Heft IV (1878). I. Exzerpte aus Feller-Odermann: Discont-, Termin- und Wechselrechnung, Procentrechnung

Nach der Handschrift, MEGAdigital (MEGA² IV/25).¹ Traducción al español

I) Einfluss v. Discont auf Wechselpari.

Kurs auf 3 Monate auf Hamburg stehe zu Paris: 185⅞ (i. e. fcs für 100 Banco Mark fest) Wie viel für kurzes Papier?

Discont stehe in Hamburg auf 5%. Macht per 100 fcs 5 im Jahr,  5/4 fc. = 1 fcs. 25 für 3 Monat.

Giebt auf 185⅞ fcs. od. 185,87½ centimes – auf 3 Monat – fcs 2,32½.

Wo die feste Valuta im Ausland Discont zu addiren, wenn Cours höher sein soll, zu subtrahiren wenn er niedriger sein soll. So wäre kurz in Paris auf Hamburg = f. 188.20

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Ist die feste Valuta im Inland, so umgekehrt, zu subtrahiren wenn Cours höher, zu addiren, wenn er niedriger sein soll.

Z. B. kurz Amsterdam in Hamburg mit 35,95 notirt; (holländischer Gulden od. fl. hier variable, 40 Banco Mark feste Valuta im Inland)

Disconto in Amsterdam = 4% z. B. Also 1% p. 3 monat. Wie viel werth 2 Monatl. Papier?

Je länger ein Papier zu laufen hat, desto weniger ist es werth; desto mehr florins bekommt man also in Hamburg für 40 B. Mark fest.

Zu 1% f. 3 Monat, macht für 2 Monat ⅔%.

Also f. 35.95 = 23⅓ + etwas über ½ cts. = also = 24 cts. f. 2 Monate zu 4% p. Jahr.

Discontrechnung.

I) Ein zu discontirendes Capital ist kein „reiner“, sondern ein „vermehrter“ Werth – vermehrt durch Zinsen od. Zinseszinsen; muss also berechnet werden nicht nach % von, sondern auf 100; geschieht jedoch in kaufmänn. Praxis das Gegentheil.

Z. B. 2060 fcs in 1 Jahr fällig zu discontiren mit 3%; nach % auf Discont. 103 : 2060 = 3 : x; x = 60fcs; die baare Zahlung also 2000; u. 2000 sofort wieder angelegt à 3% giebt nach Ablauf eines Jahrs: 100 : 2000 = 3 : x x = 2000 × 3/100 = 60; also exactly 60, dieselbe Summe die bei Discont abgezogen.

Wird dagegen % von 100 beim Discontiren berechnet, so: 100 : 2060 = 3 : x. x = 20.60 × 3 = 61.80 = 61.8; baar bezahlt erhält er also (der den Wechsel discontirt) = 2060 – 61.8 = 1998.2;

Würde der der die rth 1998.2 [erhält] solche sofort zu 3% neu anlegen für Jahr, so erhielte er: 100 : 1998.2 = 3 : x; wo x = 59.946 also < 61.8; Verlust für Empfänger der Zahlung = 1.854 Rt.; könnte dies nur ausgleichen, indem er zu höherem Zinsfuss wieder ausliehe; da 1998.2 : 100 = 61.8 : x, so x (der Zinsfuss) = 3 1/10% circa. Trotz diesem „Schauerlichen“ , im kaufmänn. Verkehr Rechnung von %, weil, however great the sums, die Zeitlänge des Discount selten viel über a few months. Dagegen bei Erwerbung v. Grundstücken etc die Rechnung auf 100 nöthig.

Je nachdem ein zu discontirendes Kapital wirklich zusammengesetzt od. zusammengesetzt vorgestellt wird aus Capital u. einfachen Zinsen od. aus Capital u. Zinseszinsen, hat man einfachen u. zusammengesetzten Discont.

I a) Einfacher Discont auf 100.

1) Aufsuchung des Disconts: Wie viel Discont von 1200 Th. am 24 Sept. fällig, u. am 12t Juli mit 4% discontirt?

Vom 12 Juli bis 24 Sept., den Monat zu 30 Tagen = 72 Tage; richtiger u. auch gewöhnlich , bei Discont auf 100, das Jahr zu 365 Tagen zu rechnen. Jahr zu 365 Tagen berechnet = 74 Tage. Nach letzterem also berechnet:

Hier aber zu 30 Tagen (od. Jahr zu 360 Tagen genommen, weil Rechnung einfacher)

Auch das discontirte Kapital kann zur Auffindung des Discont’s gegeben sein. Z. B. Wie viel der Discont, wenn ein à 4% per 72 Tage discontirtes Capital mit 1190 10/21 rth. baar bezahlt wird. Der baare Werth 100 giebt ⅘ discont, wie viel geben 1190 10/21? 100 : 1190 10/21 = ⅘ : x; x = 9 11/21.

2) Aufsuchung des discontirten Capitals.

Hier kann neben Zinsfuss u. Zeit entweder das zu discontirende Kapital od. der Discont gegeben sein.

a) Welchen baaren Werth haben 1200 Th., nach 72 Tagen fällig, à 4% discontirt?

Zinsen v. Kapital 100 in 72 Tagen (zu 4%) = ⅘. Wenn also 100 + ⅘ , nach 72 Tagen fällig, = 100 baar, welchen baaren Werth hat Capital v. 1200, ebenfalls nach 72 Tagen fällig?

Ausserdem kann man aber auch Discont berechnen, wie sub 1) u. von dem zu discontirenden Capital abziehn.

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b) Wie viel wurde für ein à 4% discontirtes Kapital bezahlt, wenn der Discont per 72 Tage = 9 11/21?

⅘ : 9 11/21 = 100 : x; x = 1190 10/21.

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3) Aufsuchung des zu discontirenden Capitals.

⦗Hier kann neben Zinsfuss u. Zeit, das discontirte Capital od. der Discont gegeben sein⦘

1. Wie gross das Capital, das nach Abzug v. 4% f. 72 Tage 1190. 10/21 rthl. übrig gelassen?

a) Zuerst zu berechnen, welchen Zins geben 100 in 72 Tagen à 4%:

also b) wenn 100 baar = 100⅘ in 72 Tagen , welchen Werth haben 1190 10/21 Rth. nach derselben Zeit?

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2. Wie gross ist das Capital, welches f. 72 Tage à 4% mit 9 11/21 rth. discontirt worden ist?

Da 100 = ⅘ Zinsen geben, so erfordern ⅘ = 100⅘ ; welches Capital erfordern 9 11/21 rth? ⅘ : 9 11/21 = 100⅘ : x. x = 1200 Capital

Als ein discontirtes Kapital ist der Baarpreis einer Waare anzusehn, wenn er dem Preise derselben Waare auf Zeit entgegengesetzt wird u. die Ermittlung des letztern aus dem erstern entspricht der Ermittlung des zu discontirenden Capitals aus dem discontirten.

4) Aufsuchung des Zinsfusses:

Wieviel % der Discount, wenn 1200 rth. für 72 Tage mit 9 11/21 rth discontirt werden?

Das gegebne zu discontirende Kapital, weil es die % für eine grosse Zeit einschliesst, ist nicht proportional zu 100, wird es erst, sobald v. dem in ihm enthaltnen Disconto befreit.

