Carta de Friedrich Engels a Karl Marx, que estaba en Londres, escrita en Bridlington Quay el 18 de agosto de 1881. Se conserva completa. Traducida de la primera MEGA (MEGA¹ III/4, Berlín, 1931, carta n.º 1508, pp. 513-514) por la Escuela de marxismo, 2026. Las notas son nuestras. Texto original.
1 Sea View, Bridlington Quay, 18 de agosto de 1881.
Querido Mohr:
Hasta anoche no recibí tu carta de Argenteuil, que aclara tu repentina llegada. Espero que la indisposición de Tussy no sea en realidad importante —anteayer todavía me escribió una carta divertida—; en todo caso, probablemente sabré más esta noche o mañana temprano, y también si tu mujer viajó contigo hasta Boulogne o Calais y solo allí se quedó atrás.
Así que ayer por fin me armé de valor para estudiar a fondo tus manuscritos matemáticos, aun sin libros de consulta, y me alegró ver que no necesitaba los libros.1 Te felicito por ello. La cosa es tan clara como la luz del día, que uno no puede asombrarse bastante de que los matemáticos se empeñen tan tercamente en mistificarla. Pero eso viene de la manera de pensar unilateral de esos señores. Poner dy/dx = 0/0 resueltamente y sin rodeos no les cabe en la cabeza. Y, sin embargo, está claro que dy/dx solo puede ser la expresión pura de un proceso ocurrido en x y en y cuando de los quanta x e y ha desaparecido hasta el último rastro y no ha quedado más que la expresión del proceso de cambio que se produce en ellos, sin cantidad alguna.
No tienes por qué temer que en esto se te haya adelantado algún matemático. Esta manera de diferenciar es mucho más sencilla que todas las demás, tanto que yo mismo acabo de aplicarla para deducir una fórmula que se me había ido de la memoria y confirmarla luego por la vía habitual. El procedimiento tendría que haber causado la mayor sensación, sobre todo porque demuestra claramente que el método usual, en el que se desprecian dx dy, etc., es positivamente falso. Y esa es una belleza muy especial: solo cuando dy/dx = 0/0, solo entonces es la operación matemáticamente exacta del todo.
El viejo Hegel había adivinado, pues, muy bien cuando decía que la diferenciación tiene por condición fundamental que las dos variables estén en potencias distintas y al menos una en la segunda potencia o en la potencia ½ como mínimo.2 Ahora sabemos también por qué.
Cuando decimos que en y = f (x) x e y son variables, mientras nos quedemos ahí es una afirmación sin más consecuencias, y x e y siguen siendo de hecho, pro tempore, constantes. Solo cuando cambian de verdad, es decir, dentro de la función, se convierten realmente en variables, y solo entonces puede salir a la luz la relación, todavía oculta en la ecuación original, no entre las dos magnitudes como tales, sino entre sus variaciones. La primera derivada Δy/Δx muestra esa relación tal como se da en el curso de la variación real, es decir, en cada variación dada; la derivada final dy/dx la muestra en su generalidad, en estado puro, y por eso desde dy/dx podemos llegar a cualquier Δy/Δx, mientras que este solo cubre siempre el caso particular. Pero para pasar del caso particular a la relación general hay que suprimir el caso particular como tal.3 Así pues, una vez que la función ha recorrido el proceso de x a x′ con todas sus consecuencias, se puede dejar tranquilamente que x′ vuelva a ser x; ya no es la vieja x, variable solo de nombre; ha experimentado una variación real, y el resultado de la variación permanece aunque la suprimamos a su vez.
Por fin queda claro aquí lo que muchos matemáticos venían afirmando hace tiempo sin poder dar razones racionales para ello: que el cociente diferencial es lo originario y las diferenciales dx y dy son derivadas; la deducción misma de la fórmula exige que los dos llamados factores irracionales formen originariamente un lado de la ecuación, y solo cuando se reduce la ecuación a esta su primera forma, dy/dx = f (x), se puede hacer algo con ella, se libra uno de las irracionales y pone en su lugar su expresión racional.
La cosa me ha atrapado de tal modo que no solo me da vueltas en la cabeza todo el día, sino que anoche soñé que le daba a un tipo los botones de mi camisa para que los diferenciara y que él se escapaba con ellos.
Tuyo, F. E.
Los manuscritos de Marx sobre el cálculo diferencial (sobre el concepto de función derivada y sobre la diferencial), escritos en 1881 y publicados mucho después de su muerte. ↩
Hegel trata del cálculo diferencial en la Ciencia de la lógica, libro primero, en las notas sobre el infinito cuantitativo. ↩
Aufheben: aquí, «suprimir», «anular»; en el vocabulario de Hegel, también «superar conservando». ↩