Cuaderno IV (1878). I: Extractos de Feller-Odermann. Descuento, plazos, letras y porcentajes

Extractos y notas de Karl Marx escritos en Londres en agosto y septiembre de 1878 en el cuaderno IV de ese año (IISG, Ámsterdam, Karl Marx and Friedrich Engels Papers, A 101 [A 83e]), de F. E. Feller y C. G. Odermann, Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik* («La aritmética mercantil completa», 7.ª ed., Leipzig, 1859), manual de cálculo comercial que Marx había empezado a extractar al final del cuaderno III. Marx copia y rehace los ejemplos, a veces con francos en lugar de táleros, y añade observaciones propias. Inéditos en vida de Marx. Transcritos del manuscrito según la edición digital de la MEGA² (IV/25) y traducidos por la Escuela de marxismo, 2026. Los comentarios de Marx van entre ⦗ ⦘ como en el manuscrito. Las palabras entre corchetes faltan en el manuscrito. Las cuentas se reproducen como en el manuscrito, con sus erratas. «Descuento sobre 100» es el que se calcula sobre el capital aumentado con los intereses; «descuento del 100», el que se calcula sobre el valor nominal. Las notas son nuestras.¹ Texto original*

I) Influencia del descuento sobre la par del cambio.²

Supongamos que el curso a 3 meses sobre Hamburgo está en París a 185⅞ (es decir, francos por 100 marcos banco fijos). ¿Cuánto por papel corto?

Supongamos el descuento en Hamburgo al 5 %. Da por 100 fr. 5 al año; 5/4 fr. = 1 fr. 25 por 3 meses.

Da sobre 185⅞ fr., o 185,87½ céntimos —a 3 meses—, 2,32½ fr.

Cuando la moneda fija está en el extranjero, hay que sumar el descuento si el curso ha de ser más alto, y restarlo si ha de ser más bajo. Así, corto en París sobre Hamburgo sería = f. 188.20

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Si la moneda fija está en el interior, al revés: hay que restar si el curso ha de ser más alto, sumar si ha de ser más bajo.

P. ej., corto Ámsterdam cotizado en Hamburgo a 35,95 (el florín holandés, o fl., aquí la moneda variable; 40 marcos banco, la moneda fija, en el interior).

Descuento en Ámsterdam = 4 %, p. ej. O sea, 1 % por 3 meses. ¿Cuánto vale el papel a 2 meses?

Cuanto más tiempo le queda a un papel por correr, tanto menos vale; tanto más florines se obtienen, pues, en Hamburgo por 40 marcos banco fijos.

Al 1 % por 3 meses, da para 2 meses ⅔ %.

Así, por 35.95 = 23⅓ + algo más de ½ ct. = o sea, = 24 cts. por 2 meses al 4 % anual.

Cálculo del descuento.

I) Un capital que se ha de descontar no es un valor «puro», sino «aumentado», aumentado por los intereses o los intereses compuestos; hay que calcularlo, pues, no según el % del 100, sino sobre 100; pero en la práctica comercial se hace lo contrario.

P. ej.: 2060 fr. que vencen en 1 año, descontados al 3 %; según el % sobre el descuento: 103 : 2060 = 3 : x; x = 60 fr.; el pago al contado, pues, 2000; y 2000, colocados enseguida al 3 %, dan al cabo de un año: 100 : 2000 = 3 : x; x = 2000 × 3/100 = 60; o sea, exactamente 60, la misma suma que se dedujo en el descuento.

En cambio, si al descontar se calcula el % del 100: 100 : 2060 = 3 : x. x = 20.60 × 3 = 61.80 = 61.8; al contado recibe, pues (el que descuenta la letra), = 2060 - 61.8 = 1998.2;

Si el que [recibe] los 1998.2 tál. los volviera a colocar enseguida al 3 % por un año, recibiría: 100 : 1998.2 = 3 : x, donde x = 59.946, o sea, < 61.8; pérdida para el receptor del pago = 1.854 tál.; solo podría compensarla prestando de nuevo a un tipo de interés más alto; como 1998.2 : 100 = 61.8 : x, x (el tipo de interés) = 3 1/10 % aproximadamente. A pesar de esto «espantoso»,³ en el tráfico comercial se calcula del %, porque, por grandes que sean las sumas, la duración del descuento rara vez pasa mucho de unos pocos meses. En cambio, en la adquisición de fincas, etc., es necesario el cálculo sobre 100.

Según que un capital que se ha de descontar esté compuesto realmente, o se represente compuesto, de capital e intereses simples o de capital e intereses compuestos, se tiene descuento simple o compuesto.

I a) Descuento simple sobre 100.

1) Hallar el descuento: ¿cuánto descuento de 1200 tál. que vencen el 24 de sept. y se descuentan el 12 de julio al 4 %?

Del 12 de julio al 24 de sept., contando el mes a 30 días, = 72 días; es más exacto, y también lo habitual, en el descuento sobre 100, contar el año a 365 días. Calculado el año a 365 días = 74 días. Según esto último, pues, calculado:

Pero aquí a 30 días (o tomando el año a 360 días, porque el cálculo es más sencillo)

También el capital descontado puede darse para hallar el descuento. P. ej., ¿cuánto es el descuento si un capital descontado al 4 % por 72 días se paga al contado con 1190 10/21 tál.? El valor al contado 100 da ⅘ de descuento; ¿cuánto dan 1190 10/21? 100 : 1190 10/21 = ⅘ : x; x = 9 11/21.

2) Hallar el capital descontado.

Aquí, además del tipo de interés y el tiempo, puede darse o el capital que se ha de descontar o el descuento.

a) ¿Qué valor al contado tienen 1200 tál. que vencen a los 72 días, descontados al 4 %?

Los intereses del capital 100 en 72 días (al 4 %) = ⅘. Si, pues, 100 + ⅘, que vencen a los 72 días, = 100 al contado, ¿qué valor al contado tiene un capital de 1200 que vence también a los 72 días?

Además, también se puede calcular el descuento como en el 1) y restarlo del capital que se ha de descontar.

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b) ¿Cuánto se pagó por un capital descontado al 4 % si el descuento por 72 días = 9 11/21?

⅘ : 9 11/21 = 100 : x; x = 1190 10/21.

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3) Hallar el capital que se ha de descontar.

⦗Aquí, además del tipo de interés y el tiempo, puede darse el capital descontado o el descuento⦘

1. ¿Qué tamaño tiene el capital que, tras deducir el 4 % por 72 días, ha dejado 1190 10/21 tál.?

a) Primero hay que calcular qué interés dan 100 en 72 días al 4 %:

así, b) si 100 al contado = 100⅘ en 72 días, ¿qué valor tienen 1190 10/21 tál. al cabo del mismo tiempo?

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2. ¿Qué tamaño tiene el capital que se ha descontado por 72 días al 4 % con 9 11/21 tál.?

Como 100 dan ⅘ de intereses, ⅘ requieren 100⅘; ¿qué capital requieren 9 11/21 tál.? ⅘ : 9 11/21 = 100⅘ : x. x = 1200 de capital.

