 = suma de 437. Así pues, A recibe 72/437 (de 987 Th. 14 gr.), B 65/437, C 75/437 y D 225/437.

A menudo los números proporcionales no se expresan directamente, sino por proporciones intermedias; entonces hay que hallarlos primero por un cálculo especial. Aquí hay que distinguir si estas proporciones intermedias se refieren todas a una sola magnitud o no.

Primer caso: hay que dividir 2127 fl. entre 5 personas de modo que A : B = 4 : 5, A : C = 3 : 4, A : D = 5 : 6 y A : E = 8 : 9.

Si A recibe 4, B recibe 5; si A, por tanto, 1, B 5/4; si A 1, C 4/3, D 6/5 y E 8/9. 1, 5/4, 4/3, 6/5 y 8/9 son, pues, los números proporcionales. Para convertirlos en enteros se multiplican por 120. Esto da para A, 120; B, 150; C, 160; D, 144; E, 135. Suma de los números proporcionales = 709.

Segundo caso: hay que dividir 19406 Th. en 6 partes, de modo que la parte A sea a B = 3 : 5, B : C = 4 : 5, A : D = 6 : 7, E : C = ¾ : 2, D : F = 3¼ : 3.

Estos 6 números proporcionales, A-F, × 1248 = 1248, 2080, 2600, 1456, 975 y 1344. Suma = 9703.

19406/9703 = 2. Esta es, pues, la parte constante que ahora hay que multiplicar por los distintos números proporcionales.

A = 1248 × 2 = 2496, B = 2080 × 2 = 4160, etc., etc.

En los casos tratados hasta ahora, los números proporcionales dados o por hallar expresaban la proporción de la división directamente; es decir, cuanto mayor es el número proporcional que determina una parte individual, mayor es esa parte, y a la inversa.

Pero la división puede hacerse en proporción inversa, de modo que, cuanto mayor el número proporcional, menor la parte, y a la inversa.

Ejemplo: alguien destina 1000 Th. a repartir entre 3 personas en proporción a su edad, de modo que, cuanto más joven el receptor, mayor ha de ser la parte.

A tiene 35 años; B, 20, y C, 25.

B, como el más joven, tiene la mayor parte. Si la ponemos igual a 1, ha de recibir:

Si multiplicamos 4/7, 1, ⅘ por 35, = 20, 35 y 28. Suma = 83.

Por último, puede darse la proporción de las demás partes respecto de una de las partes cuya magnitud no determina el problema;

o bien a una u otra parte le corresponde, además de lo que le toca según su número proporcional, un más o un menos;

o, por último, el reparto ha de hacerse de modo que el siguiente reciba siempre cierta cantidad más que el anterior.

Primer caso: hay que repartir 440 fr. entre 4 personas de modo que A reciba 1⅓ × lo que B, B 2 × lo que D, y C ⅕ de la parte de D.

D = 1. B = 2D = 2. C = ⅕ D = ⅕. A = 1⅓ B = 4/3 B = 4/3 × 2 = 8/3.

Si para D = 1 se hubiera puesto otro número, se habría obtenido:

Así pues, el mismo resultado que antes.

Segundo caso. Hay que repartir 2900 Thl. entre 4 coherederos a partes iguales, pero de modo que B reciba 300 Th. más, C 400 Th. más y D 200 Th. menos de lo que importan sus partes proporcionales.

⦗Algebraicamente: A = x. B = x + 300. C = x + 400. D = x - 200. Por tanto, 4x + 700 - 200 = 2900. Por tanto, 4x = 2400 y x = 600.⦘

Como B y C reciben juntos 700 más, y D 200 menos que su parte proporcional, solo quedan para repartir 2900 - 500 (700 - 200 = 500), o sea, solo 2400, de lo que ¼ = 600. Así pues, recibe, etc.

O bien: 4 partes + 500 Th. = 2900 Th. Así, 4 partes = 2900 - 500, o = 2400 Th. Así, 1 parte = 2400/4 = 600 Th. Así, A = 1 × 600 = 600 Th. B = 600 + 300 = 900. C = 600 + 400 = 1000. D = 600 - 200 = 400 Th.