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5) Aufsuchung der Zeit.

Wie lang hat Capital v. 1200 noch zu laufen, das à 4% mit 9 11/21 discontirt worden ist?

I) Einfacher Discont auf 100.

1) Aufsuchung des Disconts.

Zu discontirendes Capital = 1200 fc., zahlbar in 72 Tagen, Rate of Discont = 4%.

Oder, wenn gegeben das discontirte Capital v. 1190 10/21 ; discontirt à 4%, per 72 Tage, dann Discont gefunden so: 100 giebt für 72 Tage ⅘ discont, hence: 100 : 1190 10/21 = ⅘ : x; x = 9 11/21.

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2) Aufsuchung des discontirten Capitals. Neben Zinsfuss u. Zeit gegeben entweder das zu discontirende Kapital od. der Discont.

Baarwerth v. 1200 fcs., nach 72 Tagen fällig, à 4% Discont?

100 in 72 Tagen geben ⅘ (zu 4%); also 100 + ⅘, nach 72 Tagen fällig, baar = 100. 100 + ⅘ : 1200 = 100 : x; x = 1190 10/21.

Man kann auch Discont berechnen, wie sub 1) u. v. dem zu discontirenden Capital abziehn.

Ist nicht das zu discontirende Kapital gegeben, sondern statt dessen Discont = 9 11/21 fcs ⅘ : 9 11/21 = 100 : x. x = 1190 10/21.

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3) Aufsuchung des zu discontirenden Capitals; gegeben, neben Zinsfuss u. Zeit, das discontirte Capital oder der Discont.

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4) Aufsuchung des Zinsfusses.

Wie viel % der Discount, wenn 1200 fcs. für 72 Tage mit 9 11/21 discontirt wurden?

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5) Aufsuchung der Zeit.

Wie lange hat ein Capital v. 1200 fcs noch zu laufen, das à 4% mit 9 11/21 fcs discontirt worden ist?

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II) Einfacher Discont vom 100.

1) Aufsuchung des Disconts. (Wie bei Zinsrechnung)

x Discont v. 1200 fcs per 72 Tage à 4%?

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Ist das discontirte Capital gegeben; z. B. Capital f. 72 Tage à 4% discontirt wird baar bezahlt mit 1190.4. Wie viel der Discont?

Zinsen v. 100 in 72 Tagen = ⅘; als Procente vom 100 berechnet, machen das Capital 100 zu einem baaren Werth [von] 99⅕. Also 99⅕ = ⅘ Discont, wie viel 1190.4?

99⅕ : 1190.4 = ⅘ : x; x = 9.6.

2) Aufsuchung des discontirten Capitals.

Wie viel betrug 1200 fcs nach Abzug v. 4% Discont per 72 Tage?

Discont durch 1) ermittelt = 9.6 giebt abgezogen v. 1200 = fcs 1190.4.

Oder berechnet: 360 : 72 = 4 : x; giebt ⅘% f. 72 Tage. Also v. 100 abgezogen ⅘ = 99⅕; hence: 100 : 1200 = 99⅕ : x; x = 1190.4.

Wie viel betrug das discontirte Capital, wenn der à 4% per 72 Tage berechnete Discont = 9.6 fcs

⅘ : 9.6 = 99⅕ : x x = 1190.4.

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3) Aufsuchung des zu discontierenden Capitals.

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4) Aufsuchung des Zinsfusses.

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5) Aufsuchung der Zeit.

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III) Zusammengesetzter Discont.

Gemeine Arithmetik kann nur 2 Fragen lösen; Ermittlung des discontirten u. die des zu discontirenden Capitals.

Welchen baaren Werth hat am 6 Mai 1855 eine am 6 August 1857 fällige Forderung v. 2000 fcs mit 4% von Discont? also für 2 Jahre 3 Monate

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Um den jetzigen baaren Werth eines später zahlbaren Werths unter Berechnung von Discont vom Discont zu ermitteln, so kann nur der zusammengesetzte Discont auf 100 in Anwendung gebracht werden, während der zusammengesetzte Discont vom 100 nur anwendbar, wie z. B. in folgendem Fall, wo Staatschuld v. 20 Mill. jährlich mit 1% so zu tilgen, dass sich dies eine % immer auf den nach erfolgter Tilgung übrigbleibenden Capitalbetrag bezieht. (Sieh p. 238)

Terminrechnung.

Meint vom kaufmännischen Gesichtspunkt nichts als für mehre zu verschiednen Zeiten fällige Kapitalien eine mittlere, gemeinschaftliche od. Durchschnittsverfallzeit aufzufinden, zu welcher, ohne Nachtheil für Gläubiger od. Schuldner, die Zahlung dieser Capitalien auf einmal geleistet werden kann.

⦗Oekonomisch nur wichtig f. die Berechnung der Umschlagszeit eines Capitals (auch des gesellschaftlichen), dessen verschiedne Bestandtheile verschiedne Umschlagszeiten haben.⦘

Fälle möglich: I) Die Kapitalien sind unverzinslich (wobei die Kapitalien gleich od. ungleich); II) Sie sind verzinslich. (wobei Zinsfuss gleich od. ungleich)

I) Unverzinsliche Kapitalien.

1) a) Die Capitalien sind gleich;

man addirt die verschiednen Zeiten u. dividirt die Summe durch die Anzahl der Capitalien.

Z. B. die gemeinschaftliche Verfallzeit f. 6 gleiche Kapitalien von je 900 fcs, in resp. 4, 5, 7, 9, 10, 14 Monaten zahlbar?

Die Summe der Capitalien = 6 × 900 = 5400 fcs. Die Durchschnittsverfallzeit derselben = 4+5+7+9+10+14 6 =  49/6 = 8⅙Monaten.

5400 fcs in 8⅙ Monaten zu 4% giebt 5400×8⅙ /300 = 900×49/300 =  9/3 × 49 = 3 × 49 = 147 Zinsen

Dieselbe Masse Zinsen:

1) b)

vier Tratten, jede v. 1800 fcs am 7 April ausgestellt, 14 Tage, 1 Monat, 7 Wochen dato u. per Ende Juni sollen in eine gemeinschaftliche Verfallszeit gebracht werden.

Erst Verfallszeit jeder Tratte zu ermitteln. Die erste fällig am 21 April, 2te am 7ten Mai, 3te am 26 Mai, 4te am 30 Juni. Um die Anzahl der Tage zu finden, die jede Tratte noch zu laufen hat, kann man ausgehn:

Erstens. Vom Tag der Ausstellung (1 Monat = 30 Tage)

Zweitens vom Tag der frühsten Verfallszeit

Drittens. v. einem beliebigen Tag (der jedoch die frühste Verfallzeit nicht überschreiten darf), z. B. von Tag des Empfangs des Trattenavises, sei z. B. 15 April.

2) Die Kapitalien sind ungleich.

Die Berechnungsart gründet sich darauf, dass z. B. 100 fcs in 9 Monaten ebenso viel Zinsen geben wie 9 × 100 fcs in 1 Monat (bei gegebnem Zinsfuss).