Como capital descontado hay que considerar el precio al contado de una mercancía cuando se contrapone al precio de la misma mercancía a plazo, y hallar este a partir de aquel corresponde a hallar el capital que se ha de descontar a partir del descontado.

4) Hallar el tipo de interés:

¿Qué % es el descuento si 1200 tál. se descuentan por 72 días con 9 11/21 tál.?

El capital que se ha de descontar dado, por incluir el % de un tiempo largo, no es proporcional a 100; solo lo es una vez libre del descuento contenido en él.

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5) Hallar el tiempo.

¿Cuánto tiempo le queda por correr a un capital de 1200 que se ha descontado al 4 % con 9 11/21?

I) Descuento simple sobre 100.⁴

1) Hallar el descuento.

Capital que se ha de descontar = 1200 fr., pagadero en 72 días; tipo de descuento = 4 %.

O, si se da el capital descontado de 1190 10/21, descontado al 4 % por 72 días, el descuento se halla así: 100 da por 72 días ⅘ de descuento; de ahí: 100 : 1190 10/21 = ⅘ : x; x = 9 11/21.

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2) Hallar el capital descontado. Además del tipo de interés y el tiempo, se da o el capital que se ha de descontar o el descuento.

¿Valor al contado de 1200 fr. que vencen a los 72 días, con un 4 % de descuento?

100 dan en 72 días ⅘ (al 4 %); así, 100 + ⅘, que vencen a los 72 días, al contado = 100. 100 + ⅘ : 1200 = 100 : x; x = 1190 10/21.

También se puede calcular el descuento como en el 1) y restarlo del capital que se ha de descontar.

Si no se da el capital que se ha de descontar, sino, en su lugar, el descuento = 9 11/21 fr.: ⅘ : 9 11/21 = 100 : x. x = 1190 10/21.

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3) Hallar el capital que se ha de descontar; se da, además del tipo de interés y el tiempo, el capital descontado o el descuento.

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4) Hallar el tipo de interés.

¿Qué % es el descuento si 1200 fr. se descontaron por 72 días con 9 11/21?

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5) Hallar el tiempo.

¿Cuánto tiempo le queda por correr a un capital de 1200 fr. que se ha descontado al 4 % con 9 11/21 fr.?

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II) Descuento simple del 100.

1) Hallar el descuento. (Como en el cálculo de intereses)

¿x de descuento de 1200 fr. por 72 días al 4 %?

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Si se da el capital descontado; p. ej., un capital descontado por 72 días al 4 % se paga al contado con 1190.4. ¿Cuánto es el descuento?

Los intereses de 100 en 72 días = ⅘; calculados como porcentaje del 100, hacen del capital 100 un valor al contado [de] 99⅕. Así, 99⅕ = ⅘ de descuento; ¿cuánto 1190.4?

99⅕ : 1190.4 = ⅘ : x; x = 9.6.

2) Hallar el capital descontado.

¿Cuánto eran 1200 fr. tras deducir un 4 % de descuento por 72 días?

El descuento hallado por el 1) = 9.6, restado de 1200, da 1190.4 fr.

O calculado: 360 : 72 = 4 : x; da ⅘ % por 72 días. Así, restado de 100, ⅘ = 99⅕; de ahí: 100 : 1200 = 99⅕ : x; x = 1190.4.

¿Cuánto era el capital descontado si el descuento calculado al 4 % por 72 días = 9.6 fr.?

⅘ : 9.6 = 99⅕ : x; x = 1190.4.

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3) Hallar el capital que se ha de descontar.

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4) Hallar el tipo de interés.

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5) Hallar el tiempo.

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III) Descuento compuesto.⁵

La aritmética ordinaria solo puede resolver 2 cuestiones: hallar el capital descontado y hallar el que se ha de descontar.

¿Qué valor al contado tiene el 6 de mayo de 1855 un crédito de 2000 fr. que vence el 6 de agosto de 1857, con un 4 % de descuento? o sea, por 2 años y 3 meses

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Para averiguar el valor actual al contado de un valor pagadero más tarde calculando el descuento del descuento, solo se puede aplicar el descuento compuesto sobre 100, mientras que el descuento compuesto del 100 solo es aplicable, p. ej., en un caso como el siguiente, en que una deuda del Estado de 20 mill. se ha de amortizar anualmente con un 1 % de modo que este uno % se refiera siempre al monto del capital que queda tras la amortización hecha. (Véase p. 238.)

Cálculo de plazos.⁶

Desde el punto de vista comercial no significa más que hallar para varios capitales que vencen en distintos tiempos un plazo de vencimiento medio, común o promedio, en el que, sin perjuicio para el acreedor ni para el deudor, se pueda hacer de una vez el pago de estos capitales.

⦗Económicamente, solo importante para el cálculo del tiempo de rotación de un capital (también del social) cuyos distintos componentes tienen distintos tiempos de rotación.⦘

Casos posibles: I) los capitales no devengan interés (siendo los capitales iguales o desiguales); II) devengan interés (siendo el tipo de interés igual o desigual).

I) Capitales que no devengan interés.

1) a) Los capitales son iguales;

se suman los distintos tiempos y se divide la suma por el número de capitales.

P. ej., ¿el vencimiento común de 6 capitales iguales de 900 fr. cada uno, pagaderos respectivamente a 4, 5, 7, 9, 10 y 14 meses?

La suma de los capitales = 6 × 900 = 5400 fr. Su vencimiento medio = 4+5+7+9+10+14 6 = 49/6 = 8⅙ meses.

5400 fr. en 8⅙ meses al 4 % dan 5400×8⅙/300 = 900×49/300 = 9/3 × 49 = 3 × 49 = 147 de intereses.

La misma masa de intereses:

1) b)

Cuatro letras de 1800 fr. cada una, libradas el 7 de abril, a 14 días, 1 mes, 7 semanas fecha y a finales de junio, han de llevarse a un vencimiento común.

Primero hay que averiguar el vencimiento de cada letra. La primera vence el 21 de abril; la 2.ª, el 7 de mayo; la 3.ª, el 26 de mayo; la 4.ª, el 30 de junio. Para hallar el número de días que le quedan por correr a cada letra se puede partir:

Primero, del día del libramiento (1 mes = 30 días):

En segundo lugar, del día del vencimiento más temprano:

En tercer lugar, de un día cualquiera (que, sin embargo, no puede pasar del vencimiento más temprano), p. ej., del día en que se recibe el aviso de las letras, que sea, p. ej., el 15 de abril.

2) Los capitales son desiguales.

El modo de cálculo se funda en que, p. ej., 100 fr. en 9 meses dan tantos intereses como 9 × 100 fr. en 1 mes (con un tipo de interés dado).

P. ej., un comisionista de Londres ha hecho por cuenta ajena las siguientes ventas:

El 24 de julio quiere dar a sus comitentes la cuenta de venta con un vencimiento común para las distintas ventas. ¿Cuándo es el vencimiento común?