Tercer caso: hay que repartir 1000 Th. entre 5 personas de modo que cada una reciba siempre 20 Th. más que la anterior.

5 partes + 20 + 40 + 60 + 80 Th., o 5 partes + 200 Th. = 1000. ∴ 5 partes = 1000 Th. - 200 = 800. 800 = 160 Th. 1 parte = 160 Th.

Recibe, pues: A = 160. B = 180. C = 200. D = 220 y E = 240 Th. Los 5 juntos = 1000.

Regla de compañía compuesta.

Problemas en que sobre las proporciones dadas actúan además ciertas determinaciones accesorias. El chiste consiste en eliminarlas de modo que la solución pueda lograrse con los medios de la regla de compañía simple.

1.er caso. 94 obreros, en 3 cuadrillas de 24, 40 y 30 hombres, se han hecho cargo de un trabajo por la suma ajustada de 422 Th. La 1.ª cuadrilla trabaja 14 días; la 2.ª, 12; la 3.ª, 15; ¿cuánto recibe cada una?

Suponiendo, en igualdad de las demás circunstancias, que 5 obreros, por ej., trabajan en 8 días tanto como 5 × 8, o 40 obreros, en 1 día, o 1 obrero en 40 días, en el caso de arriba basta reducir el número de obreros de 14, 12 y 15 días, respectivamente, a obreros de 1 día, o el número de días de 24, 40 y 30 hombres a días de 1 hombre. Ambas cosas se hacen multiplicando el número de obreros por el número de días, y los productos así obtenidos son los números proporcionales. Se obtiene:

2.º caso: hay que moler, en el menor tiempo posible, 2000 fanegas de grano en 4 molinos, de los que A muele en 4 horas 15 fanegas; B, en 3 horas, 16 fanegas; C, en 3 horas, 10 fanegas; D, en 2 horas, 9 fanegas. ¿Cuántas fanegas hay que asignar a cada uno de estos molinos para que terminen al mismo tiempo?

Este problema puede resolverse de dos maneras.

1. Se pregunta: ¿cuántas fanegas muele cada molino en 1 hora? o:

2. ¿Cuántas horas necesita cada molino para moler 1 fanega?

ad 1) A) muele en 4 h. 15 fanegas; en 1 hora, 15/4 fanegas. Ídem B, en 1 h., 16/3 fanegas; C), en 1 h., 10/3 fan., y D, 9/2 fan. Así:

Por consiguiente, hay que repartir: a A = 2000 × 45/203 = 443 71/203 fan. = 443⅜ fan.; a B = 2000 × 64/203 = 630½; a C = 2000 × 40/203 = 394⅛; a D) = 2000 × 54/203 = 532 fan. Suma, 2000 fanegas.

ad 2) Igual de fácil: A 4/15, B 3/16, C 3/10 y D 2/9 de hora por fanega.

Si se multiplican estas fracciones por 720, se obtienen 192, 135, 216, 160.

Estos números significan que, si A necesita 192 h., B necesita 135, C 216 y D 160.

Si se asigna ahora a A 1 fanega, a B (135 : 192 = 1 : x) = 64/45; a C), menos (216 : 192 = 1 : x) = 8/9, y a D (160 : 192 = 1 : x) 6/5.

Estos números proporcionales 1, 64/45, 8/9 y 6/5, multiplicados por 45, dan 45, 64, 40 y 54. Como arriba.

Regla de aligación.

1. O bien se quiere hallar el valor o la unidad de una mezcla hecha de partes dadas de valor desigual o de calidad desigual —el valor medio o promedio—; esto es el cálculo de promedios.

2. O bien se quiere saber en qué proporción hay que mezclar ciertas calidades dadas para que la unidad de la mezcla tenga un valor medio también dado.

Aquí, pues, el valor medio ya está dado y hay que calcular de qué modo hay que obtenerlo.

Ad 1) La suma de los valores de todos los componentes de la mezcla, dividida por la suma de los componentes de la mezcla, da el valor medio.