Z. B. Ein Commissionair in London hat für fremde Rechnung folgende Verkäufe gemacht:

Am 24 Juli will er seinen Committenten Verkaufsrechnung mit gemeinschaftlicher Verfallszeit f. die einzelnen Verkäufe ertheilen. Wann die gemeinschaftliche Verfallszeit?

Um die Zahl der Tage zu finden, die jeder der Posten noch zu laufen hat, gerechnet vom 24 Juli (Datum der Verkaufsrechnung) oder vom 29 Juli (frühste Verfallszeit)

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Nachdem also die Zahl der Tage gefunden, die jedes der Capitalien noch zu laufen, multiplicirt man jedes derselben mit der ihm zugehörigen Zeit, addirt die dadurch erhaltnen Producte u. dividirt ihre Summe durch die Summe der Capitalien. Der Quotient giebt die Zahl der Tage, nach deren Ablauf – vom Tag an gerechnet, von welchem man ausgegangen ist – die gemeinschaftliche Verfallzeit eintritt. So viel wie möglich die Capitalien u. Zeiträume, für sich jedes od. untereinander, reducirt, soweit sie durch eine u. dieselbe Zahl kürzbar.

Die Summe der erhaltenen Producte bildet ein Capital das auf einen Tag ausgeliehn ist.

II) Ungleiche Capitalien, ungleicher Zinsfuss, ungleiche Verfallszeit; zu welchem mittleren Zinsfuss diese Capitalien auf einmal abtragbar?

z. B. Zu zahlen 400 fcs in 4 Monaten, 200 in 6 Monaten, 400 in 8, u. 800 in 9 Monaten u. bis dahin mit 5, 4, 3½ u. 6% zu verzinsen.

Erst bestimmt man den mittleren Zinsfuss.

Man multiplicirt nun jedes Capital mit dem ihm zugehörigen Zinsfuss, addirt die dadurch erhaltnen Producte u. dividirt deren Summe durch die Summe der Kapitalien. Der Quotient ist der mittlere Zinsfuss.

Also:

Jedes der bei Berechnung des mittleren Zinsfusses erhaltnen Producte multiplicirt man nun mit der ihm zugehörigen Zeit, addirt die dadurch gefundnen Producte u. dividiert sie durch die Summe der aus Capital × Zinsfuss erhaltnen Zahlen.

Also:

⦗Kann zusammen geschehn.

Man kann auch erst die mittlere Verfallszeit bestimmen, indem man die Capitalien

Bei der 2ten Lösung ist die Verfallszeit kürzer (7⅓ Monate) als bei der ersten (7 7/15 Monate), dagegen der Zinsfuss (5 1/11%) grösser als bei der ersten (wo = 5%). Da aber Zeit u. Zinsfuss in indirectem Verhältniss, so richtig beides: 1) Je grösser Zinsfuss (5 1/11%) gegen 5%, desto kleiner Zeit (5 1/11 : 5 = 7 7/15 : x = 7⅓ Monat) u. 2) je kleiner die Zeit (7⅓ Monat) im Vergleich zu 7 7/15 Monat, desto grösser der Zinsfuss (7⅓ : 7 7/15 = 5% : x; x = 5 1/11) Hence Zinsen v. 1800 fcs in 7⅓ Monat à 5  1/11 % = den Zinsen v. 1800 fcs in 7  7/15 zu 5%.)

⦗Geht man davon aus, dass jedes zu einer bestimmten Zeit zahlbare Capital, wenn es bis dahin nicht verzinst wird, als ein Werth anzusehn, der die Zinsen einschliesst, welche das Capital noch zu laufen hat – worauf sich die Berechnung des Disconts nach dem Zinsfuss auf 100 gründet – so auch die Auffindung des mittleren Zahlungstermins für mehrere zu verschiednen Zeiten fällige, bis dahin aber nicht zu verzinsende Capitalien zu modificiren wie folgt.

Z. B. 824 fcs fällig in 6 Monaten, 860 in 15 Monaten, 648 in 16 Monaten wenn Zinsfuss angenommen = 6%; diese sollen auf einmal abgetragen werden:

Man ermittelt zuerst den baaren Werth der einzelnen Capitalien.

Wie viel Zeit gehört dazu, um diese Zinsen mit 2200 Th. à 6% zu gewinnen?

Nach der kaufmänn. Rechnung dagegen.

Zeit hier länger; weil Kaufmann nach Satz vom 100 rechnet, also jedes später fällige, bis zum Eintritt der Verfallszeit aber nicht zu verzinsende Kapital nicht als einen Werth ansieht, der die Zinsen einschliesst, sondern als solchen mit welchem erst die Zinsen verdient werden sollen von da ab, wo derselbe fällig wird. Der Discontsatz vom 100 giebt grösseren Discont, also auch, um ihn zu verdienen, mehr Zeit erforderlich.

Der Discont auf die oben angegebnen Capitalien, zu 6% nach dem Satz vom 100: giebt auf deren Summe (2332) 141.06 Discont; wie lange nun 2332 fcs noch zu laufen, wenn der à 6% berechnete Discont = 141,06?

Wechselrechnung.

Zwei Preiscolumnen (continentale Courszettel): Geld od. Gesucht („Argent“ od. „demandé“), und „Briefe“ oder „Angeboten“ („Lettres“ or „Offert“ )

I) Einfluss von discont auf Wechselpari.

Wenn 2 Plätze, die mit einander direct wechseln, d. h. gegenseitige Course auf einander notiren, einen u. denselben Münzfuss haben, so die Coursnotirung in der Regel für 100 (Gulden, Thaler, fcs etc) u. die veränderliche Valuta dann stets im Geld desjenigen Platzes ausgedrückt, um dessen Coursnotirung es sich handelt. Z. B. Leipzig ist in Berlin mit 99⅞ Th. notirt, so heisst dies 99⅞ Th. in Berlin = 100 Th. (fest) in Leipzig. Also ⅛% Verlust. Mit % Verlust od. Gewinn notirt z. B. Paris seine Course auf die inneren Plätze.

a) Ist feste Valuta im Ausland, so Discont zu addiren, wenn Cours höher, zu subtrahiren wenn er niedriger werden soll.

3 Monat Papier auf Paris in Leipzig notirt 79½; wie viel kostet 14 Tage Papier bei 5% Discont? (Feste Valuta im Ausland = 300 fcs)

Tage 90 – 14 = 76 Tage; 76 Tage à 5% = 0.838 od. ⅚ about; der Cours also = 79½ + ⅚ = 80⅓ ; Discount addirt, denn für 300 fcs in 14 Tage Papier mehr Thaler gezahlt als f. 300 fcs in 3 Monat Papier.