Para hallar el número de días que le quedan por correr a cada una de las partidas, contados desde el 24 de julio (fecha de la cuenta de venta) o desde el 29 de julio (vencimiento más temprano):

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Una vez hallado, pues, el número de días que le quedan por correr a cada capital, se multiplica cada uno de ellos por el tiempo que le corresponde, se suman los productos así obtenidos y se divide su suma por la suma de los capitales. El cociente da el número de días al cabo de los cuales —contados desde el día del que se partió— se produce el vencimiento común. En lo posible, los capitales y los periodos se reducen, cada uno por sí o entre sí, en cuanto se puedan simplificar por un mismo número.

La suma de los productos obtenidos forma un capital que está prestado por un día.

II) Capitales desiguales, tipo de interés desigual, vencimiento desigual; ¿a qué tipo de interés medio pueden pagarse estos capitales de una vez?⁷

P. ej., hay que pagar 400 fr. a 4 meses, 200 a 6 meses, 400 a 8 y 800 a 9 meses, y hasta entonces pagan interés al 5, 4, 3½ y 6 %.

Primero se determina el tipo de interés medio.

Se multiplica ahora cada capital por el tipo de interés que le corresponde, se suman los productos así obtenidos y se divide su suma por la suma de los capitales. El cociente es el tipo de interés medio.

Así:

Cada uno de los productos obtenidos al calcular el tipo de interés medio se multiplica ahora por el tiempo que le corresponde, se suman los productos así hallados y se dividen por la suma de los números obtenidos de capital × tipo de interés.

Así:

⦗Puede hacerse a la vez.⁸

También se puede determinar primero el vencimiento medio, multiplicando los capitales

En la 2.ª solución el vencimiento es más corto (7⅓ meses) que en la primera (7 7/15 meses), pero el tipo de interés (5 1/11 %) es mayor que en la primera (donde = 5 %). Pero como el tiempo y el tipo de interés están en proporción inversa, ambas cosas son correctas: 1) cuanto mayor el tipo de interés (5 1/11 %) frente al 5 %, tanto menor el tiempo (5 1/11 : 5 = 7 7/15 : x = 7⅓ meses), y 2) cuanto menor el tiempo (7⅓ meses) en comparación con 7 7/15 meses, tanto mayor el tipo de interés (7⅓ : 7 7/15 = 5 % : x; x = 5 1/11). De ahí que los intereses de 1800 fr. en 7⅓ meses al 5 1/11 % = los intereses de 1800 fr. en 7 7/15 al 5 %.)

⦗Si se parte de que todo capital pagadero en un tiempo determinado, si hasta entonces no devenga interés, ha de considerarse un valor que incluye los intereses del tiempo que le queda por correr —en lo que se funda el cálculo del descuento por el tipo de interés sobre 100—, hay que modificar también como sigue el hallazgo del plazo de pago medio para varios capitales que vencen en distintos tiempos, pero que hasta entonces no devengan interés.

P. ej., 824 fr. que vencen a 6 meses, 860 a 15 meses y 648 a 16 meses, suponiendo el tipo de interés = 6 %; se han de pagar de una vez:

Se averigua primero el valor al contado de los distintos capitales.

¿Cuánto tiempo hace falta para ganar estos intereses con 2200 tál. al 6 %?

Según el cálculo comercial, en cambio:

El tiempo aquí es más largo, porque el comerciante calcula según el tipo del 100 y, por tanto, no considera cada capital que vence más tarde, pero que no devenga interés hasta el vencimiento, como un valor que incluye los intereses, sino como uno con el que solo se han de ganar los intereses a partir del momento en que vence. El tipo de descuento del 100 da un descuento mayor, y por eso hace falta también más tiempo para ganarlo.

El descuento de los capitales indicados arriba, al 6 % según el tipo del 100, da sobre su suma (2332) 141.06 de descuento; ¿cuánto tiempo les queda ahora por correr a 2332 fr. si el descuento calculado al 6 % = 141,06?

Cálculo de letras.⁹

Dos columnas de precios (boletines de cotización continentales): dinero o pedido («Argent» o «demandé») y «papel» u «ofrecido» («Lettres» u «Offert»).

I) Influencia del descuento sobre la par del cambio.

Cuando 2 plazas que cambian directamente entre sí, es decir, que cotizan cursos recíprocos una sobre otra, tienen una y la misma ley monetaria, la cotización del curso se hace por regla general por 100 (florines, táleros, francos, etc.), y la moneda variable se expresa entonces siempre en el dinero de la plaza de cuya cotización se trata. P. ej., si Leipzig se cotiza en Berlín a 99⅞ tál., esto quiere decir: 99⅞ tál. en Berlín = 100 tál. (fijos) en Leipzig. O sea, ⅛ % de pérdida. Con % de pérdida o ganancia cotiza, p. ej., París sus cursos sobre las plazas del interior.

a) Si la moneda fija está en el extranjero, hay que sumar el descuento si el curso ha de ser más alto, y restarlo si ha de ser más bajo.

El papel a 3 meses sobre París está cotizado en Leipzig a 79½; ¿cuánto cuesta el papel a 14 días con un 5 % de descuento? (Moneda fija en el extranjero = 300 fr.)

Días 90 - 14 = 76 días; 76 días al 5 % = 0.838, o aproximadamente ⅚; el curso es, pues, = 79½ + ⅚ = 80⅓; el descuento se suma, porque por 300 fr. en papel a 14 días se pagan más táleros que por 300 fr. en papel a 3 meses.

Si, a la inversa, el papel a 14 días = 80⅓, ¿cuánto por el papel a 3 meses con un 5 % de descuento? 14 días + 76 = 90. Hay que calcular, pues, el descuento por 76, es decir, aproximadamente ⅚; hay que restar: 80⅓ - ⅚ = 79½, porque por 300 fr. en papel a 3 meses se paga menos que por 300 fr. a 14 días.

b) Si la moneda fija está en el interior, al revés: hay que restar el descuento si el curso ha de subir, y sumarlo si el curso ha de bajar. P. ej., si corto Ámsterdam se cotiza en Hamburgo a 35,95 (fl.) (calculado sobre 40 M. Bco. fijos), con un 4 % de descuento el papel a 2 meses hay que cotizarlo a 36,19; (cuanto más tiempo le queda por correr al papel, tanto menos vale; tantos más florines hay que pagar, pues, en Hamburgo por 40 M. Bco. fijos)

Ejemplos: 1) El papel a 2 meses de Augsburgo en Berlín, 56.24 (es decir, 56 tál. 24 sgr. por 100 fl. de moneda de Alemania del Sur). ¿Cuánto se paga por el papel a 3 meses con un 4 % de descuento? (La moneda fija aquí, en el extranjero (Augsburgo). Diferencia de tiempo de las vistas = 1 mes; el descuento por 1 mes = 5⅔ sgr. Este descuento hay que restarlo; así, el curso = 56.24 - 5⅔ = 56,18⅓ como curso a 3 meses. (pues por 100 fl. que tienen que correr 3 meses se [pagan] menos táleros)

a) +2) El papel a 2 meses sobre Berlín está en Bremen a 110½; ¿qué curso da esto a la vista corta con un 4½ % de descuento? La diferencia de tiempo aquí = 60 días (2 meses) (100 tál. oro en Bremen, moneda fija), aquí en el interior (Bremen, frente a Berlín, extranjero). Con un descuento del 4½ % sobre 60 días = 0.83, o aprox. ⅚ %. Con 100 de oro fijos se compran tantos menos táleros berlineses cuanto más corto es el papel; así que hay que restar el descuento. Así, el curso de la vista corta = 110½ - ⅚ = 106⅔.

b) +3) El papel corto de París, cotizado en Hamburgo a 190½; ¿cómo, con un 4 % de descuento, el papel a 2 meses, del que han transcurrido 15 días? (Moneda fija en el interior, Hamburgo = 100 marcos Bco.)