Por ej., un país ha importado en el 1.er año 20, en el 2.º 30, en el 3.º 40, en el 4.º 10 y en el 5.º 10 millones de libras de té. Así, en 5 años ha importado 110 millones de té. En 1 año, pues, por término medio, 110/5 = 22 millones. Súmese además el precio que costaba la libra de té en cada año, y súmese ese precio; sea la suma, por ej., 30 millones. Entonces: 30/5 = 6. Así pues, el valor medio de la importación anual de té de 22 millones de libras era de 6 millones.

Ejemplo de mezcla efectiva. Si se alean 8 marcos B. de plata pura con 5 marcos B. de cobre, ¿qué ley tiene entonces la plata?

El cálculo es más sencillo cuando las cantidades de los componentes que hay que mezclar son iguales. Entonces solo entran en consideración las calidades o valores, cuya suma, dividida por el número de las calidades mezcladas, da el valor medio.

Por ej., se mezclan 1 libra a 9 gr., 1 libra a 12 gr., 1 libra a 15 sgr., 1 libra a 20 gr.

Aquí el valor medio = (9+12+15+20)/(4 (número de clases)) = 14 sgr. Así pues, el valor medio de la libra = 14 sgr.

Es falso, al buscar un valor medio, poner en lugar de los valores las cantidades dadas para la unidad de valor.

Por ej., si uno vende de una mercancía 12 piezas por 1 florín y de otra calidad 18 piezas por un florín, si vende 360 piezas de cada clase obtiene 20 + 30 = 50 fl.

Pero si quisiera dar (12+18)/2 = 2 [sic] piezas por 1 florín, por las 720 piezas solo sacaría 48 fl.

El cálculo correcto: 12 piezas por 1 fl., 1 pieza por 1/12 fl., y 18 piezas por 1 fl., o 1 pieza por 1/18 fl. Así pues, por pieza, por término medio, ((1/12)+(1/18))/2 = 5/12 fl. Esto × 720 = 50 fl.

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ad 2.) Segundo caso: si para hallar cierta calidad solo se dan dos calidades para mezclar, una tiene que ser necesariamente mejor y la otra peor que la calidad buscada. Si la clase media buscada está igual de lejos de la clase dada mejor y de la peor, hay que tomar lo mismo de las dos clases dadas.

Por ej., de dos clases a 14 y a 22 gr. hay que hacer una clase media a 18.

La clase inferior —14— es 4 peor, y la mejor —22— 4 mejor que la clase media buscada.

El más y el menos se anulan en ambos lados, y la mezcla hay que hacerla a partes iguales.

Por ej.

1 libra cuesta, pues, 18 gr. ⦗Más sencillo: (18 - 4) (= 14) + (18 + 4) (= 22) = 18 - 4 + 18 + 4 = 36. 2 lb = 2 × 18 = 36. 1 lb = 36/2 = 18.

Si el más no es igual al menos, entonces: cuanto más o menos la calidad o el valor de la clase mejor exceda a la calidad o el valor de la clase media, tanto más o tanto menos hay que tomar en la mezcla de la clase inferior. Por consiguiente, la diferencia entre la clase mejor y la media indica cuántas partes de la clase inferior hay que tomar.

Por ej., de 2 clases a 14 y a 30⁶ groschen hay que hacer una clase media de 18 gr. la libra.

A la inversa: cuanto menos o cuanto más la calidad o el valor de la clase inferior quede por debajo del valor o la calidad de la clase media, tanto menos o tanto más hay que tomar en la mezcla de la clase mejor.

Por consiguiente, la diferencia entre la clase mejor y la media indica cuántas partes de la clase inferior hay que tomar, mientras que la diferencia entre la clase inferior y la media expresa el número de partes que hay que tomar de la clase mejor.

La suma de estas diferencias designa, por tanto, el número de partes de que se compone el todo.

1.er ejemplo. Se quiere hallar, mezclando vino a 24 gr. y a 11 gr., una clase de 15 gr. ¿Cuánto hay que tomar de cada uno?