Wäre umgekehrt 14 Tag Papier = 80⅓, so how much für 3 Monat Papier zu 5% Discont? 14 Tage + 76 = 90. Also Discont f. 76 zu berechnen, i. e. about ⅚; abzuziehn 80⅓ – ⅚ = 79½ , da für 300 fcs in 3 Monats Papier weniger gezahlt wird als f. 300 fcs in 14 Tagen.

b) Ist feste Valuta im Inland, so umgekehrt; Discont zu subtrahiren, wenn Curs erhöht, zu addiren wenn Curs erniedrigt werden soll. Z. B. wenn kurz Amsterdam in Hamburg notirt 35,95 (fl.) (berechnet auf 40 M.Bo. fest), so, bei 4% Discount, 2 Monat Papier zu notiren: 36,19; (je länger das Papier zu laufen, desto weniger ist es werth; desto mehr florins also in Hamburg zu zahlen für 40 M.Bo fest)

Beispiele: 1) Augsburger 2 Mt. Papier in Berlin 56.24 (i. e. 56 Th. 24 Sgr. für 100 f.S.W.) Wie viel bezahlt für 3 Monat Papier mit 4% Discount? (Feste Valuta hier im Ausland (Augsburg) Zeitdifferenz der Sichten = 1 Monat; Discont f. 1 Monat = 5⅔ sgr. Dieser Discont abzuziehn; also Curs = 56.24 – 5⅔ = 56,18⅓ als Curs f. 3 Monate. (da man weniger Thaler für 100 fl. [zahlt] die 3 Monate zu laufen)

a) +2) 2 Mt. Papier auf Berlin steht in Bremen 110½, welchen Curs giebt dies für kurze Sicht bei 4½% Discont? Zeitdifferenz hier = 60 Tage (2 Monate) (100 Thlr Gold in Bremen feste Valuta) hier im Inland (Bremen, gegen Berlin Ausland) Bei Discont v. 4½% auf 60 Tage = 0.83 od. ca ⅚%. Man kauft mit 100 Gold fest um so weniger Berliner Thaler, je kürzer das Papier, so Discont abzuziehn. Also Cours der kurzen Sicht = 110½ – ⅚ = 106⅔ .

b) +3) Kurz Pariser Papier in Hamburg notirt 190½ ; wie bei 4% Discont 2 Monat Papier, wovon 15 Tage verflossen? (Feste Valuta im Inland Hamburg = 100 Bo Mark)

Differenz des Termins 60 – 15 = 45 Tage; dafür Discont à 4% = 0.95 od.  15/16. Je länger das Pariser Papier, desto mehr fcs gekauft mit 100 Bo Mark; also Discont zu addiren; der gesuchte Curs daher = 190½ + 0.95 fcs = fcs 191.45

4. In London kurz Amsterdam notirt f. 11.15 (11 florin, 15 Stüber) (20 Stüber = 1 fc.), 3 Monat mit 11.17½ Sterling; wie 1 Monat zu berechnen? für 11.15 St. = f. 11.75; f. 11. u. 17½ Stüber = f. 11.875) ⦗feste Valuta in London = 1£⦘ Differenz zwischen kurzem Kurs u. 3 monatlichen = 11.875 – 11.75 = 12½ centimes. Dies die Differenz für 3 Monate u. Kurz; also für 3 Monate = 4⅙ . Dieser Discount zu addiren, denn je länger das Papier, desto mehr florins gekauft mit £1.

5. In Bremen ist 2 Mt Londoner mit 612, kurze Sicht mit 617 (Th. Gold für 100£) notirt; welcher Discontfuss ergiebt sich daraus? (feste Valuta hier im Ausland London = 100£.)

= 5 Discont auf 617 per 2 Monat; Macht auf 12 Monat = 30 Th. auf 617 Th. (p. Jahr) 30 : 617 = x : 100; x =  3000/617, circa (nicht ganz) 5% Discountfuss .

6. Gesetzliche Pari zwischen Hamburg u. Petersburg 34.17β ; wie stellt sich 3 Monat Cours auf Petersburg mit 6%?

6% p. Jahr für 3 Monat = 1½%; beträgt auf 34.17 = 0.51. Die feste Valuta hier 1 Rubel im Ausland (für Hamburg); Discont zu subtrahiren; man giebt um so weniger Schilling f. 1 SilberRubel, je länger das Papier ist. Der 3 Monat Cours sollte also sein: 34.17β – 0.51 = 33.66 od. 33⅔β. Steht aber (a. 1859) = 31⅛ ; also mehr als 8% zu niedrig. Diese Differenz kann ihren Grund z. Th. in höherem als dem benutzten Zinsfuss haben, rührt aber hauptsächlich aus der russischen Depreciation her.

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Ist die feste Valuta im Ausland, so Discount zu addiren, wenn Curs höher sein soll ⦗u. er muss höher sein, wenn das Papier kurz als wenn lang; es ist mehr werth, wenn kurz als wenn lang⦘, zu subtrahiren, wenn er niedriger werden soll (man giebt weniger f. langes als kurzes Papier.)

Ist die feste Valuta im Inland, so zu subtrahiren wenn Curs höher sein soll, zu addiren, wenn niedriger. Man erhält weniger, wenn Papier kurz, man erhält mehr, wenn Papier lang.⦘

1) Feste Valuta im Ausland.

a) Kürzere Sicht zu berechnen wenn längere gegeben; man hat mehr inländisches Geld zu zahlen f. gegebne auswärtige Valuta wenn die Sicht kürzer als wenn sie länger. Also der Discount zu addiren zu den längeren Sicht paper. Der höhere Kurs hier der ungünstige für die Inländer.

3 Monat Papier zu Paris in Leipzig notirt 79½ Thaler für 300 fcs (feste Valuta in Paris, Ausland f. Leipzig); wie viel für 14 Tage Pariser Papier bei 5% Discont?

Differenz der Fristen = Tage 90 – 14 = 76; Discont dafür zu 5% = 0.838 od. ⅚ about. Dieser Discont zu addiren zu der längeren Frist; für 14tägiges Pariser Papier mehr Thaler gezahlt als f. 3 monatliches. Als 79½ Th. + ⅚ = 80⅓ Th. Dies der Kurs für die kürzere Frist.

b) Längere Sicht zu berechnen. Man hat weniger inländisches Geld zu geben f. die längere Frist f. die gegebne ausländische Valuta. Also Discont zu subtrahiren v. der kürzerern Frist. Der niedrigere Kurs hier der günstige f. die Inländer.

Gesetzliches Pari zwischen Hamburg u. Petersburg 34.17β (β = Hamburger Schillinge) f. 1 SilberRubel ⦗die feste Valuta in Petersburgh, dem Ausland⦘. Zu berechnen f. 3 monatlich Papier zu 6% Discont?

6% p. Jahr giebt f. 3 Monate = 1½%; beträgt auf 34.17β = 0.51. Also – unterstellt dass keine Depreciation des russ. Papiergelds – der 3 Monat Curs = 34.17 – 0.51 = 33⅔β.

Man giebt um so weniger Schilling für 1 Rubel, je länger das Papier ist. Discont wird daher subtrahirt v. dem Wechselpari im gegebnen Fall.

Ad 1) a) Aus der Differenz zwischen kurzer Sicht u. Langer kann der Discontfuss berechnet werden.

Z. B.) Im Wechselkurs für Bremen mit London ist die feste Valuta im Ausland (England) = 100£; das Wechselpari (Kurze Sicht) = 617 (bremische) Thaler Gold; 2 Monatl. Papier auf London sei notirt mit 612; welchen Discontfuss ergiebt dies?

also 5 Thaler Differenz. 5 Thaler Discont auf 617 f. 2 Monat; dies macht auf Jahr (12 Monat) = 6 × 5 Th. und 30 : 617 = x : 100; x =  3000/617 = about 5% discontfuss.