Diferencia del plazo, 60 - 15 = 45 días; por ellos, el descuento al 4 % = 0.95, o 15/16. Cuanto más largo el papel de París, tantos más francos se compran con 100 marcos Bco.; así que hay que sumar el descuento; el curso buscado es, pues, = 190½ + 0.95 fr. = 191.45 fr.

4. En Londres, corto Ámsterdam cotizado a 11.15 (11 florines, 15 stüber) (20 stüber = 1 fr.), 3 meses a 11.17½ stüber; ¿cómo calcular 1 mes? Por 11.15 st. = f. 11.75; por 11 y 17½ stüber = f. 11.875). ⦗Moneda fija en Londres = 1 £⦘ Diferencia entre el curso corto y el de 3 meses = 11.875 - 11.75 = 12½ céntimos. Esta es la diferencia entre 3 meses y corto; así, para 3 meses = 4⅙. Este descuento hay que sumarlo, porque, cuanto más largo el papel, tantos más florines se compran con 1 £.

5. En Bremen, el papel de Londres a 2 meses está cotizado a 612 y la vista corta a 617 (tál. oro por 100 £); ¿qué tipo de descuento resulta de ahí? (moneda fija aquí, en el extranjero: Londres = 100 £.)

= 5 de descuento sobre 617 por 2 meses; da por 12 meses = 30 tál. sobre 617 tál. (al año); 30 : 617 = x : 100; x = 3000/617, aproximadamente (no del todo) un 5 % de tipo de descuento.

6. Par legal entre Hamburgo y San Petersburgo, 34.17 β;¹⁰ ¿cómo queda el curso a 3 meses sobre San Petersburgo con un 6 %?

6 % al año por 3 meses = 1½ %; asciende sobre 34.17 a 0.51. La moneda fija aquí, 1 rublo, en el extranjero (para Hamburgo); hay que restar el descuento; se dan tantos menos schilling por 1 rublo de plata cuanto más largo es el papel. El curso a 3 meses debería ser, pues: 34.17 β - 0.51 = 33.66, o 33⅔ β. Pero está (en 1859) = 31⅛; o sea, más de un 8 % demasiado bajo. Esta diferencia puede tener su razón en parte en un tipo de interés más alto que el empleado, pero procede sobre todo de la depreciación rusa.

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Si la moneda fija está en el extranjero, hay que sumar el descuento si el curso ha de ser más alto ⦗y tiene que ser más alto si el papel es corto que si es largo; vale más si es corto que si es largo⦘, y restarlo si ha de ser más bajo (se da menos por el papel largo que por el corto).¹¹

Si la moneda fija está en el interior, hay que restar si el curso ha de ser más alto y sumar si más bajo. Se recibe menos si el papel es corto; se recibe más si el papel es largo.⦘

1) Moneda fija en el extranjero.¹²

a) Calcular la vista más corta dada la más larga; hay que pagar más dinero nacional por una moneda extranjera dada cuando la vista es más corta que cuando es más larga. Así que hay que sumar el descuento al papel de vista más larga. El curso más alto es aquí el desfavorable para los nacionales.

El papel a 3 meses sobre París, cotizado en Leipzig a 79½ táleros por 300 fr. (moneda fija en París, extranjero para Leipzig); ¿cuánto por el papel de París a 14 días con un 5 % de descuento?

Diferencia de los plazos = días 90 - 14 = 76; el descuento por ellos, al 5 %, = 0.838, o aproximadamente ⅚. Este descuento hay que sumarlo al plazo más largo; por el papel de París a 14 días se pagan más táleros que por el de 3 meses. Así, 79½ tál. + ⅚ = 80⅓ tál. Este es el curso para el plazo más corto.

b) Calcular la vista más larga. Hay que dar menos dinero nacional por la moneda extranjera dada en el plazo más largo. Así que hay que restar el descuento del plazo más corto. El curso más bajo es aquí el favorable para los nacionales.

Par legal entre Hamburgo y San Petersburgo, 34.17 β (β = schilling de Hamburgo) por 1 rublo de plata ⦗la moneda fija, en San Petersburgo, el extranjero⦘. ¿Cuánto calcular para el papel a 3 meses con un 6 % de descuento?

6 % al año da para 3 meses = 1½ %; asciende sobre 34.17 β a 0.51. Así —supuesto que no hay depreciación del papel moneda ruso—, el curso a 3 meses = 34.17 - 0.51 = 33⅔ β.

Se dan tantos menos schilling por 1 rublo cuanto más largo es el papel. El descuento se resta, por tanto, de la par del cambio en el caso dado.

Ad 1) a) A partir de la diferencia entre la vista corta y la larga puede calcularse el tipo de descuento.

P. ej.) En el tipo de cambio de Bremen con Londres, la moneda fija está en el extranjero (Inglaterra) = 100 £; la par del cambio (vista corta) = 617 táleros oro (de Bremen); supongamos el papel a 2 meses sobre Londres cotizado a 612; ¿qué tipo de descuento da esto?

o sea, 5 táleros de diferencia. 5 táleros de descuento sobre 617 por 2 meses; esto da al año (12 meses) = 6 × 5 tál., y 30 : 617 = x : 100; x = 3000/617 = aproximadamente un 5 % de tipo de descuento.

2) Moneda fija en el interior:

a) Calcular la vista más corta dada la más larga; con una moneda nacional dada se compra tanto menos dinero extranjero cuanto más corto es el papel; así que el descuento hay que restarlo de la vista más corta.

El papel a 2 meses sobre Berlín está en Bremen a 110½; ¿qué curso da esto a la vista corta con un 4½ % de descuento?

100 táleros oro (en Bremen, interior), moneda fija. La diferencia de tiempo = 60 días. El 4½ % de descuento por 60 días = 0.83, o aprox. ⅚. Este descuento hay que restarlo del plazo largo: 110½ - ⅚ = 109⅔ táleros (pr.) para la vista corta.

b) Calcular la vista más larga. Se obtiene por una moneda nacional dada más dinero extranjero cuanto más larga es la vista. Así que hay que sumar el descuento al plazo más corto.

En el tipo de cambio de Hamburgo con París, la moneda fija en Hamburgo = 100 marcos Bco.; supongamos el papel corto sobre París cotizado a 190½; ¿cómo, con un 4 % de descuento, hay que cotizar el papel a 2 meses del que han transcurrido 15 días?