El todo consta, pues, de 13 partes. Hay que tomar, por tanto, 4/13 de la clase a 24 sgr. y 9/13 de la clase a 11 sgr.

Suponiendo que se necesiten 390 botellas a 15 sgr., hay que tomar:

2.º ejemplo. ¿En qué proporción hay que mezclar 2 clases de oro de 18 quilates 5 granos y de 9 quilates 4 granos para obtener oro de 13½ quilates?

Si se necesitan ahora, por ej., 109 Loth de oro de 13½ quilates, hay que mezclar con 50 Loth de 18 quil. 5 gr. otros 59 Loth de 9 quil. 4 gr., pues:

Si se dan más de 2 clases de las que hay que mezclar la clase pedida, se mezclan de dos en dos.

Suponiendo que de 4 clases de vino a 16, 14, 11 y 5 sgr. haya que hacer una clase de 12, se procede como sigue:

Si cada mezcla por separado da la clase deseada a 12 sgr., ambas juntas tienen que dar la misma clase. Suma de las partes aquí, 11 + 3 = 14.

Otra mezcla es:

Si la clase pedida no es una que tenga tantas mejores por encima como inferiores por debajo, las clases que sobran en un lado tienen que unirse otra vez con las clases que están en el lado opuesto.

Hay que mezclar, por ej., de 5 calidades a 24, 20, 14, 9 y 5 kr. una nueva a 16 kr.:

Como para 3 clases inferiores solo se daban 2 mejores para la mezcla, hubo que unir con la 3.ª clase inferior una de las dos clases mejores, aunque ambas estaban ya en la mezcla. Se eligió para ello la clase a 24 kr.; podría haberse elegido también la de 20 kr.

En cuanto para una o varias de las clases dadas se da cierta cantidad que ha de entrar sin falta en la mezcla, las demás cantidades tienen, naturalmente, que regirse por ella en cuanto a la cantidad que haya que tomar de ellas.

Ejemplo: se tienen 5 M. B. de oro de 18 quilates; ¿cuánto oro de 12 quilates hay que añadir para obtener oro de 14 quilates?

Como han de entrar en la mezcla 5 M.B. de 18 quilates (= ⅓), hay que añadir el doble (⅔), o sea, 10 M.B. de 12 quilates.

Además, se pide cierta cantidad de cierta calidad y se quiere emplear para ello una o varias cantidades y calidades determinadas. ¿Cómo ha de ser la calidad de lo que se añade?

Por ej.: se necesitan 10 M.B. de plata de 12 Loth. ¿De cuántos Loth tiene que ser la plata que, añadida a 4 marcos B. de 15 Loth, dé la calidad pedida?

Se necesitan 10 marcos banco que contengan plata de 12 Loth = 120 Loth. Hay 4 M. banco de 15 Loth = 60 Loth.

Faltan, pues, 6 M. B., que tienen que contener 60 Loth. 1 marco banco, pues, = 10 Loth.

A los 4 M.B. de plata de 15 Loth existentes hay que mezclar, pues, 6 M. B. de 10 Loth.

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1. Texto original según MEGAdigital (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften), MEGA² IV/19, licencia CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es); el aparato editorial de la MEGA no se reproduce. Esta traducción y la transcripción se distribuyen con la misma licencia. ↩

2. Marx remite a la página 135 de su cuaderno, donde sigue extractando desde este punto, tras el «intermedio» (según MEGAdigital). ↩

3. Desde aquí, los comentarios sobre la regla de cadena son resumen y comentario del propio Marx; en el manuscrito, «Scheisse» (según MEGAdigital). ↩

4. Marx se refiere a la página 118 de su cuaderno, donde había interrumpido el extracto con el inciso sobre la regla de tres; aquí vuelve al ejemplo de Feller y Odermann, p. 137 (según MEGAdigital). ↩

5. Los pasos intermedios del cálculo son de Marx; Feller y Odermann solo dan el último paso y el resultado (según MEGAdigital). ↩

6. Feller y Odermann (p. 155) dan aquí 22, no 30 (según MEGAdigital). ↩