2) Feste Valuta im Inland:

a) Kürzere Sicht zu berechnen, wenn längere gegeben; man kauft für gegebne inländische Valuta um so weniger auswärtiges Geld, je kürzer das Papier; also der Discont zu subtrahiren von der kürzeren Sicht.

2 Monat Papier auf Berlin steht in Bremen 110½ ; welchen Curs giebt dies f. kurze Sicht bei 4½% Discount?

100 Thaler Gold (in Bremen, Inland) feste Valuta. Die Zeitdifferenz = 60 Tage. 4½% Discont für 60 Tage = 0.83 od. ca ⅚. Dieser Discont abzuziehn von der langen Frist 110½ – ⅚ = 109⅔ (pr.) Thaler für die kurze Sicht.

b) Längere Sicht zu berechnen . Man erhält für gegebne inländische Valuta mehr ausländisches Geld je länger die Sicht. Also Discount zu addiren zu der kürzeren Frist.

Im Wechselkurs v. Hamburg mit Paris feste Valuta in Hamburg = 100 Bo Mark; Kurz Papier auf Paris sei notirt 190½ ; wie, bei 4% Discont, zu notiren 2 Monate Papier, wovon 15 Tage verflossen?

Differenz der Tage: 60 – 15 = 45 T.; dafür Discont à 4% = 0.95 od.  15/16. Je länger das Papier, je mehr fcs gekauft mit 100 Mk Bo ; also Discont zu addiren; fcs 190½ + 0.95 = fcs 191.45 ct. Dies der gesuchte Kurs für 45 Tage.

In Wechselkurs v. London mit Amsterdam feste Valuta in London = 1£; kurz Amsterdam notirt mit fl. 11.15 Stüber, wie viel f. 1 monatliches Papier zu berechnen, wenn 3 Monat notirt mit 11.17½ St. (20 Stüber = 1 fc); 11 fl. 15 Stüber = fl. 11.75; fl. 11.17½ Stüber = fl. 11.875.

Die Differenz zwischen 3 monatl. Papier u. kurzem = 11.875 – 11.75 = 12½ centimes.

12½ centimes f. 3 Monate macht Discont für einen Monat v. 4⅙ ct. Diese zu addiren zu der kurzen Sicht; je länger das Papier auf Holland, desto mehr florins gekauft mit 1£; also fl 11.75 + 4⅙ ct. = 11.79⅙ = fl.11, Stüber 15⅚.

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Vergleichen wir nun die Fälle sub 1) u. 2)

1) a) u. 2) a) Kürzere Sicht zu berechnen, wenn längere gegeben. Die kürzere Sicht ist mehr werth u. kostet daher mehr als die längere. Dass ein Wechsel mehr od. weniger kostet, da hier Geld mit Geld verglichen, kann nur in der Geldsorte ausgedrückt werden, die als variable Valuta gilt. Ist die feste Valuta im Ausland, die variable im Inland, so drückt sich das mehr Kosten darin aus, dass für gegebne Summe ausländischen Geldes, z. B. 100 fcs mehr inländisches Geld gezahlt werden muss. Der Discount daher zu der längeren Sicht zu addiren. (1, a). Ist die feste Valuta im Inland, die variable im Ausland , so drückt sich das Mehr kosten darin aus, dass f. je 100£ z. B. weniger auswärtiges Geld erhalten wird, der Discont ist daher von der längeren Sicht abzuziehn, um die kürzere zu finden.

1b) u. 2b) Kürzere Sicht gegeben, längere zu berechnen. Die längere Sicht minder werth u. kostet daher weniger als die kürzere. Ist die feste Valuta im Ausland, so drückt sich das Weniger Kosten darin aus, dass weniger inländisches Geld f. die auswärtige feste Valuta gegeben wird; also Discount abzuziehn v. der kurzen Frist. (1, b) Ist die feste Valuta im Inland, so drückt sich dasselbe fact umgekehrt darin aus, dass mehr ausländisches Geld für die feste innere Valuta gegeben wird. Also Discont zu addiren zu kurzer Frist.

II) Wechselreductionen.

Verwandlung einer Wechselsumme nach einem gegebnen Wechselkurs, sei es dass die Wechselsumme als einheimische Valuta in fremde od. als fremde Valuta in einheimische zu verwandeln ist. Zu den Wechselreductionen gehört auch die Aufsuchung des Courses, zu welchem eine solche Umwandlung stattgefunden hat.

A) Directe Wechselreductionen.

(findet nur statt f. Orte, die in directem Wechselverkehr mit einander stehn (a drittura), d. h. die ihre Course an ihren wechselseitigen Börsen notiren.)

Der folgende Berliner Courszettel gilt auch für Leipzig; der Cours v. Leipzig auf Berlin ist 100 Thaler ± f. 100 Th. fest in Berlin.

Berliner Courszettel. (Mitte Febr. 1859)

1. Wie gross ist der Ertrag v. fl. 1832.50 per 7. Mai auf Amsterdam, am 26 Feb. begeben; a) zum Cours v. 142⅜ für die Sicht des Wechsels? b) zum Cours v. 142⅝ für 2 Monat Papier mit 3% Discount?

a) 250 fl. : 1832.50 fl. = 142⅜ Th. : x; x = Th. 1043.6087 (= 18 Sgr.)

b) Erste Berechnung: Reduction des Curses für 2 Monat Papier für Papier am 7. Mai fällig.

2 Monate vom 26 Feb. = 26 April; der Wechsel fällig 11 Tage später; vom Course für 3 Monate ist daher Discont per 11 Tage zu kürzen (Discont à 3 of. 120 Tage = 1.42625; f. 11 Tage = 0.13; Discont also 0.13 Th. 142.625 – 0.13 = 142½ Cours für Papier per 7 Mai. 250 f. : 1832.50 f. = 142½ : x; x = Th. 1044.525 (15 Sgr.)

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Zweite Berechnung. Man betrachtet den Wechsel als 2 Monat Papier, berechnet ihn nach dem Cours dieser Sicht u. zieht den Discount f. so viel Tage ab als der Wechsel später fällig wird. Dies die exactere Methode.

250 fl. : 1832.5 = 142⅝ (?) : x; x = 1045 Th. 13 Sgr. Ab Discont per 11 Tage à 3% = 29 sgr.; lässt 1044 Th. 14 sgr.

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2. Wie viel Gulden in kurzer Sicht trassirt auf Amsterdam für 950 Th. 20 Groschen à 142⅜ (ist k. S.)? Th. 142⅜ : 950⅔ Th = 250 f : x; x = f. 1669.30 (cts)

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3. Man erhielt f. 1669 fl. 30 cts holländisch in Leipzig 950 Th. 20 gr.; zu welchem Cours wurden sie begeben? fl. 1669.30 : 250 fl. = 950⅔ Th.: x; x = 142⅜ .

Zusammengesetzte Zinsrechnung.

Procentrechnung. (Allgemeine Formel)

I) Einfache Aufsuchung der Procente.

Gegeben Procentsatz = % Gegeben Werth; je nachdem er rein, vermehrt od. vermindert

in 2) das Capital, bien entendu = Capital + Procentsatz in 3) das Capital vermindert um den Procentsatz.

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II) Aufsuchung eines nach gewissem Procentsatz veränderten Werths.