Diferencia de días: 60 - 15 = 45 d.; por ellos, descuento al 4 % = 0.95, o 15/16. Cuanto más largo el papel, tantos más francos se compran con 100 marcos Bco.; así que hay que sumar el descuento: 190½ fr. + 0.95 = 191.45 fr. Este es el curso buscado para 45 días.

En el tipo de cambio de Londres con Ámsterdam, la moneda fija en Londres = 1 £; corto Ámsterdam cotizado a fl. 11.15 stüber; ¿cuánto hay que calcular para el papel a 1 mes si el de 3 meses está cotizado a 11.17½ st.? (20 stüber = 1 fr.); 11 fl. 15 stüber = fl. 11.75; fl. 11.17½ stüber = fl. 11.875.

La diferencia entre el papel a 3 meses y el corto = 11.875 - 11.75 = 12½ céntimos.

12½ céntimos por 3 meses da un descuento por un mes de 4⅙ ct. Hay que sumarlo a la vista corta; cuanto más largo el papel sobre Holanda, tantos más florines se compran con 1 £; así, fl. 11.75 + 4⅙ ct. = 11.79⅙ = fl. 11, stüber 15⅚.

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Comparemos ahora los casos del 1) y del 2).

1) a) y 2) a): Calcular la vista más corta dada la más larga. La vista más corta vale más y por eso cuesta más que la más larga. Que una letra cueste más o menos, como aquí se compara dinero con dinero, solo puede expresarse en la clase de dinero que vale como moneda variable. Si la moneda fija está en el extranjero y la variable en el interior, el costar más se expresa en que por una suma dada de dinero extranjero, p. ej., 100 fr., hay que pagar más dinero nacional. El descuento hay que sumarlo, por tanto, a la vista más larga. (1, a) Si la moneda fija está en el interior y la variable en el extranjero, el costar más se expresa en que por cada 100 £, p. ej., se recibe menos dinero extranjero; el descuento hay que restarlo, por tanto, de la vista más larga para hallar la más corta.

1 b) y 2 b): Dada la vista más corta, calcular la más larga. La vista más larga vale menos y por eso cuesta menos que la más corta. Si la moneda fija está en el extranjero, el costar menos se expresa en que se da menos dinero nacional por la moneda fija extranjera; así que hay que restar el descuento del plazo corto. (1, b) Si la moneda fija está en el interior, el mismo hecho se expresa, al revés, en que se da más dinero extranjero por la moneda fija nacional. Así que hay que sumar el descuento al plazo corto.

II) Reducciones de cambio.¹³

Conversión de una suma de letras según un tipo de cambio dado, ya sea que la suma de las letras haya que convertirla de moneda nacional en extranjera o de moneda extranjera en nacional. A las reducciones de cambio pertenece también hallar el curso al que se ha hecho tal conversión.

A) Reducciones de cambio directas.

(solo tienen lugar entre lugares que están en tráfico de letras directo entre sí (a drittura), es decir, que cotizan sus cursos en sus bolsas respectivas.)

El siguiente boletín de cotizaciones de Berlín vale también para Leipzig; el curso de Leipzig sobre Berlín es de 100 táleros ± por 100 tál. fijos en Berlín.

Boletín de cotizaciones de Berlín. (mediados de feb. de 1859)

1. ¿Cuál es el producto de 1832.50 fl. al 7 de mayo sobre Ámsterdam, negociados el 26 de feb.: a) al curso de 142⅜ para la vista de la letra; b) al curso de 142⅝ para el papel a 2 meses con un 3 % de descuento?

a) 250 fl. : 1832.50 fl. = 142⅜ tál. : x; x = 1043.6087 tál. (= 18 sgr.)

b) Primer cálculo: reducción del curso del papel a 2 meses para un papel que vence el 7 de mayo.

2 meses desde el 26 de feb. = 26 de abril; la letra vence 11 días más tarde; del curso a 3 meses hay que rebajar, pues, el descuento por 11 días (descuento al 3 % de 120 días = 1.42625; por 11 días = 0.13; descuento, pues, 0.13 tál.; 142.625 - 0.13 = 142½, curso para el papel al 7 de mayo. 250 f. : 1832.50 f. = 142½ : x; x = 1044.525 tál. (15 sgr.)

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Segundo cálculo. Se considera la letra como papel a 2 meses, se calcula según el curso de esta vista y se resta el descuento por tantos días como la letra venza más tarde. Este es el método más exacto.

250 fl. : 1832.5 = 142⅝ (?) : x; x = 1045 tál. 13 sgr. Menos el descuento por 11 días al 3 % = 29 sgr.; deja 1044 tál. 14 sgr.

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2. ¿Cuántos florines a vista corta se libran sobre Ámsterdam por 950 tál. 20 groschen a 142⅜ (es v. c.)? Tál. 142⅜ : 950⅔ tál. = 250 f. : x; x = f. 1669.30 (cts.)

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3. Por 1669 fl. 30 cts. holandeses se recibieron en Leipzig 950 tál. 20 gr.; ¿a qué curso se negociaron? fl. 1669.30 : 250 fl. = 950⅔ tál. : x; x = 142⅜.

Cálculo de interés compuesto.

Cálculo de porcentajes. (Fórmula general)¹⁴

I) Hallazgo simple de los porcentajes.

Dado el tipo porcentual = %. Dado el valor, según sea puro, aumentado o disminuido.

en el 2), el capital, bien entendu, = capital + tipo porcentual; en el 3), el capital disminuido en el tipo porcentual.

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II) Hallar un valor modificado según cierto tipo porcentual.

Dados un valor y un tipo porcentual según el que se modifica.

3 preguntas:

1. ¿Cuánto es el valor dado si se aumenta o disminuye en cierto %? 2) ¿Cuánto era un valor antes de aumentarse en cierto %? 3) ¿Cuánto era un valor antes de disminuirse en cierto %?

2. 100 : valor = 100 (+ o - %) : x 2) 100 + % : valor = 100 : x 3) 100 - % : valor = 100 : x

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III) Hallar el valor del que se han calculado ciertos porcentajes dados.

Aquí, además de los porcentajes, tiene que estar dado el tipo porcentual.

Si el tipo porcentual requiere el capital base 100, capital puro, o 100 + m, capital aumentado (porcentaje sobre 100), o 100 - m (porcentaje en el 100), ¿qué valor requieren los porcentajes dados? Según los 3 casos, porcentaje del, sobre o en el 100.

En este caso, pues:

1. Porcentaje del 100 : porcentajes dados = 100 : x. P. ej., 6 : 75 = 100 : x = 1250

2. Porcentaje del 100 : porcentajes dados = 100 + porcentaje : x. P. ej., 6 : 75 = 106 : x = 1325

3. Porcentaje en el 100 : porcentajes dados = 100 - tipo porcentual : x. P. ej., 6 : 75 = 94 : x [; x] = 1175.

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IV) Hallar el tipo porcentual.

