Marx a Engels, [Londres, finales de 1865 - comienzos de 1866]

Carta (apéndice de una carta) de Karl Marx a Friedrich Engels, que vivía en Manchester, escrita [en Londres] entre finales de 1865 y comienzos de 1866; la fecha es conjetural y se ordena aquí en diciembre de 1865. Escrita en alemán. Traducida del texto de la MEW, tomo 31 (Berlín, 1965), pp. 165-166, por la Escuela de marxismo, 2026. Las notas son nuestras. Texto original

[Londres, finales de 1865 - comienzos de 1866]

Apéndice

Durante mi última estancia en Manchester me preguntaste una vez cómo se explica el cálculo diferencial. Con el ejemplo siguiente verás la cosa del todo clara. Todo el cálculo diferencial nació en primer lugar del problema de trazar tangentes por un punto cualquiera de una curva cualquiera. Por eso quiero ilustrarte la cosa con ese ejemplo.¹

Supón que la línea nAo es una curva cualquiera cuya naturaleza (si es parábola, elipse, etc.) no conocemos y en cuyo punto m hay que trazar una tangente.

Ax es el eje. Bajamos la perpendicular mP (la ordenada) sobre la abscisa Ax. Supón ahora que el punto n es el punto de la curva infinitamente más próximo a m. Si bajo una perpendicular np sobre el eje, p tiene que ser el punto infinitamente más próximo a P, y np la paralela infinitamente más próxima a mP. Baja ahora una perpendicular infinitamente pequeña mR sobre np. Si tomas ahora la abscisa AP ... x y la ordenada mP ... y, entonces np = mP (o Rp) aumentada en un incremento infinitamente pequeño [nR], o sea [nR] = dy (diferencial de y), y mR (= Pp) = dx. Como la parte mn de la tangente es infinitamente pequeña, coincide con la parte correspondiente de la propia curva. Puedo considerar, pues, mnR como un Δ (triángulo), y los Δ mnR y mTP son triángulos semejantes. Por tanto: dy (= nR) : dx (= mR) = y (mP) : PT (que es la subtangente de la tangente Tm). Así pues, la subtangente PT = y dx/dy. Esta es la ecuación diferencial general para todos los puntos de tangencia de todas las curvas. Si quiero seguir operando con esta ecuación y determinar así la magnitud de la subtangente PT (una vez que la tengo, me basta unir los puntos T y m con una línea recta para tener la tangente), tengo que saber cuál [es] el carácter específico de la curva. Según su carácter (parábola, elipse, cisoide, etc.), tiene una ecuación general determinada para la ordenada y la abscisa de cada uno de sus puntos, que se conoce por la geometría algebraica. Si, por ejemplo, la curva mAo² es una parábola, sé que y² (y = la ordenada de un punto cualquiera) = ax, donde a es el parámetro de la parábola y x la abscisa correspondiente a la ordenada y.

Si introduzco este valor de y en la ecuación PT = (y dx)/dy, tengo, pues, que buscar primero dy, es decir, encontrar la diferencial de y (la expresión que adopta y en su crecimiento infinitamente pequeño). Si y² = ax, sé por el cálculo diferencial que d(y²) = d(ax) (naturalmente, tengo que diferenciar los dos miembros de la ecuación) da 2y dy = a dx (d significa siempre diferencial). Por tanto, dx = (2y dy)/a. Si introduzco este valor de dx en la fórmula PT = (y dx)/a,³ obtengo PT = (2y²dy)/(a dy) = 2y²/a = (como y² = ax) 2ax/x = 2x. O sea: la subtangente de cada punto m de la parábola = el doble de la abscisa del mismo punto. Las magnitudes diferenciales desaparecen en la operación.