Gegeben ein Werth u. Procentsatz, wonach er verändert.

3 Fragen:

1. Wie viel der gegebne Werth, wenn um gewissen % vermehrt od. vermindert? 2) Wie viel ein Werth, bevor er um gewissen % vermehrt wurde? 3) Wie viel ein Werth, bevor er um gewissen % vermindert?

2. 100 : Werth = 100 (+ oder – %) : x 2) 100 + % : Werth = 100 : x 3) 100 – % : Werth = 100 : x

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III) Aufsuchung des Werths wovon gewisse gegebne Procente gerechnet worden sind.

Hier muss ausser den Procenten auch der Procentsatz gegeben sein.

Wenn der Procentsatz des Grundkapital 100, reines Kapital, od. 100 + m vermehrtes Kapital (Procente auf 100) od. 100 – m (Procente im 100) erfordert, welchen Werth erfordern die gegebnen Procente. Je nach den 3 Fällen Procente von, auf od. im 100.

In diesem Fall also.

1. Procente von 100 : gegebnen Procenten = 100 : x Z. B. 6 : 75 = 100 : x = 1250

2. Procente v. 100 : gegebnen Procenten = 100 + Procents. : x Z. B. 6 : 75 = 106 : x = 1325

3. Procente im 100 : gegebnen Procenten = 100 – Procentsatz : x Z. B. 6 : 75 = 94 : x [; x] = 1175.

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IV) Aufsuchung des Procentsatzes.

Ob auf reines Kapital, vermehrtes, od. vermindertes gerechnet, Procentsatz bleibt immer derselbe, da die Vermehrung od. Verminderung stets um eben diesen Procentsatz gerechnet; also stets Procent von 100. Bei vermehrtem Kapital beim Ansatz dies daher auf reines Kapital zu reduciren durch Subtraction der in ihm enthaltnen Vermehrung, bei vermindertem Kapital durch Addition der in ihm enthaltnen Verminderung. Jedesmal die Frage, wie viel giebt 100, i. e. was ist der Procentsatz, wenn das gegebne Capital die berechneten Procente giebt?

1. Dem gegebnen Capital : 100 = wie die gegebnen Procente : x der Procentsatz = x, derselbe ob Verlust od. Gewinn.

2. Das gegebne Capital hier vermehrtes Capital um die gegebnen Procente. Also: Das Capital – den gegebnen Procenten : 100 = die gegebnen Procente : x

3. Das gegebne Capital hier vermindert um die gegebenen Procente Also: Capital + gegebnen Procente : 100 = gegebne Procente : x

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Im Folgenden zusammengestellt die allgemeine Form des Ansatzes in Beispielen:

(Dies auf vorhergehender Seite)

I) Einfache Aufsuchung der Procente. 1) 100 : 62½ = 7 : x; 2) 107 : 62½ = 7 : x; 3) 93 : 62½ = 7 : x

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II) Aufsuchung eines nach gewissem Procentsatz veränderten Werths. 1) 100 : 62½ = 107 : x; 2) 107 : 62½ = 100 : x; 3) 93 : 62½ = 100 : x

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III) Aufsuchung des Werths von welchem gegebne Procente bei gegebnem Procentsatz gerechnet worden. 1) 7 : 62½ = 100 : x; 2) 7 : 62½ = 107 : x; 3) 7 : 62½ = 93 : x

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IV) Aufsuchung des Procentsatzes 1) 62½ : 100 = 7 : x; 3) 69½ – 7 : 100 = 7 : x; 3) 55½ + 7 : 100 = 7 : x.

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Allgemeine Formel für die verschiednen allgemeinen casus der Procentrechnung.

Der Procentfuss (rate) heisse pʹ; z. B. pʹ = m/100 = m%; da aber die im Zähler ausgedrückte absolute Grösse oder Anzahl der Procente, in den Ansätzen, von 100 getrennt erscheint (wie z. B. in 100 : 80 = 10 : x; 10, wodurch die Höhe des Procentfusses ausgedrückt, der Zähler von  10/100, von 100 getrennt auftritt), so nennen wir p den Zähler der Procentrate, aber P die Anzahl Procente, die ein gegebnes Kapital liefert (ein von 100 also verschiednes Kapital); den in Rechnung kommenden Werth od. Capital C.

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I) Aufsuchung der Procente (P);

gegeben pʹ in C (resp. C vermehrt um P oder vermindert um P)

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II) Aufsuchung eines nach gegebnem pʹ veränderten Werths.

1. Wieviel beträgt C wenn pʹ vermehrt od. vermindert? 2) Wie gross war C, bevor um pʹ vermehrt? 3) Wie gross war C, bevor um pʹ vermindert?

Das x sub 1) kann sowohl + als –, Gewinn od. Verlust ausdrücken, nämlich 100 : C = 100 + p : x; 100 : C = 100 – p : x; das x bleibt dasselbe.

C soll berechnet werden, je nachdem es vermehrt od. vermindert z. B. um 3%. Kann daher auch direct berechnet werden: C + pʹ; C – pʹ, ohne Ansatz.

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III) Aufsuchung des Werths wovon gegebne P gerechnet zu gegebnem pʹ.

In 1) berechnet zu % von, in 2) auf, in 3) im 100 der Betrag, wovon P die gegebnen Procente.

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IV) Aufsuch der Procentrate.

In 1) Ist das Kapital rein, in 2) vermehrt, in 3) vermindert um den Procentsatz der gesucht wird. Gegeben P; gesucht pʹ. In 2) wird das um P vermehrte Kapital auf reines Kapital reducirt, indem P davon subtrahirt, in 3) indem P dazu addirt wird.

Soweit C als veränderter Werth erscheint sub II) heisse es Cd.

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Also. I)

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II)

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III)

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IV)

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I) Aufsuchung der Procente.

II) C = 1500 Cd = 1500 verändert Aufsuchung eines nach gegebnem Procentfuss veränderten Werths.

III) Gegeben P u. pʹ x = C Aufsuchung des Werths wenn gegebne Procente zu gegebnem Procentfuss gerechnet werden.

IV) x = pʹ gegeben C u. P. Aufsuchung des Procentfusses.

Procentrechnung.

I)

1. Procent vom Hundert. Wie viel betragen 7% von f. 62.30 xr (Kreuzer)?

f. 62½ = f. 62.30 xr. 100 : 62½ = 7 : x.

x = den gegebnen Werth × mit Procentsatz dividirt durch 100 x = 62½f.×7/100 = 100 × ⅝ ; also Procentsatz 7×5/8 = 4⅜

Procentsatz hier so oft genommen als 100 in 62½ (dem Capital) enthalten ist.

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2. Procent auf Hundert. fcs 1920.72 schliesst 6% ein; wie viel % auf 100 od. um wie viel per 100 vermehrt?

100 ist vermehrt um 6, also = 106. Hence proportion: 106 : 1920.72 = 6 : x; x = 1920.72×6/106 = fc. 108.72.

100 vermehrt mit Procentsatz : Kapital, wie der Procentsatz zu x. x = Kapital ⨯ mit Procentzahl dividirt durch 100 + Procentzahl .

War also vor Vermehrung:

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3. Procent im Hundert. fcs 239.32 ist vermindert durch Abrechnung v. 3½%; um wie viel vermindert?