Se calcule sobre capital puro, aumentado o disminuido, el tipo porcentual es siempre el mismo, pues el aumento o la disminución se calcula siempre justamente en ese tipo porcentual; así que siempre porcentaje del 100. Con el capital aumentado, al plantear la cuenta hay que reducirlo, por tanto, a capital puro restándole el aumento que contiene; con el capital disminuido, sumándole la disminución que contiene. Cada vez la pregunta es: ¿cuánto da 100, es decir, cuál es el tipo porcentual, si el capital dado da los porcentajes calculados?

1. El capital dado : 100 = los porcentajes dados : x; el tipo porcentual = x, el mismo sea pérdida o ganancia.

2. El capital dado es aquí el capital aumentado en los porcentajes dados. Así: el capital - los porcentajes dados : 100 = los porcentajes dados : x

3. El capital dado es aquí el disminuido en los porcentajes dados. Así: capital + porcentajes dados : 100 = porcentajes dados : x

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En lo que sigue se reúne la forma general del planteamiento en ejemplos:

(Esto, en la página anterior)

I) Hallazgo simple de los porcentajes. 1) 100 : 62½ = 7 : x; 2) 107 : 62½ = 7 : x; 3) 93 : 62½ = 7 : x

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II) Hallar un valor modificado según cierto tipo porcentual. 1) 100 : 62½ = 107 : x; 2) 107 : 62½ = 100 : x; 3) 93 : 62½ = 100 : x

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III) Hallar el valor del que se han calculado porcentajes dados con un tipo porcentual dado. 1) 7 : 62½ = 100 : x; 2) 7 : 62½ = 107 : x; 3) 7 : 62½ = 93 : x

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IV) Hallar el tipo porcentual: 1) 62½ : 100 = 7 : x; 3) 69½ - 7 : 100 = 7 : x; 3) 55½ + 7 : 100 = 7 : x.

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Fórmula general para los distintos casos generales del cálculo de porcentajes.¹⁵

Llamemos pʹ al tipo porcentual (rate); p. ej., pʹ = m/100 = m %; pero como la magnitud absoluta o número de los porcentajes expresada en el numerador aparece separada de 100 en los planteamientos (como, p. ej., en 100 : 80 = 10 : x, donde 10, que expresa la altura del tipo porcentual, el numerador de 10/100, aparece separado de 100), llamamos p al numerador de la tasa porcentual, pero P al número de porcentajes que da un capital dado (un capital, pues, distinto de 100); y C al valor o capital que entra en el cálculo.

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I) Hallar los porcentajes (P);

dado pʹ en C (o C aumentado en P o disminuido en P)

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II) Hallar un valor modificado según un pʹ dado.

1. ¿Cuánto es C si se aumenta o disminuye en pʹ? 2) ¿Qué tamaño tenía C antes de aumentarse en pʹ? 3) ¿Qué tamaño tenía C antes de disminuirse en pʹ?

La x del 1) puede expresar tanto + como -, ganancia o pérdida, a saber: 100 : C = 100 + p : x; 100 : C = 100 - p : x; la x sigue siendo la misma.

C ha de calcularse según que se aumente o disminuya, p. ej., en un 3 %. Puede calcularse también directamente: C + pʹ; C - pʹ, sin planteamiento.

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III) Hallar el valor del que se han calculado P dados a un pʹ dado.

En el 1) se calcula según el % del 100; en el 2), sobre; en el 3), en el 100, el monto del que P son los porcentajes dados.

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IV) Hallar la tasa porcentual.

En el 1), el capital es puro; en el 2), aumentado; en el 3), disminuido en el tipo porcentual que se busca. Dado P; se busca pʹ. En el 2), el capital aumentado en P se reduce a capital puro restándole P; en el 3), sumándoselo.

En cuanto C aparece como valor modificado, en el II), llámese Cd.

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Así. I)

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II)

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III)

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IV)

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I) Hallar los porcentajes.

II) C = 1500, Cd = 1500 modificado. Hallar un valor modificado según un tipo porcentual dado.

III) Dados P y pʹ; x = C. Hallar el valor cuando se calculan porcentajes dados a un tipo porcentual dado.

IV) x = pʹ; dados C y P. Hallar el tipo porcentual.

Cálculo de porcentajes.

I)

1. Porcentaje del ciento. ¿Cuánto es el 7 % de 62 fl. 30 kr. (kreuzer)?

62½ fl. = 62 fl. 30 kr. 100 : 62½ = 7 : x.

x = el valor dado × el tipo porcentual, dividido por 100: x = 62½ fl.×7/100 = 100 × ⅝; así, el tipo porcentual 7×5/8 = 4⅜.

El tipo porcentual se toma aquí tantas veces como 100 está contenido en 62½ (el capital).

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2. Porcentaje sobre el ciento. 1920.72 fr. incluye un 6 %; ¿cuánto % sobre 100, o en cuánto por 100 se ha aumentado?

100 se ha aumentado en 6; así = 106. De ahí la proporción: 106 : 1920.72 = 6 : x; x = 1920.72×6/106 = 108.72 fr.

100 aumentado en el tipo porcentual : capital, como el tipo porcentual a x. x = capital × el número porcentual, dividido por 100 + el número porcentual.

Antes del aumento era, pues:

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3. Porcentaje en el ciento. 239.32 fr. se han disminuido descontando un 3½ %; ¿en cuánto se han disminuido?

Los porcentajes están en el ciento; hay que restarlos, pues, de él. 100 - 3½ = 96½. De ahí: 96½ : 239.32 = 3½ : x; x = 239.32×3½/96½ = 8.68 fr.

100 disminuido en el número porcentual : capital = número porcentual : x; x + capital × el número porcentual, 100 menos el número porcentual.

Antes de la disminución era, pues:

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Nota al I 1)

¿Cuánto es el 4⅙ % de 928 fr.? 4⅙ = 100 × 1/24; así que solo hay que calcular la 1/24 parte de 928 fr. = f. 928. ¿16⅔ % de 1215 tál. 18 ngr.? 16⅔ = ⅙ × 100; así, 6 en 1215 tál. 18 ngr. = 202 tál. 18 ngr. ¿18¾ % de 217 fl. 20 kr.? 18¾ = 3/16 × 100; así que primero se toma la 16.ª parte de 217 fl., etc., y luego se multiplica por 3. 37½ % de 814 £ 12 s. 6 d.; 37½ % = ⅜ × 100; así que hay que dividir 814 £, etc., primero por 8 y luego multiplicar por 3.

ad I. 2)

Todos los tipos porcentuales del 100 (1) que dan una parte cómoda de 100 forman también una parte de 100 + el tipo porcentual; se halla esta parte sumando al denominador de la fracción que forma el tipo porcentual del 100 el numerador de la misma fracción. P. ej., 6¼ % del 100 = 1/16; sobre 100 = 1/16+1 = 1/17; 8⅓ % del 100 = 1/12, sobre 100 = 1/12+1 = 1/13; 37½ % del 100 = ⅜, sobre 100 = 3/11, etc.

ad I 3)

Todos los tipos porcentuales que en el 1) y el 2) forman una parte cómoda del capital pueden usarse igualmente aquí, en el 3). Solo que del denominador de la fracción que forman los porcentajes del 100 hay que restar el numerador de la misma fracción. Así: 8⅓ % = 1/12 del 100; 1/12-1, o 1/11, = 8⅓ % en el ciento; 37½ % = ⅜ del 100; 3/8-3 = ⅗ = ⅜ % en el 100.

II) Hallar un valor modificado según cierto tipo porcentual.

II) 1) Se da el valor puro: ¿cuánto son 978 tál. aumentados o disminuidos en un 3 %?

Puede hacerse directamente sin regla de tres.

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¿1745.50 fr. disminuidos en un 37½ %? (37½ % = ⅜ de 100)

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II) 2) Se da el valor aumentado

¿Qué tamaño tenían 1920.72 fs antes de aumentarse en un 6 %?

---

II 3.) Se da el valor disminuido.

¿Qué tamaño tenían 239.32 fs antes de disminuirse en un 3½ %?

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III) Hallar el valor del que se han calculado ciertos porcentajes dados.

Además de los porcentajes, aquí tiene que estar dado el tipo porcentual; entonces hay que responder: si el tipo porcentual requiere el capital base que le corresponde (100, o 100+ %, o 100- %), ¿qué valor requieren los porcentajes dados?

III 1) ¿De qué monto se han calculado 75 tál. al 6 %?

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III 2) ¿De qué monto se han calculado 78 fl. al 3 % sobre 100?

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III 3) ¿De qué monto se han calculado 8.68 fs. al 3½ % en el 100?

Como en III 1, 2 y 3) 100, o 100+ %, o 100- %, forma siempre el 3.er término del planteamiento de la regla de tres, el cálculo puede hacerse también directamente así: tantas veces como el tipo porcentual (p. ej., 6 en el 1) está contenido en los porcentajes dados (75 en el 1), tantas veces hay que tomar el número 100 (así en el 1.); ⦗en el 2), 100+ %; en el 3), 100- %⦘.

Así, en el 1), 6 contenido en 75 = 12½; así que hay que tomar 12½ × 100 = 1200 + ½ [×] 100 = 1250.

IV) Hallar el tipo porcentual

Aunque aquí puede darse un capital puro, aumentado o disminuido, y hallar, por tanto, un tipo porcentual del, sobre o en el 100, los dos últimos problemas coinciden con el primero. Pues un tipo porcentual del ciento solo se convierte en uno sobre o en el ciento porque se refiere a un valor aumentado o disminuido según el mismo tipo porcentual. Así que el tipo porcentual sigue siendo en todas partes el mismo, y solo la naturaleza del capital produce la diferencia.

P. ej., sean 175 tál. el monto de una mercancía comprada. En la compra podemos ganar o perder, p. ej., un 4 %. Pero la ganancia o la pérdida asciende a: 100 : 175 = 4 : x; x, en cada caso, = 4×175/100 = 1/25 × 175 = 7. 175 es aquí capital puro; solo se trata, pues, del % del 100. Con la ganancia obtenemos 175 [+] 7 = 182 tál., un capital aumentado en 7; con la pérdida, 175 - 7 = 168, un capital disminuido en 7.

Si se pregunta además: ¿a cuánto asciende la ganancia del 4 % contenida en el precio de venta de 182 tál.?, se trata aquí de un capital aumentado; el tipo porcentual es sobre 100, y el planteamiento, por tanto: 104 : 182 = 4 : x = 7;

Del mismo modo, ¿cuánta pérdida en el precio de venta de 168?; aquí, capital disminuido; o sea, tipo porcentual en el 100; da el planteamiento: 96 : 168 = 4 : x = 7. Un mismo tipo porcentual da aquí, pues, en todas partes los mismos porcentajes, y solo la naturaleza del capital condiciona la división de los tipos porcentuales en: del, sobre, en el 100.

Así, en las 3 clases de tipos porcentuales, solo la pregunta: ¿cuánto da 100 si el capital dado da los porcentajes calculados? Pero, como 100 es un valor de capital puro, antes de plantear la cuenta, en los porcentajes sobre 100 hay que liberar el capital del aumento que contiene restándolo, y en los porcentajes en el 100, sumándole la disminución que contiene.

IV 1) Si en 175 tál. se tiene una ganancia o una pérdida de 7 táleros, ¿cuánto % es esto?

Se da el capital puro 175; así, porcentaje del 100. De ahí: 175 : 100 = 7 : x; x = 700/175 = 4 %.

IV) 2) Si de 126.12 M. B. se deducen 24.9 M. B., ¿cuánto % sobre 100 es esto?

Se da el capital aumentado. Así: ¿cuánto da si (126.12 - 24.9) = 102.3 M. B. dan 24.9? 126.12 M. B. - 24.9 sch. M. B. : 100 = 24 M. B. 9 sch. : 100, o: 102 3/16 : 100 = 24 9/16 : x; x = 24 %.

Si en 182 tál. hay contenida una ganancia de 7 tál., ¿cuánto % es esto? 182 - 7 : 100 = 7 : x; x = 4 %.

IV) 3) Si un capital se ha reducido por una pérdida de 7 tál. a 168 tál., ¿cuánto % de pérdida? (168 + 7) : 100 = 7 : x; x = 4 %.

IV 4) A menudo los porcentajes no se dan directamente; hay que hallarlos primero a partir de los valores dados.

a) Si en lugar de 950 tál. se pagan 988 o 912, ¿cuánto % más o menos es esto?

En el primer caso, los porcentajes son 988 - 950 = 38; en el 2.º caso, 950 - 912 = 38; o sea, en ambos casos 38. De ahí: 950 : 100 = 38 : x; x = 4 %.

b) Si en lugar de 3463 M. B. 1 β solo se pagan 3186 M. B. 14 β (β = schilling; 16 β = 1 marco banco de Hamburgo), ¿cuánto % sobre 100 es la deducción?

La deducción = (3463.1 - 3186.14 = 276 M. B. 3 β). Así, el planteamiento: 3186⅞ : 100 = 276 3/16 : x. x = 8⅔ %

c) ¿Cuánto por ciento en el ciento es si en lugar de 1875 fl. se cargan 2000?

El aumento hecho en el 100 = 2000 - 1875 = 125 fl., y el planteamiento para hallar el tipo porcentual: 2000 : 100 = 125 : x. x = 6¼ %.

El cálculo por mil (‰), naturalmente, el mismo que el cálculo de %.

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V) Conversión de un tipo porcentual en otro.

1. ¿Cuánto % del 100 es un 12 % sobre 100? 112 : 100 = 12 : x; x = 1200/112 = 10 5/7.

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2. ¿Cuánto % sobre 100 es un 5 % del 100? 95 : 100 = 5 : x. x = 500/95 = 5 5/19 %.

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3. ¿Cuánto % del 100 es un 4 % en el 100? 96 : 100 = 4 : x. x = 400/96 = 4⅙ %.

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ad 1) Que de 364 fl. se tome un 12 % sobre 100 o un 10 5/7 del 100 es lo mismo = 39.

ad 2) 100 : 120 fs = 5 : x. = 6 f.; 105 5/19 : 120 = 5 5/19 : x = 6 f.

ad 3) 96 : 144 f. = 4 : x = 6 fs.; 100 : 144 = 4⅙ : x; = 6 fr.