Die Procent stehen im Hundert, also davon abzuziehn. 100 – 3½ = 96½. hence: 96½ : 239.32 = 3½ : x x = 239.32×3½ /96½ = fc. 8.68

100 vermindert um Procentzahl : Kapital = Procentzahl : x x + Kapital ⨯ mit Procentzahl 100 minus Procentzahl

War also vor Verminderung

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Note ad I 1)

Wie viel 4⅙ % v. 928 fcs? 4⅙ = 100 ×  1/24, ist also nur der  1/24 Theil aus 928 fcs zu berechnen = f. 928 16⅔% v. 1215 Th. 18 ngr? 16⅔ = ⅙ × 100; also 6 in 1215 Th. 18 ngr = 202 rthlr 18 ngr. 18¾% v. 217f. 20 xr? 18¾ =  3/16 × 100; also wird erst der 16t Theil aus f. 217 etc genommen u. dann mit 3 multiplicirt. 37½% v. £814 12s 6d; 37½% = ⅜ × 100; also £814 etc erst durch 8 zu dividiren u. dann mit 3 zu multiplicirn.

ad I. 2)

Alle Procentsätze vom 100 (1) die bequemen Theil aus 100 geben, bilden auch Theil aus 100 + Procentsatz; man findet diesen Theil wenn man zu dem Nenner des Bruchtheils, der den Procentsatz vom 100 bildet, den Zähler desselben Bruchs addirt. Z. B. 6¼% vom 100 =  1/16; auf 100 = 1/16+1 =  1/17; 8⅓% vom 100 =  1/12, auf 100 = 1/12+1 =  1/13; 37½% vom 100 = ⅜, auf 100 =  3/11 etc.

ad I 3)

Alle Procentsätze, die sub 1) u. 2) bequemen Theil aus dem Capital bilden, eben so benutzbar hier sub 3) Nur ist vom Nenner des Bruchs, den die Procente vom 100 bilden, der Zähler desselben Bruchs abzuziehn. So: 8⅓% =  1/12 vom 100; 1/12–1 od.  1/11 = 8⅓% im Hundert; 37½% = ⅜ vom 100; 3/8–3 = ⅗ = ⅜% im 100.

II) Aufsuchung eines nach gewissem Procentsatz veränderten Werths.

II) 1) Der reine Werth ist gegeben: Wie viel 978 Thlr um 3% vermehrt oder vermindert?

Kann ohne Regel de Tri gemacht werden direct.

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fcs 1745.50 vermindert um 37½%? (37½% = ⅜ aus 100)

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II) 2) Der vermehrte Werth ist gegeben

Wie gross war Fs 1920.72 bevor um 6% vermehrt?

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II 3.) Der verminderte Werth gegeben.

Wie gross war fs 239.32, ehe vermindert um 3½%?

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III) Aufsuchung des Werths, von welchem gewisse gegebne Procente gerechnet worden sind.

Neben den Procenten muss hier der Procentsatz gegeben sein, dann zu beantworten: Wenn der Procentsatz das ihm entsprechende Grundkapital erfordert (100 od. 100+% od. 100–%), welchen Werth erfordern die gegebnen Procente?

III 1) Von Welchem Betrag gerechnet worden Th.75 à 6%?

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III 2) Von welchem Betrag gerechnet 78f zu 3% auf 100?

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III 3) Von welchem Betrag gerechnet Fs. 8.68 zu 3½% im 100?

Da in III 1, 2 u. 3) 100 od. 100+% od. 100–% stets das 3te Glied des Regeldetrisatzes bildet, so lässt sich die Rechnung auch direct so machen: So oft der Procentsatz (z. B. 6 in 1) in den gegebnen Procenten enthalten ist (75 in 1), so viel mal ist die Zahl 100 (so in 1.); ⦗in 2) 100+%; in 3) 100–%⦘ zu nehmen.

Also in 1) 6 enthalten in 75 = 12½ ; also 12½ × 100 zu nehmen = 1200 + ½ [×] 100 = 1250.

IV) Aufsuchung des Procentsatzes

Obgleich hier ein reines od. ein vermehrtes od. ein vermindertes Kapital gegeben sein kann, also Procentsatz vom, auf od. im 100 aufzusuchen, fallen doch die beiden letztren Aufgaben mit der erstren zusammen. Denn Procentsatz vom Hundert wird nur dadurch einer auf od. im Hundert, dass er sich auf einen nach demselben Procentsatz vermehrten od. verminderten Werth bezieht. Also bleibt der Procentsatz überall derselbe u. nur die Beschaffenheit des Kapitals bewirkt den Unterschied.

Z. b. 175 Th. sei Betrag einer eingekauften Waare. Wir können beim Kauf z. B. 4% gewinnen od. verlieren. Der Gewinn od. Verlust beträgt aber: 100 : 175 = 4 : x; x jedesmal = 4×175/100 =  1/25 × 175 = 7. 175 hier reines Kapital, also nur die Rede von % vom 100. Durch den Gewinn erhalten wir 175 [+] 7 = 182 Th., ein um 7 vermehrtes Capital; durch den Verlust 175 – 7 = 168, ein um 7 vermindertes Kapital.

Frägt man weiter: Wie viel beträgt der im Verkaufspreis von 182 Th. enthaltne Gewinn zu 4%? so ist hier v. einem vermehrten Kapital die Rede; der Procentsatz einer auf 100 u. der Ansatz daher: 104 : 182 = 4 : x = 7;

Ebenso wie viel Verlust beim Verkaufspreis v. 168; hier vermindertes Kapital; also Procentsatz im 100; giebt Ansatz: 96 : 168 = 4 : x = 7. Ein u. derselbe Procentsatz bringt hier also überall dieselben Procente u. nur die Beschaffenheit des Kapitals bedingt die Eintheilung der Procentsätze in: von, auf, im 100.

Also bei allen 3 Arten v. Procentsätzen nur die Frage: Wie viel giebt 100, wenn das gegebne Capital die berechneten Procente giebt? Da nun 100 ein reiner Kapitalwerth ist, so muss vor Bildung des Ansatzes bei Procenten auf 100 das Capital von der in ihm enthaltnen Vermehrung durch Subtraction befreit werden, bei Procenten im 100 durch Addition von der in ihm enthaltnen Verminderung.

IV 1) Wenn man an Thlr 175 Gewinn od. Verlust von 7 Thaler, wie viel % beträgt dies?

Das reine Capital 175 gegeben, also Procente vom 100. Hence: 175 : 100 = 7 : x x =  700/175 = 4%

IV) 2) Wenn v. B. M. 126.12 abgezogen werden B. M. 24.9, wieviel % auf 100 beträgt dies?

Das vermehrte Kapital gegeben. Also: wie viel giebt wenn ( 126.12 – 24.9) = M. B. 102.3 geben 24.9? M. B. 126.12 – M. B. 24.9 sch. : 100 = 24 M. B. 9 sch. : 100 oder: 102 3/16 : 100 = 24 9/16 : x x = 24%.

Wenn in 182 Th ein Gewinn von 7 Th. enthalten, wie viel % beträgt dies? 182 – 7 : 100 = 7 : x x = 4%.