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4. ¿Cuánto % en el 100 es un 4 % del 100? 104 : 100 = 4 : x; x = 3 11/13 %.

100 : 250 f. = 4 : x = 4⨯250/100 = 250/25 = 10 f.; 96 2/13 : 250 = 3 11/13 : x = 10 f.

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Cuando el número porcentual es un número mixto que forma una parte del número 100, el cálculo puede abreviarse.

P. ej., ¿tomar el 33⅓ % de 1000\999?

Igualmente, p. ej., tomar el 27 3/11 %; 1/x × 100 = 27 3/11; 100 = 27 3/11 x. x = 100/27 3/11 = 100/300/11 = 11/3. x = 11/3. Así, 1/x100 = 27 3/11 = 1/11/3 100 = 27 3/11; así, 3/11 × 100 = 27 3/11

Abreviaciones de este tipo, entre otras:

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Los distintos casos del cálculo de porcentajes juntos.

I)

1. Porcentaje del 100. P. ej., cuánto es el 7 % de 62.50 fl.: 100 : 62½ = 7 : x = 4⅜ fl.

2. 〃 sobre 100. P. ej., 1920.72 fs incluyen un 6 %: 106 : 1920.72 = 6 : x = 108.72 fs

3. 〃 en el 100. P. ej., 239.32 fs disminuidos descontando un 3½ %: 96½ : 239.32 = 3½ : x = 8.68 fs

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II) Hallar un valor aumentado o disminuido según cierto tipo porcentual.

1. ¿Cuánto son 978 tál. aumentados o disminuidos en un 3 %?: 100 : 978 = 103 : x = 1007 tál. 10 gr.; 100 : 978 = 97 : x = 948 tál. 20

O sin planteamiento: 978 + 3 % = etc.; 978 - 3 % = etc.

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Dado el valor aumentado: 2) qué tamaño tenían 1920.72 fs antes de aumentarse en un 6 %: 106 : 1920.72 = 100 : x = 1812 fs.

Dado el valor disminuido: 3) 〃 〃 〃 239.32 〃 disminuidos en un 3½: 96½ : 239.32 = 100 : x; x = 〃 248

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III) Hallar el valor del que se han calculado porcentajes dados.

1. ¿De qué monto se han calculado 75 tál. al 6 %? 6 : 75 = 100 : x = 1250 tál.

2. ¿De qué monto se han calculado 78 fl. sobre 100 (al 3 %)? 3 : 78 = 103 : x = 2678 fl.

3. ¿De qué monto se han calculado 8.68 fs. al 3½ % en el 100? 3½ : 8.68 = 96½ : x = f. 239.32

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IV Hallar el tipo porcentual.

1. Si en 175 tál. se tiene una ganancia o una pérdida de 7 tál., ¿cuánto % es eso? 175 : 100 = 7 : x = 4 %

2. Si de 126.12 β M. B. se deducen 24.9 β M. B., ¿cuánto % sobre 100? 102 3/16 : 100 = 24 9/16 : x = 24 %

Aquí se da el capital aumentado: si, pues, 126.12 - 24.9, o 102.3 M. B., dan 24 M. 9 β, ¿cuánto dan 100?

Si en 182 tál. hay contenida una ganancia de 7 tál., ¿cuánto % da eso? 182 - 7 : 100 = 7 : x = 4 %

3. Si un capital se ha reducido por una pérdida de 7 tál. a 168, ¿cuánto % de pérdida? 168 + 7 : 100 = 7 : x = 4 %

Cuando los % no se dan directamente, sino que hay que determinarlos primero a partir de los valores dados:

1. Si en lugar de 950 tál. se pagan 988 o 912, ¿cuánto % más o menos se paga? 988 - 950 = 38 y 950 - 912 = 38. Así: 950 : 100 = 38 : x. x = 4 %

2. En lugar de 3463.1 β solo se pagaron 3186.14 β; ¿cuánto % sobre 100? Deducción = 3463.1 - 3186.14 = 276.3 β. Así: 3186⅞ : 100 = 276 3/16 : x = 8⅔ %

3. En lugar de 1875 se pagaron 2000. ¿Cuánto % en el 100? 2000 - 1875 = 125. Así: 2000 : 100 = 125 : x, x = 6¼ %

Tipos porcentuales que forman una parte cómoda de 100. Cf. con la tabla de la página anterior.

Todos estos números porcentuales forman una parte de 100 cómoda para el cálculo; los porcentajes que hay que calcular de un valor dado son entonces iguales a la misma parte de ese valor que el tipo porcentual forma de 100. P. ej., el 7 % de 62½ fl. Como 62½ = ⅝ × 100, hay que tomar los porcentajes, 7, tantas veces como 62½ es tan grande como 100; o sea, ⅝ ×, y ⅝ × 7 = 35/8 = 4⅜.

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1. Texto original según MEGAdigital (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften), MEGA² IV/25, licencia CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es); el aparato editorial de la MEGA no se reproduce. Esta traducción y la transcripción se distribuyen con la misma licencia. ↩

2. Encabezamiento de Marx; el pasaje está en Feller y Odermann, p. 323 (según MEGAdigital). Marx vuelve sobre él más abajo, en el apartado «Cálculo de letras». ↩

3. La expresión es de Marx (según MEGAdigital). ↩

4. Feller y Odermann, pp. 228-231. Según MEGAdigital, Marx extracta aquí de nuevo el apartado que ya había extractado en las pp. 2-3 de este cuaderno (el apartado anterior, en táleros) y amplía las cuentas con francos en lugar de táleros. ↩

5. Feller y Odermann, pp. 237-238 (según MEGAdigital). ↩

6. Feller y Odermann, pp. 239-241 (según MEGAdigital). La observación entre ⦗ ⦘ del párrafo siguiente es de Marx. ↩

7. Feller y Odermann, p. 242 (según MEGAdigital). ↩

8. Esta frase y la cuenta siguiente son un añadido de Marx (según MEGAdigital). ↩

9. Feller y Odermann, p. 318; el apartado I), con encabezamiento de Marx, sigue la p. 319, y en él Marx vuelve sobre la cuestión del comienzo del cuaderno (según MEGAdigital). ↩

10. β: schilling (de Hamburgo) (según MEGAdigital). ↩

11. Según MEGAdigital, Marx repite aquí lo que había extractado antes en a) y b) y lo amplía con observaciones propias entre ⦗ ⦘. ↩

12. Desde aquí hasta el final de la p. 13 del cuaderno, observaciones de Marx sobre los ejemplos de Feller y Odermann (pp. 323-324) que acaba de extractar en 1)-6) (según MEGAdigital). ↩

13. Feller y Odermann, p. 325; el apartado A), p. 326 (según MEGAdigital). ↩

14. Feller y Odermann, pp. 162-163 (según MEGAdigital). ↩

15. Encabezamiento de Marx. Según MEGAdigital, lo que sigue es elaboración de Marx, salvo los encabezamientos I) a IV), que están en Feller y Odermann, p. 163. ↩