IV) 3) Wenn ein Capital durch Verlust von 7 Th. auf 168 Th. gebracht, wie viel % Verlust? (168 + 7) : 100 = 7 : x x = 4%.

IV 4) Oft sind die Procente nicht gradezu gegeben, müssen erst aus den gegebnen Werthen gefunden werden.

a) Wenn statt 950 Th. bezahlt werden 988 od. 912, wie viel % mehr od. weniger beträgt dies?

Im ersten Fall sind die Procente 988 – 950 = 38; im 2ten Fall 950 – 912 = 38; also in beiden Fällen 38. Hence: 950 : 100 = 38 : x; x = 4%.

b) Wenn man statt B. M. 3463. 1β nur B. M. 3186. 14β bezahlt (β = schilling, 16β = 1 B. Mark Hamburg.) wieviel % auf 100 beträgt der Abzug?

Der Abzug = (3463.1 – 3186.14 = M. B. 276.3β). Also Ansatz: 3186⅞ : 100 = 276. 3/16 : x. x = 8⅔%

c) Wieviel Procent im Hundert beträgt es, wenn statt 1875f. berechnet werden 2000?

Die im 100 erfolgte Vermehrung = 2000 – 1875 = 125f. u. Ansatz zur Auffindung des Procentfusses: 2000 : 100 = 125 : x. x = 6¼%.

Die pro mille Rechnung ( 0/00) natürlich selbe wie % Rechnung.

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V) Verwandlung eines Procentsatzes in den andern.

1. Wie viel % vom 100 betragen 12% auf 100? 112 : 100 = 12 : x x =  1200/112 = 10 5/7 .

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2. Wie viel % auf 100 betragen 5% vom 100? 95 : 100 = 5 : x. x =  500/95 = 5 5/19%.

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3. Wie viel % vom 100 betragen 4% im 100? 96 : 100 = 4 : x. x =  400/96 = 4⅙ %.

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ad 1) Ob man z. B. von f.364 % 12 auf 100 od. 10 5/7 vom 100 nimmt, dasselbe. = 39.

ad 2) 100 : 120 fs = 5 : x. = 6f; 105 5/19 : 120 = 5 5/19 : x = 6f.

ad 3) 96 : 144f. = 4 : x = 6 fs.; 100 : 144 = 4⅙ : x; = 6 fcs.

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4. Wie viel % im 100 betragen 4% vom 100? 104 : 100 = 4 : x x = 3 11/13%.

100 : 250 f. = 4 : x = 4⨯250/100 =  250/25 = 10f; 96 2/13 : 250 = 3 11/13 : x = 10f.

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Wo die Procentzahl gemischte Zahl ist, die einen Theil aus der Zahl 100 bildet, lässt sich die Rechnung abkürzen.

z. B. zu nehmen 33⅓% von 1000\999?

Ebenso z. B. 27 3/11% zu nehmen; 1/x × 100 = 27 3/11; 100 = 27 3/11 x. x = 100/27 3/11 = 100/ 300/11 =  11/3. x =  11/3. Also 1/x100 = 27 3/11 = 1/ 11/3100 = 27 3/11; also  3/11 × 100 = 27 3/11

Derartige Abkürzungen unter anderm:

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Die verschiednen casus der Procentrechnung zusammen.

I)

1. Procent vom 100. Z. B. wie viel 7% von f.62.50: 100 : 62½ = 7 : x = 4⅜ fl.

2. 〃 auf 100 Z. B. fs 1920.72 schliesst 6% ein: 106 : 1920.72 = 6 : x = fs 108.72

3. 〃 im 100. Z. B. fs 239.32 vermindert durch Abrechnung v. 3½% : 96½ : 239.32 = 3½ : x = fs 8.68

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II) Aufsuchung eines nach gewissem Procentsatz vermehrten od. verminderten Werths.

1. Wie viel 978 Th. um 3% vermehrt od. vermindert?: 100 : 978 = 103 : x = Th. 1007.10 gr. 100 : 978 = 97 : x = Th. 948.20

Oder ohne Ansatz: 978 + 3% = etc 978 – 3% = etc

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Vermehrte Werth gegeben 2) wie gross fs 1920.72 bevor um 6% vermehrt: 106 : 1920.72 = 100 : x = fs 1812.

Verminderter Werth gegeben 3) 〃 〃 〃 239.32 〃 um 3½ vermindert 96½ : 239.32 = 100 : x; x = 〃 248

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III) Aufsuchung des Werths, wovon gegebne Procente gerechnet worden sind.

1. Von welchem Betrag gerechnet Th. 75 à 6%? 6 : 75 = 100 : x = Th. 1250

2. Von welchem Betrag gerechnet 78f. auf 100 (zu 3%)? 3 : 78 = 103 : x = f. 2678

3. Von welchem Betrag gerechnet fs. 8.68 zu 3½% im 100? 3½ : 8.68 = 96½ : x = f. 239.32

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IV Aufsuchung des Procentsatzes.

1. Wenn man an Th. 175 Gewinn od. Verlust v. 7 Th. hat, wie viel % das? 175 : 100 = 7 : x = 4%

2. Wenn von B. M. 126.12β abgezogen werden B. M. 24.9β, wie viel % auf 100? 102 3/16 : 100 = 24 9/16 : x = 24%

Hier das vermehrte Kapital gegeben: Wenn also 126.12 – 24.9 od. M. B. 102.3 geben 24M. 9β, wie viel geben 100?

Wenn in 182 Th. ein Gewinn v. 7 Th. enthalten, wie viel % giebt das? 182 – 7 : 100 = 7 : x = 4%

3. Wenn ein Kapital durch Verlust v. 7 Th. auf 168 gebracht, wie viel % Verlust? 168 + 7 : 100 = 7 : x = 4%

Wenn die % nicht gradezu gegeben, sondern erst aus den gegebnen Werthen zu bestimmen,

1. Wenn statt 950 Th. gezahlt werden 988 od. 912, wie viel % mehr od. weniger gezahlt? 988 – 950 = 38 u. 950 – 912 = 38. Also: 950 : 100 = 38 : x. x = 4%

2. Statt 3463.1β nur gezahlt 3186.14β, wie viel % auf 100? Abzug = 3463.1 – 3186.14 = 276.3β. Also: 3186⅞ : 100 = 276 3/16 : x = 8⅔%

3. Statt 1875 gezahlt 2000. Wie viel % im 100? 2000 – 1875 = 125. Also: 2000 : 100 = 125 : x, x = 6¼%

Procentsätze die bequemen Theil v. 100 bilden. Vgl. mit Tabelle v. vorstehender Seite.

Alle diese Procentzahlen bilden zur Rechnung bequemen Theil aus 100; dann sind die v. einem gegebnen Werth zu berechnenden Procente demselben Theil dieses Werths gleich, den der Procentfuss aus 100 bildet. Z. B. 7% von 62.½f. Da 62½ = ⅝ × 100, so die Procente 7 so oft zu nehmen als 62½ so gross ist als 100, also ⅝ × u. ⅝ × 7 =  35/8 = 4⅜.

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1. Text nach MEGAdigital (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften), MEGA² IV/25, Lizenz CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/); der editorische Apparat der MEGA ist nicht wiedergegeben. ↩